Грудцына Л.Ю. ТВиМС Метод. указания
..pdf
КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
филиал в г. Набережные Челны
Кафедра Прикладной математики и информатики
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
г. Набережные Челны
2012
УДК 519.2(075.8) ББК 22.17р30-2 Т 35
Рецензенты: А.Н. Углов, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. Прикладной математики ИНЭКА;
кафедра Высшей математики филиала КФУ (зав. кафедрой докт. физ.-мат. наук, проф. Габбасов Н.С.)
Теория вероятностей и математическая статистика : методические указания к выполнению контрольной работы / авт.-сост.: Л.Ю. Грудцына ; фил. Казан. федер. ун-та. – Набережные Челны : Лаб. операт. полиграфии, 2012. – 60с. : ил., табл. – Библиогр. : 6 назв.
Методические указания предназначены для студентов второго курса заочного отделения экономического факультета по направлению подготовки «Экономика», изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая статистика».
Брошюра содержит задания для контрольной работы и образец ее выполнения. Приводятся краткие теоретические сведения, а также достаточное количество разобранных примеров. Для удобства решения задач включены математико-статистические таблицы.
УДК 519.2(075.8) ББК 22.17р30-2
©Филиал КФУ в г. Набережные Челны, 2012.
©Л.Ю. Грудцына, 2012.
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ.............................................. |
4 |
|
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ................................................................................ |
5 |
|
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ........................................ |
11 |
|
КРАТКАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА..................................................... |
27 |
|
1. |
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ .............................. |
27 |
2. |
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................... |
29 |
3. |
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА............................ |
31 |
4. |
СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ..................................................................... |
32 |
5. |
ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.......................................................... |
35 |
6. |
НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА....................................................... |
37 |
7. |
СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ..................................... |
40 |
8. |
ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ........................... |
45 |
9. |
КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ............................................ |
49 |
10. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ ..................................................... |
53 |
|
ПРИЛОЖЕНИЯ ............................................................................................... |
55 |
|
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................. |
59 |
|
3
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Методические указания «Теория вероятностей и математическая статистика» предназначены для студентов заочного отделения экономического факультета.
Цель преподавания дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – дать студентам научное представление о случайных событиях и величинах, методах их исследования.
Изучение дисциплины предусматривает проведение лекционных и практических занятий. По завершении курса проводится домашняя контрольная работа и экзамен, состоящий из теоретической и практической частей.
Следует обратить особое внимание на то, что при заочном обучении большая часть учебной нагрузки приходится на самостоятельную работу студента. Поэтому в основе занятий по данной дисциплине лежит индивидуальная самостоятельная работа с персональной консультацией у преподавателя.
Данное пособие является методической поддержкой учебного курса и содержит полный текст домашней контрольной работы, а также подробные методические указания к решению задач.
Предполагается, что студент обладает знаниями основ линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления.
При выполнении контрольной работы студенту рекомендуется обратить внимание на следующие моменты.
1.Домашняя контрольная работа выполняется студентом в отдельной тетради строго по варианту и сдается на проверку преподавателю.
2.Условия задач переписываются полностью, после чего приводится подробное решение.
3.Если в работе имеются ошибки, автор должен сдать работу с исправлениями на повторную проверку. Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются. Все исправления записываются в тетради отдельно после рецензии преподавателя.
4
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
1. В магазине имеется n телевизоров, из которых m дефектные. Пусть куплено k телевизоров. Вычислить вероятность того, что среди купленных телевизоров три исправны.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
n |
20 |
18 |
16 |
14 |
15 |
17 |
18 |
20 |
12 |
10 |
22 |
24 |
30 |
25 |
23 |
m |
6 |
8 |
6 |
5 |
5 |
6 |
8 |
7 |
4 |
4 |
8 |
10 |
8 |
7 |
6 |
k |
5 |
5 |
4 |
4 |
4 |
4 |
5 |
5 |
4 |
4 |
6 |
6 |
5 |
6 |
5 |
№ |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
n |
24 |
30 |
22 |
26 |
28 |
30 |
26 |
28 |
14 |
18 |
16 |
17 |
19 |
26 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
8 |
9 |
6 |
8 |
7 |
10 |
6 |
10 |
5 |
5 |
4 |
3 |
6 |
6 |
6 |
k |
6 |
6 |
5 |
6 |
5 |
6 |
5 |
6 |
4 |
4 |
4 |
4 |
5 |
5 |
5 |
2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом справочнике равна р1, во втором – р2, в третьем – р3. Найти вероятность того, что эта формула содержится: а) только в одном справочнике;
б) хотя бы в одном справочнике.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
р1 |
0,95 |
0,91 |
0,92 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
0,81 |
р2 |
0,9 |
0,7 |
0,8 |
0,92 |
0,98 |
0,97 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
0,8 |
р3 |
0,8 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
0,91 |
0,97 |
0,93 |
0,9 |
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
р1 |
0,86 |
0,87 |
0,9 |
0,95 |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
0,9 |
0,93 |
0,93 |
р2 |
0,8 |
0,8 |
0,89 |
0,89 |
0,89 |
0,9 |
0,95 |
0,9 |
0,9 |
0,9 |
р3 |
0,9 |
0,9 |
0,79 |
0,8 |
0,9 |
0,79 |
0,79 |
0,79 |
0,79 |
0,8 |
№ |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
р1 |
0,93 |
0,8 |
0,8 |
0,9 |
0,81 |
0,8 |
0,83 |
0,96 |
0,96 |
0,96 |
р2 |
0,9 |
0,94 |
0,94 |
0,94 |
0,85 |
0,7 |
0,72 |
0,8 |
0,8 |
0,9 |
р3 |
0,72 |
0,9 |
0,91 |
0,8 |
0,98 |
0,98 |
0,98 |
0,91 |
0,9 |
0,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
3. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов А% – первого класса риска, В% – второго, остальные – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна р1%, для второго – р2 % и для третьего – р3%. Какова вероятность того, что:
а) застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования;
б) получивший денежное вознаграждение относится к группе малого риска?
