Грудцына Л.Ю. ТВиМС Метод. указания

3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

Говорят, что события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу событий, если эти события попарно несовместны, а их сумма является достоверным событием, т.е. Нi ·Нj= Ø при i≠j и Н1+Н2+…+Нn= Ω.

Простейшим примером полной группы событий является произвольное событие А и противоположное событие А .

По теореме сложения вероятностей, для полной группы справедливо равенство: Р(Н1)+Р(Н2)+…+Р(Нn)=1.

Формула полной вероятности

Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу. Тогда для любого события А имеет место формула:

Р(А) = Р(Н1)×Р(А/ Н1) + Р(Н2 )× Р(А/ Н2 ) +...+ Р(Нn )× Р(А/ Нn ) ,

где Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn) – вероятности событий Н1, Н2, …, Нn (называемых гипотезами), а Р(А/ Н1), Р(А/ Н2 ), ..., Р(А/ Нn ) – соответствующие условные вероятности события А.

Замечание. Как правило, формула полной вероятности в задаче применяется тогда, когда событие А может наступить только при условии появления одной из гипотез.

Формула Байеса

В формулу полной вероятности входят вероятности Р(Н1), Р(Н2), …, Р(Нn), которые называются априорными. Если событие А наступило, то эти вероятности изменяются. Это будут условные вероятности Р(Н1 / А), Р(Н2 / А), ..., Р(Нn / А) . Они могут быть найдены по формуле:

Р(Нi / А) = Р(Нi )× Р(А/ Нi )

P(A)

где Р(А) определяется по формуле полной вероятности.

Замечание. Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, можно проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.

Пример 5. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность равна 0,3, если на спаде. По его мнению, вероятность экономического подъема равна 0,8. Используя

31

предположения экономиста, оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Обозначим события: А – акции поднимутся в цене, Н1 – подъем экономики, Н2 – спад экономики.

По условию Р(Н1)=0,8. По смыслу задачи события “подъем экономики” и “спад экономики” противоположные, следовательно, Р(Н2)=1-0,8=0,2.

Событие А может наступить только при условии появления одного из событий Н1 или Н2. Эти события образуют полную группу.

Воспользуемся формулой полной вероятности для вычисления Р(А):

Р(А) = Р(Н1) × Р(А/ Н1) + Р(Н2 ) × Р(А/ Н2 ) .

Определим условные вероятности события А: Р(А/Н1)=0,75 (вероятность роста стоимости акций, если экономика страны будет на подъеме), Р(А/Н2)=0,3 (вероятность роста стоимости акций, если экономика страны будет на спаде).

Тогда Р(А)=0,8·0,75+0,2·0,3=0,66.

4. СХЕМА ИСПЫТАНИЙ БЕРНУЛЛИ

Пусть проводятся n независимых испытаний, в результате которых может появиться событие А с постоянной вероятностью р и не появиться с вероятностью q=1-р. Появление события А называют успехом, а непоявление

– неуспехом. Такая схема называется схемой испытаний Бернулли.

Формула Бернулли

Пусть Х – число успехов в n испытаниях Бернулли. Тогда Вероятность события Х=m (ровно m успехов в n испытаниях) вычисляется по формуле:

Pn (m) = P(X = m) = Cmn × pm ×qn−m .

Пример 6. Вероятность того, что поступивший в продажу автомобиль некомплектен, равна 0,3. В автосалон поступило 10 автомобилей. Найти вероятность того, что среди них некомплектность имеют: а) два автомобиля; б) менее двух.

Решение. В задаче выполняются все условия схемы испытаний Бернулли. Событие А – автомобиль некомплектен, его вероятность (вероятность успеха) р=0,3; вероятность неуспеха q=1-0,3=0,7; количество испытаний n=10.

32

а) Нас интересует наступление события А в n=10 испытаниях m=2 раза. По формуле Бернулли:

б) Здесь речь идет о наступлении события А в n=10 испытаниях менее, чем m=2 раза. “Менее чем 2” в условиях данной задачи означает “один или ни одного”. По теореме сложения вероятностей: P10(m<2)=P10(0)+P10(1).

Найдем искомую вероятность:

P10 (m < 2) = C100 ×(0,3)0 ×(0,7)10−0 + C110 ×(0,3)1 ×(0,7)10−1 » 0,028+ 0,121» 0,15.

При больших n вычисление вероятностей Pn(m) по формуле Бернулли практически невозможно, поэтому для их вычисления используют различные приближенные формулы, например, формулы Муавра-Лапласа.

Формулы Муавра–Лапласа

При любом р (0,1) и при достаточно больших n (полагают, что npq≥20) вероятности Pn(m) можно вычислять по приближенной формуле (локальная

Для упрощения расчетов, связанных с применением этой формулы, составлена таблица значений функции Гаусса. Пользуясь таблицей, нужно иметь ввиду следующие свойства функции: f (-x) = f (x) ; при x > 4 f (x) ≈ 0 .

