Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Грудцына Л.Ю. ТВиМС Метод. указания

..pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
575.52 Кб
Скачать

Пример 15. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год Y.

X

100

150

200

250

300

Y

60

35

20

20

15

Найти по выборке (выборка получена из нормальной генеральной совокупности): а) коэффициент линейной корреляции; б) уравнения линейной регрессии Y на X и X на Y.

Решение. Проверим а) Выборочный коэффициент линейной корреляции найдем по формуле:

r = xy - x × y . sx sy

Для этого вычислим все входящие в формулу величины (если выборка достаточно велика, то проводить вычисления удобно, предварительно составив расчетную таблицу). Объем выборки n=5.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

 

 

 

×

 

 

å xi

=

 

 

 

× (100 +150 + 200 + 250 + 300) = 200 ;

 

 

n

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

 

 

 

×

 

å yi

=

 

 

 

× (60 + 35 + 20 + 20 +15) = 30 ;

 

 

 

 

n

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

m

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

× å x

 

 

 

=

 

 

 

×

(100

 

+150

 

+ 200

 

+

250

 

+ 300

 

) = 45000

;

 

 

 

n

i

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

m

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

× å у

 

 

 

=

 

 

 

×

(60

 

+ 35

 

+

20

 

+

20

 

+15

 

) = 1170;

 

 

 

 

n

 

i

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy =

 

 

 

 

 

 

 

× å xi yi =

 

 

× (100× 60 +150×35 + 200× 20 + 250× 20 + 300×15) = 4950 ;

n

 

 

5

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- (

 

 

)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sx

=

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

=

45000 - (200)2

» 70,7 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- (

 

)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sy

=

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

=

1170 - (30)2 » 16,4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

= 4950 - 200×30 » -

Коэффициент корреляции равен: r 0,91 ; r <0 – связь

70,7 ×16,4

между X (месячной зарплатой)и Y (числом уволившихся за год) является обратной; | r |≥0,7 – связь между уровнем зарплаты и числом уволившихся тесная (высокая).

51

б) Найдем выборочные уравнения линейной регрессии:

 

Y на X : yx = y + r ×

sy

×(x - x) ;

X на Y: ху = х + r ×

s

х

×(у

- у) .

sx

 

 

 

 

 

 

 

 

sу

 

Y на X : yx = 30

+ (-0,91)×

16,4

×(x - 200) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70,7

 

 

 

 

 

 

yx = 30

- 0,21×(x - 200) ;

 

 

 

 

 

yx = 72

- 0,21× x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит, на 0,21 единицы в среднем уменьшается величина Y при увеличении Х на одну единицу.

Xна Y : ху = 200 + (-0,91) × 1670,,47 ×(у - 30) ;

ху = 200 - 3,92×(у - 30) ;

ху = 317 - 3,92× у .

Значит, на 3,92 единицы в среднем изменяется величина Х при увеличении Y на одну единицу.

Построим корреляционное поле. На координатной плоскости отмечаем все заданные пары чисел – всего 5 точек. На этом же чертеже изобразим графики прямых регрессии yx = 72 - 0,21× x и ху = 317 - 3,92× у , которые

пересекаются в точке (x, y) = (200; 30) .

52

10. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Статистической гипотезой называется любое предположение о свойствах распределения генеральной совокупности (случайной величины), которое делается на основании выборочных данных.

По своему содержанию статистические гипотезы можно подразделить на: гипотезы о виде законов распределения исследуемой случайной величины, гипотезы о числовых значениях параметров случайной величины и др.

Гипотезы обозначаются большими латинскими буквами Н0, Н1, …, Нk. Проверяемая гипотеза Н0 называется основной (нулевой). Наряду с основной Н0 рассматривается конкурирующая гипотеза Н1, которая противоречит основной. Например, если проверяется гипотеза о равенстве некоторой числовой характеристики распределения θ заданному значению θ0 (Н0: θ=θ0), то в качестве конкурирующей может быть рассмотрена одна из альтернатив: θ>θ0, θ<θ0, θ≠θ0. Выбор гипотезы Н1 определяется условиями конкретной задачи.