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
А |
40 |
47 |
50 |
48 |
52 |
50 |
51 |
45 |
47 |
53 |
55 |
50 |
56 |
60 |
58 |
В |
30 |
35 |
30 |
29 |
31 |
31 |
28 |
35 |
35 |
32 |
39 |
35 |
30 |
31 |
34 |
р1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
1 |
2 |
1 |
р2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
5 |
6 |
4 |
2 |
3 |
5 |
5 |
4 |
3 |
4 |
3 |
р3 |
5 |
4 |
5 |
6 |
6 |
7 |
5 |
6 |
5 |
7 |
6 |
8 |
7 |
6 |
5 |
№ |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
А |
51 |
56 |
60 |
61 |
52 |
52 |
48 |
56 |
62 |
56 |
60 |
58 |
55 |
57 |
65 |
В |
31 |
27 |
30 |
35 |
42 |
38 |
35 |
34 |
28 |
32 |
35 |
30 |
35 |
33 |
25 |
р1 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
3 |
р2 |
4 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
2 |
4 |
3 |
2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
5 |
р3 |
7 |
5 |
5 |
7 |
5 |
6 |
4 |
8 |
6 |
5 |
4 |
5 |
7 |
7 |
6 |
4. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна р. Пусть случайная величина Х – число выигрышных билетов среди n купленных билетов. Требуется:
а) составить закон распределения случайной величины X и простроить многоугольник полученного распределения;
б) вычислить М(Х) и D(X).
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
р |
0,25 |
0,25 |
0,17 |
0,2 |
0,21 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,12 |
0,31 |
n |
3 |
4 |
3 |
2 |
4 |
3 |
4 |
3 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
№ |
11 |
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
||||||||
р |
0,15 |
0,18 |
|
0,24 |
|
0,14 |
|
0,17 |
|
0,15 |
0,24 |
0,1 |
0,13 |
0,18 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
3 |
|
4 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
3 |
2 |
3 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
№ |
|
21 |
|
22 |
|
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
29 |
30 |
|||
р |
|
0,16 |
|
0,15 |
|
0,3 |
|
0,21 |
|
0,16 |
|
0,2 |
|
0,19 |
|
0,26 |
0,14 |
0,22 |
||||
n |
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
3 |
|
4 |
3 |
3 |
5.Случайная величина X задана функций распределения
ì |
0, |
x £ 0; |
F(x)= íïg(x), |
0 < x £1; |
|
ï |
1, |
x >1. |
î |
||
Требуется: а) найти функцию плотности вероятности φ(x); |
||
б) вычислить М(Х) и D(Х); |
||
в) найти вероятность попадания случайной величины в интервал J. |
||
Варианты 1–5 |
g(x) = (x3+3x2)/4 |
|
Варианты 6–10 |
g(x) = (х2+2х)/3 |
|
Варианты 11–15 |
g(x) = (3x+4)/3 |
|
Варианты 16–20 |
g(x) = (x2+x)/2 |
|
Варианты 21–25 |
g(x) = (2x2+x)/3 |
|
Варианты 26–30 |
g(x) = (х2+3х)/4 |
|
Варианты 1, 6, 11, 16, 21, 26 |
J = (0,2; 0,5) |
Варианты 2, 7, 12, 17, 22, 27 |
J= (0,3; 0,7) |
Варианты 3, 8, 13, 18, 23, 28 |
J= (0,1; 0,5) |
Варианты 4, 9, 14, 19, 24, 29 |
J= (0,4; 0,6) |
Варианты 5, 10, 15, 20, 25, 30 |
J= (0,5; 0,8) |
6. При изготовлении некоторого изделия его вес подвержен случайным колебаниям. Случайная величина Х – вес изделия распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а г. и средним квадратическим отклонением σ г. Найти вероятность того, что вес наугад выбранного изделия: а) находится в границах от х1 до х2;
б) меньше х1; в) больше х2.