Для вычисления вероятностей нахождения числа успехов в определенных пределах используется интегральная формула.

При любом р (0,1) и при достаточно больших n (полагают, что npq≥20) вероятность того, что число наступления события А в n испытаниях заключено в пределах от a до b приближенно равна:

33

Составлена таблица значений функции Лапласа. Пользуясь таблицей, нужно иметь ввиду следующие свойства функции: Φ(−x) = −Φ(x) ; при

x > 4 F(x) »1.

Пример 7. В партии 768 арбузов. Каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 0,25. Найти вероятность того что количество спелых арбузов: а) будет равно 564; б) находится в пределах от 564 до 600.

Решение. Будем считать, что имеется n=768 испытаний Бернулли. Событие А – арбуз спелый. Вероятность успеха р=1-0,25=0,75.

а) Требуется найти P768(564). Вычислить эту вероятность по формуле Бернулли технически сложно. Воспользуемся локальной формулой Муавра–

таблице (см. Приложения).

34

5. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Под случайной величиной Х понимается переменная, которая в результате испытания принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно).

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной случайной величиной называется такая величина, значения

которой есть конечное или счетное множество.

Формой задания закона распределения для дискретной случайной величины является таблица, называемая рядом распределения, в которой перечислены все возможные значения Х=х1, Х=х2, … ,Х=хn и соответствующие им вероятности р1, р2, … ,рn , причем р1+р2+…+рn=1.

Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения Х, а на вертикальной – соответствующие им значения вероятностей. Соединение полученных точек образует ломаную,

называемую многоугольником распределения вероятностей.

Пример 8. В книжном магазине организована лотерея. Разыгрываются две книги стоимостью 100 и одна стоимостью 300 рублей. Составить закон распределения случайной величины Х – суммы чистого выигрыша для того, кто приобрел один билет за 10 рублей, если всего продано 50 билетов.

Решение. Случайная величина Х – сумма чистого выигрыша может принимать следующие значения: Х=-10 (куплен проигрышный билет, потрачено 10 р.), Х=90 (куплен выигрышный билет с книгой стоимостью 100 р., чистый выигрыш – 100-10=90), Х=290 (куплен выигрышный билет с книгой стоимостью 300 р., чистый выигрыш – 300-10=290).

Вычислим соответствующие вероятности, применяя классическое определение:

p1 = P(X = 0) = 47 / 50 = 0,94 (47 благоприятных исходов из 50); p2 = P(X = 1) = 2 / 50 = 0,04 (2 благоприятных исхода из 50);

p3 = P(X = 2) = 1/ 50 = 0,02 (1 благоприятный исход из 50).

Проверим сумму полученных вероятностей: р1+р2+р3=0,94+0,04+0,02=1.

Тогда ряд распределения будет иметь следующий вид:

35

Математическим ожиданием дискретной случайной величины

называется сумма произведений возможных значений этой величины на

n

соответствующие вероятности: М (Х ) = х1 p1 + x2 p2 +...+ xn pn = å xi pi .

i=1

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

D(X ) = M (X - M (X ))2 .

Для вычисления дисперсии обычно используют более удобную формулу:

Квадратный корень из дисперсии называют средним квадратическим отклонением: σ (Х ) = D(X ) .

Дисперсия (как и среднее квадратическое отклонение) характеризует рассеяние случайной величины около среднего значения.

Пример 9. Случайная величина задана рядом распределения. Вычислить

М(Х), D(X).

D(X ) = M (X 2 ) -(M (X ))2= (-1)2×1/ 5 + 02×1/ 3 +12×1/ 3 + 22× 2 /15 - (0,4)2» 0,9 .

Биномиальный закон распределения

Пусть имеются n испытаний Бернулли с вероятностью успеха р и неуспеха q=1-р. Дискретная случайная величина Х – число успехов имеет распределение, называемое биномиальным распределением с параметрами р и q. Математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины соответственно равны: М(Х)=np, D(X)=npq.

36

6. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину,

бесконечное несчетное множество значений которой есть некоторый интервал числовой оси.

Так как значения такой величины могут сколь угодно мало отличаться друг от друга, имеет смысл вычислять вероятность не отдельного события Х=х1, а вероятность ее попадания в некоторый числовой интервал, например, х1≤Х≤х2. Вообще говоря, вероятность любого отдельно взятого значения (вполне возможного) непрерывной случайной величины равна нулю.

Одной из форм задания закона распределения является функция распределения. Ряд распределения не подходит для описания непрерывной случайной величины (т.к. нельзя перечислить множество ее значений).