Принятие гипотезы или ее альтернативы основано на исследовании выборки. Правило, по которому принимается или отвергается гипотеза, называют критерием К. Статистика (наблюдаемое значение критерия) Кнабл – то значение критерия, которое вычислено по выборке.

Вероятность отвергнуть гипотезу Н0, если она верна, называется вероятностью ошибки первого рода или уровнем значимости, обозначается α. Величина γ=1-α равна вероятности принять верную гипотезу и называется

уровнем доверия.

Вероятность принять основную гипотезу, если она неверна, называется ошибкой второго рода и обозначается β. Вероятность 1-β принять гипотезу Н1, если она верна, называется мощностью критерия.

Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых основную гипотезу Н0 отвергают. Критическая область может быть правосторонней, левосторонней, двусторонней (в зависимости от Н1).

Областью принятия гипотезы называют совокупность значений критерия, при которых Н0 принимают.

Проверка статистической гипотезы основывается на следующем принципе: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то основную гипотезу отвергают (принимают конкурирующую); если наблюдаемое значение критерия не принадлежит критической области, то основную гипотезу принимают.

53

Критическими точками kкр называют точки, отделяющие критическую область от области принятия решений.

Для отыскания критической области задаются уровнем значимости α и определяют критические точки (по специальным таблицам).

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть генеральная совокупность (X, Y) имеет нормальное распределение. Из этой совокупности извлечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляции r0. Требуется проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции rген.

Для того, чтобы на уровне значимости α проверить гипотезу Н0: rген=0 при конкурирующей гипотезе Н1: rген0, надо:

1) вычислить статистику t = r × n - 2 ; 1- r 2

2)по таблице значений tγ,k-критерия Стьюдента по уровню доверия

γ= 1-α и числу степеней свободы k = n-2 найти критическую точку tкр = tγ,k;

3)если | t | < tкр, то нет оснований отвергнуть основную гипотезу; если | t | > tкр, то основную гипотезу отвергают.

Пример 16. По выборке объема n=62, извлеченной из нормальной генеральной совокупности (X, Y), найден выборочный коэффициент корреляции r=0,3. На уровне значимости α=0,01 проверить гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.

Решение. Проверим основную гипотезу Н0: rген=0 (конкурирующая гипотеза Н1: rген0). Для этого вычислим статистику:

= r × n - 2 = 0,3× 62 - 2 »

t 2,44 .

1- r 2 1- (0,3)2

По таблице значений tγ,k-критерия Стьюдента (см. Приложения) в

зависимости от γ = 1-α = 1-0,01 = 0,99 и k = n-2 = 62-2 = 60 находим критическое значение tкр = tγ,k = 2,66.

Так как | t |≈2,44 < tкр=2,66, то нет оснований отвергнуть основную гипотезу. Делаем вывод, что найденный по выборке коэффициент r=0,3 считать значимо отличающимся от нуля не можем.

54

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

Значения функции Гаусса

f (x) =

1

 

×ex2 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Целые и

 

 

 

 

Сотые доли x

 

 

 

 

 

 

 

десятые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доли x

0

1

2

3

4

 

5

 

6

 

 

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0

0,3989

0,3989

0,3989

0,3988

0,3986

 

0,3984

 

0,3982

0,3980

0,3977

0,3973

0,1

3970

3965

3961

3956

3951

 

3945

 

3939

3932

3925

3918

0,2

3910

3902

3894

3885

3876

 

3867

 

3857

3847

3836

3825

0,3

3814

3802

3790

3778

3765

 

3752

 

3739

3726

3712

3697

0,4

3683

3668

3653

3637

3621

 

3605

 

3589

3572

3555

3538

0,5

3521

3503

3485

3467

3448

 

3429

 

3410

3391

3372

3352

0,6

3332

3312

3292

3271

3251

 

3230

 

3209

3187

3166

3144

0,7

3123

3101

3079

3056

3034

 

3011

 

2989

2966

2943

2920

0,8

2S97

2874

2850

2827

2803

 

2780

 

2756

2732

2709

2685

0,9

2661

2637

2613

2589

2565

 

2541

 

2516

2492

2468

2444

1,0

0,2420

0,2396

0,2371

0,2347

0,2323

 

0,2299

 