7
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
а |
120 |
120 |
180 |
180 |
60 |
140 |
140 |
210 |
210 |
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
6 |
7 |
8 |
9 |
5 |
6 |
7 |
8 |
8 |
5 |
х1 |
110 |
100 |
160 |
170 |
50 |
120 |
130 |
200 |
190 |
50 |
х2 |
135 |
135 |
190 |
195 |
75 |
160 |
140 |
225 |
230 |
90 |
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
а |
160 |
160 |
240 |
240 |
120 |
225 |
270 |
270 |
65 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
6 |
6 |
7 |
6 |
5 |
4 |
5 |
6 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
155 |
130 |
225 |
230 |
110 |
215 |
265 |
255 |
60 |
90 |
х2 |
170 |
190 |
260 |
250 |
130 |
235 |
280 |
280 |
75 |
110 |
№ |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
а |
100 |
150 |
150 |
50 |
110 |
110 |
165 |
165 |
55 |
130 |
σ |
7 |
9 |
8 |
5 |
8 |
9 |
8 |
8 |
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
80 |
130 |
130 |
40 |
100 |
90 |
150 |
155 |
40 |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
110 |
160 |
160 |
65 |
120 |
125 |
180 |
180 |
65 |
150 |
7.Для приведенной ниже выборки (В – номер варианта):
а) построить дискретный статистический ряд и изобразить его графически в виде полигона;
б) определить размах выборки; вычислить выборочные среднее и среднее квадратическое отклонение, а также моду и медиану.
Выборка: |
|
|
|
|
|
В |
В |
В+1 |
В+2 |
В+3 |
В |
В+1 |
В+2 |
В+1 |
В+1 |
В+2 |
В+1 |
В |
В+1 |
В+2 |
В |
В+2 |
В |
В+1 |
В+2 |
В+1 |
В+3 |
В+1 |
В+2 |
В+2 |
В+3 |
В+4 |
В+1 |
В+2 |
В+2 |
8.Для приведенной ниже выборки (В – номер варианта):
а) построить интервальный статистический ряд и изобразить его графически в виде гистограммы и кумуляты;
8
б) определить размах выборки; вычислить выборочные среднее и среднее квадратическое отклонение, а также моду и медиану.
Выборка: |
|
|
|
|
|
В |
В+7 |
В+14 |
В+20 |
В+26 |
В+36 |
В+30 |
В+30 |
В+24 |
В+19 |
В+13 |
В+8 |
В+9 |
В+17 |
В+23 |
В+29 |
В+33 |
В+34 |
В+35 |
В |
В+5 |
В+3 |
В+1 |
В+11 |
В+11 |
В+4 |
В+17 |
В+16 |
В+20 |
В+19 |
В+16 |
В+10 |
В+5 |
В+4 |
В+8 |
В+14 |
В+9 |
В+2 |
В+2 |
В+8 |
В+8 |
В+7 |
В+7 |
В+1 |
В+2 |
В+8 |
В+10 |
В+10 |
В+11 |
В+12 |
|
|
|
|
Замечание. Количество интервалов рекомендуется выбирать по формуле Стерджеса.
9. Распределение 30 устройств по времени безотказной работы представлено в таблице (А – последняя цифра варианта).
Время |
|
|
|
|
безотказной |
80–100 |
100–120 |
120–140 |
140–160 |
работы (час) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число устройств |
4 |
7+А |
16-А |
3 |
|
|
|
|
|
Предполагая, что выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности, найти:
а) оценки x и s2 для генеральных средней и дисперсии;
б) границы, в которых с надежностью γ будет заключено среднее время безотказной работы устройств.
Варианты 1-10 γ = 0,98
Варианты 11-20 γ = 0,95 Варианты 21-30 γ = 0,90
Замечание. Выборку считать повторной.
9
10. Для исследования зависимости годового объема производства Y (усл. ед.) от основных фондов X (млн. ден. ед.) получены статистические данные по 32 предприятиям.
X |
Y |
X |
Y |
X |
Y |
|
|
|
|
|
|
32-В |
20+В |
67 |
43+В |
38-В |
28+В |
30-В |
24+В |
69-В |
37+В |
50 |
33+В |
36 |
28+В |
76 |
48+В |
34-В |
26+В |
40 |
30+В |
40 |
29+В |
48 |
32+В |
41 |
31+В |
45 |
31+В |
46 |
35+В |
47-В |
33+В |
45 |
35+В |
43 |
30+В |
56-В |
34+В |
42 |
32+В |
41 |
29+В |
54 |
37+В |
44-В |
28+В |
37 |
33+В |
60 |
38+В |
42 |
26+В |
30 |
26+В |
55 |
40+В |
45 |
31+В |
25 |
23+В |
61 |
41+В |
43 |
30+В |
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется: а) вычислить коэффициент линейной корреляции r;
б) проверить значимость коэффициента на уровне α, сделать вывод о тесноте и направлении связи между величинами X и Y;
в) найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X; г) построить корреляционное поле и график прямой регрессии.
Варианты 1-10 α = 0,01
Варианты 11-20 α = 0,02 Варианты 21-30 α = 0,05
Замечание. Выборка получена из нормально распределенной генеральной совокупности.
10