Функцией распределения случайной величины Х называется функция

F(x), выражающая для каждого х вероятность события Х<x (где Х – значение случайной величины, а х – произвольно задаваемое значение):

F(x) = P(X<х).

Отметим некоторые свойства функции распределения.

1.Функция распределения – неотрицательная неубывающая функция, заключенная между нулем и единицей: 0≤F(x)≤1.

2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс

Плотностью вероятности φ(х) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения:

φ(х) = F′(x).

Плотность вероятности, как и функция распределения, является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

Свойства плотности вероятности.

+∞

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, причем: òϕ(x)dx = 1.

−∞

2. Вероятность попадания случайной величины в интервал (a, b) или [a, b]

b

равна: Р(a < X < b) = Р(а ≤ Х ≤ b) = òϕ(x)dx = F(b) − F(a) .

a

37

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины

+∞

называется значение интеграла: М (Х ) = ò х×ϕ(x)dx .

−∞

Для нахождения дисперсии непрерывной случайной величины

используют формулу:

Пример 10. Функция распределения непрерывной случайной величины X

– времени безотказной работы некоторого устройства равна

Найти вероятность безотказной работы устройства за время: а) 0<х<5; б) x>5. Решение. а) Воспользуемся формулой: Р(a < X < b) = F(b) − F(a) .

Р(0 < X < 5) = F(5) - F(0) = (1- е−5/ 5 ) - 0 = 1- е−1 » 0,63 (здесь е≈2,7).

б) Чтобы вычислить вероятность Р(X > 5) воспользуемся формулой для

нахождения вероятности события А через противоположное событие А : Р(А)=1–Р( А ). Учтем также, что величина X – время безотказной работы принимает неотрицательные значения.

Р(А)=1–Р( А ).

Р(X > 5) =1- P(X < 5) =1- P(0 < X < 5) = 1- 0,63 = 0,37 .

Нормальный закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно параметру а, а дисперсия равна σ2, т.е. М(Х)=а;

D(Х)= σ2.

нормальной случайной величины FN (x) связаны соотношением:

38

Рассмотрим некоторые свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.

1. Вероятность попадания X N (a, σ ) в интервал (х1, х2) равна:

интервале (а–3σ, а+3σ), т.е. Р( X - а < 3σ ) »1 (правило “трех сигм”).

Замечание 1. Рассмотренная ранее приближенная формула Муавра– Лапласа следует из свойства (1) нормально распределенной случайной

величины при a=np и σ = npq , т.к. биномиальный закон распределения

случайной величины X=m с параметрами n и p при n → ∞ стремится к нормальному закону.

Замечание 2. Нормальное распределение возникает всегда при систематических отклонениях случайной величины от своего среднего, например, при измерении физических величин. Нормальное распределение возникает также при сложении множества случайных величин. Действительно, А.М. Ляпуновым была доказана теорема, сущность которой заключается в том, что при некоторых условиях распределение суммы n независимых величин с произвольным распределением стремится к нормальному если n → ∞ .

Пример 11. Текущая цена некоторой акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. С помощью правила “трех сигм” определить границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Решение. Практически достоверно, что цена данной акции заключена в границах от а–3σ=15-3·0,2=14,4 (ден. ед.) до а+3σ=15+3·0,2=15,6 (ден. ед.), т.е. X Î (14,4; 15,6) .

39

7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Под генеральной совокупностью понимается совокупность объектов или наблюдений, все элементы которой подлежат изучению.

Генеральная совокупность подразумевается также как совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли быть произведены при выполнении данного комплекса условий (в этом смысле понятие генеральной совокупности аналогично понятию случайной величины).

Изучение всего набора элементов генеральной совокупности (конечного или бесконечного) часто оказывается невозможным, в таких случаях рассматривают некоторую часть.

Часть объектов генеральной совокупности, используемая для исследования, называется выборочной совокупностью или выборкой.

Число N элементов генеральной совокупности и число n выборочной совокупности будем называть объемами генеральной и выборочной совокупности соответственно.

Пусть некоторый признак генеральной совокупности описывается случайной величиной Х. Рассмотрим выборку х1, х2, …, хn. Выборка может быть записана в виде вариационного (несгруппированного) и статистического (группированного) рядов.

Последовательность выборочных значений х1, х2, …, хn, записанная в порядке неубывания называется вариационным рядом.

Различные элементы выборки называются вариантами.

Частотой варианта хi называется число ni, показывающее, сколько раз вариант встречается в выборке.

Частостью варианта (относительной частотой, долей) называется отношение wi = nni .

Пусть х – некоторое число. Тогда количество вариант nx, значения

Дискретным статистическим рядом называется упорядоченный ряд вариантов с соответствующими им частотами (или частостями).

40