0,2275

0,2251

0,2227

0,2203

1,1

2179

2155

2131

2107

2083

 

2059

 

2036

2012

1989

1965

1,2

1942

1919

1895

1872

1849

 

1826

 

1804

1781

1758

1736

1,3

1714

1691

1669

1647

1626

 

1604

 

1582

1561

1539

1518

1,4

1497

1476

1456

1435

1415

 

1394

 

1374

1354

1334

1315

1,5

1295

1276

1257

1238

1219

 

1200

 

1182

1163

1145

1127

1,6

1109

1092

1074

1057

1040

 

1023

 

1006

0989

0973

0957

1,7

0940

0925

0909

0893

0878

 

0863

 

0848

0833

0818

0804

1,8

0790

0775

0761

0748

0734

 

0721

 

0707

0694

0681

0669

1,9

0656

0644

0632

0620

0608

 

0596

 

0584

0573

0562

0551

2

0,054

0,0529

0,0519

0,508

0,0498

 

0,0488

 

0,0478

0,0468

0,0459

0,0449

2,1

0440

0431

0422

0413

0404

 

0396

 

0387

0379

0371

0363

2,2

0355

0347

0339

0332

0325

 

0317

 

0310

0303

0297

0290

2,3

0283

0277

0270

0264

0258

 

0252

 

0246

0241

0235

0229

2,4

0224

0219

0213

0208

0203

 

0198

 

0194

0189

0184

0180

2,5

0175

0171

0167

0163

0158

 

0154

 

0151

0147

0143

0139

2,6

0136

0132

0129

0126

0122

 

0119

 

0116

0113

0110

0107

2,7

0104

0101

0099

0096

0093

 

0091

 

0088

0086

0084

0081

2,8

0079

0077

0075

0073

0071

 

0069

 

0067

0065

0063

0061

2,9

0060

0058

0056

0055

0053

 

0051

 

0050

0048

0047

0046

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55

Целые и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сотые доли x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

десятые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доли x

0

 

1

2

3

4

5

6

 

 

 

7

 

8

9

3

0,0044

0,0043

0,0042

0,0041

0,0039

0,0038

0,0037

0,0036

 

0,0035

0,0034

3,1

0033

0032

0031

0030

0029

0028

0027

0026

 

0025

0025

3,2

0024

0023

0022

0022

0021

0020

0020

0019

 

0018

0018

3,3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

 

0013

0013

3,4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

 

0009

0009

3,5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

 

0007

0006

3,6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

 

0005

0004

3,7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

 

0003

0003

3,8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002

 

0002

0002

3,9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

 

0001

0001

4

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

0,0001

 

0,0001

0,0001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

 

 

Значения функции Лапласа F(x) =

 

×òet 2 / 2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Целые и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сотые доли x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

десятые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доли x

0

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

6

 

 

 

7

 

8

9

0,0

0,0000

0,0080

0,060

0,0239

0,0319

0,0399

0,0478

0.0558

 

0,0638

0,0717

0,1

0,0797

0,0876

0,0955

0,1034

0,1113

0,1192

0,1271

0,1350

 

0,1428

0,1507

0,2

0,1585

0,1663

0,1741

0,1819

0,1897

0,1974

0,2051

0,2128

 

0,2205

0,2282

0,3

0,2358

0,2434

0,2510

0,2586

0,2661

0,2737

0,2812

0,2886

 

0,2960

0,3035

0,4

0,3108

0,3182

0,3255

0,3328

0,3401

0,3473

0,3545

0,3616

 

0,3688

0,3759

0,5

0,3829

0,3899

0,3969

0,4039

0,4108

0,4177

0,4245

0,4313

 

0,4381

0,4448

0,6

0,4515

0,4581

0,4647

0,4713

0,4778

0,4843

0,4907

0,4971

 

0,5035

0,5098

0,7

0,5161

0,5223

0,5285

0,5346

0,5407

0,5467

0,5527

0,5587

 

0,5646

0,5705

0,8

0,5163

0,5821

0,5878

0,5935

0,5991

0,647

0,6102

0,6157

 

0,6211

0,6265

0,9

0,6319

0,6372

0,6324

0,6476

0,6528

0,6579

0,6629

0,6679

 

0,6729

0,6778

1,0

0,6827

0,6875

0,6923

0,6970

0,7017

0,7063

0,7109

0,7154

 

0,7199

0,7243

1,1

0,7287

0,7330

0,7373

0,7415

0,7457

0,7499

0,7540

0,7580

 

0,7620

0,7660

1,2

0,7699

0,7737

0,7775

0,7813

0,7850

0,7887

0,7923

0,7959

 

0,7984

0,8029

1,3

0,8064

0,8098

0,8132

0,8165

0,8198

0,8230

0,8262

0,8293

 

0,8324

0,8355

1,4

0,8385

0,8415

0,8444

0,8473

0,8501

0,8529

0,8557

0,8584

 

0,8611

0,8638

1,5

0,8664

0,8690

0,8715

0,8740

0,8764

0,8789

0,8812

0,8836

 

0,8859

0,8882

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56

Целые и

 

 

 

 

Сотые доли x

 

 

 

 

десятые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

доли x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,6

0,8904

0,8926

0,8948

0,8969

0,8990

0,9011

0,9031

0,9051

0,9070

0,9090

1,7

0,9109

0,9127

0,9146

0,9164

0,9181

0,9199

0,9216

0,9233

0,9249

0,9265

1,8

0,9281

0,9297

0,9312

0,9327

0,9342

0,9357

0,9371

0,9385

0,9392

0,9412

1,9

0,9426

0,9439

0,9451

0,9464

0,9476

0,9488

0,9500

0,9512

0,9523

0,9533

2

0,9545

0,9556

0,9566

0,9576

0,9586

0,9596

0,9606

0,9616

0,9625

0,9634

2,1

0,9643

0,9651

0,9660

0,9668

0,9676

0,9684

0,9692

0,9700

0,9707

0,9715

2,2

0,9722

0,9729

0,9736

0,9743

0,9749

0,9756

0,9762

0,9768

0,9774

0,9780

2,3

0,9786

0,9791

0,9797

0,9802

0,9807

0,9812

0,9817

0,9822

0,9827

0,9832

2,4

0,9836

0,9841

0,9845

0,9849

0,9853

0,9857

0,9861

0,9865

0,9869

0,9872

2,5

0,9876

0,9879

0,9883

0,9886

0,9889

0,9892

0,9895

0,9898

0,9901

0,9904

2,6

0,9907

0,9910

0,9912

0,9915

0,9917

0,9920

0,9922

0,9924

0,9926

0,9928

2,7

0,9931

0,9933

0,9935

0,9937

0,9939

0,9940

0,9942

0,9944

0,9946

0,9947

2,8

0,9949

0,9951

0,9952

0,9953

0,9955

0,9956

0,9958

0,9959

0,9960

0,9961

2,9

0,9963

0,9964

0,9965

0,9966

0,9967

0,9968

0,9969

0,9970

0,9971

0,9972

3

0,9973

0,9974

0,9975

0,9976

0,9976

0,9977

0,9978

0,9979

0,9979

0,9980

3,1

0,9981

0,9981

0,9982

0,9983

0,9983

0,9984

0,9984

0,9985

0,9985

0,9986

3,2

0,9986

0,9987

0,9987

0,9988

0,9988

0,9989

0,9989

0,9989

0,9990

0,9990

3,3

0,9990

0,9991

0,9991

0,9991

0,9992

0,9992

0,9992

0,9992

0,9993

0,9993

3,4

0,9993

0,9994

0,9994

0,9994

0,9994

0,9994

0,9995

0,9995

0,9995

0,9995

3,5

0,9995

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9997

0,9997

3,6

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9998

0,9998

0,9998

3,7

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

3,8

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

3,9

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

4

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57

Значения tγ,k-критерия Стьюдента

Число

 

 

 

 

 

Вероятность γ

 

 

 

 

степеней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свободы k

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

1

0,16

0,32

0,51

0,73

1,00

1,38

1,96

3,08

6,31

12,71

31,82

63,66

2

14

29

44

62

0,82

06

34

1,89

2,92

4.30

6,96

9,92

3

14

28

42

58

76

0,98

25

64

35

3,18

4,54

5,84

4

13

27

41

57

74

94

19

53

13

2,78

3,75

4,60

5

13

27

41

56

73

92

16

48

01

57

36

03

6

0,13

0,26

0,40

0,55

1,72

1,91

1,13

1,44

1,94

2,45

3,14

3,71

7

13

26

40

55

71

90

12

41

89

36

00

50

8

13

26

40

55

70

89

11

40

86

31

2,90

35

9

13

26

40

54

70

88

10

38

83

26

82

25

10

13

26

40

54

70

88

09

37

81

23

76

17

11

0,13

0,26

0,40

0,54

0,70

0,88

1,09

1,36

1,80

2,20

2,72

3,11

12

13

26

39

54

69

87

08

36

78

18

68

05

13

13

26

39

54

69

87

08

35

77

16

65

01

14

13

26

39

54

69

87

08

34

76

14

62

2,98

15

13

26

39

54

69

87

07

34

75

13

60

95

16

0,13

0,26

0,39

0,53

0,69

0,86

1,07

1,34

1,75

2,12

2,58

2,92

17

13

26

39

53

69

86

07

33

74

11

57

90

18

13

26

39

53

69

86

07

33

73

10

55

88

19

13

26

39

53

69

86

07

33

73

09

54

86

20

13

26

39

53

69

86

06

32

72

09

53

84

21

0,13

0,26

0,39

0,53

0,69

0,86

1,06

1,32

1,72

2,08

2,52

2,83

22

13

26

39

53

69

86

06

32

72

07

51

82

23

13

26

39

53

68

86

06

32

71

07

50

81

24

13

26

39

53

68

86

06

32

71

06

49

80

25

13

26

39

53

68

86

06

32

71

06

48

79

26

0,13

0,26

0,39

0,53

0,68

0,86

1,06

1,31

1,71

2,06

2,48

2,78

27

13

26

39

53

68

85

06

31

70

05

47

77

28

13

26

39

53

68

85

06

31

70

05

47

76

29

13

26

39

53

68

85

05

31

70

04

46

76

30

13

26

39

53

68

85

05

31

70

04

46

75

40

0,13

0,25

0,39

0,53

0,68

0,85

1,05

1,30

1,68

2,02

2,42

2,70

60

13

25

39

53

68

85

05

30

67

00

39

66

120

0,13

0,25

0,39

0,53

0.68

0,84

1,04

1,29

1,66

1,98

2,36

2,62

13

25

38

52

67

84

04

28

64

96

33

58

58

ЛИТЕРАТУРА

1.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 543с. –

Гриф МО. – ISBN 5-238-00333-1.

2.Елисеева И.И. Теория статистики с основами теории вероятностей : учеб. пособие для вузов / И.И. Елисеева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина.

М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446с. – Гриф МО. – ISBN 5-238-00132-0.

3.Красс М.С. Математика в экономике. Математические методы и модели : учебник для вузов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. — М. : Финансы и статистика, 2007. – 541с. – Гриф МО. – ISBN 978-5-279-03071-2.

4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учебник для вузов / В.Е. Гмурман. – М. :

Высшая школа, 2003. – 400с. – Гриф МО. – ISBN 5-06-004212-Х.

5.Белько И.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Примеры и задачи : учеб. пособие / И.В Белько, Г.П. Свирид. – Минск. : Новое знание, 2004. – 251с. – Гриф МО Республики Беларусь. – ISBN 985- 475-102-3.

6.Мацкевич И.П. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид, Г.М. Булдык. – Мн. : Выш. шк., 1996. – 340с. – Гриф МО Республики Беларусь. – ISBN 985-06-0038-1.

59

Учебное издание

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания к выполнению контрольной работы

Грудцына Лариса Юрьевна

Технический редактор

Подписано в печать ... .

Формат 60x84 1/16.

Печать ризографическая.

Усл. печ. л...

Тираж ... экз. Заказ ...

Лаборатория оперативной полиграфии филиала Казанского (Приволжского) федерального университета в г. Набережные Челны.

423812, Республика Татарстан, г. Набережные Челны, пр. Сююмбике, 10 А (11/29),

тел/факс (8552) 58-88-94, 51-87-34, е-mail: nauka@ksuchelny.ru.