TEOR_inform_19-12-10_2014_01_06_12_12_03_442

число остатков дает неприводимый полином Pr x , так как он не содержит ни од-

ного сомножителя кроме самого себя.

Боузом и Чоудхури доказано[20], что существует циклический код разрядно-

может быть представлен в виде произведения неприводимых многочленов, степени которых являются делителями числа m от 1 до m включительно [Березюк].

Соотношение между числом исправляемых ошибок s, числом информационных символов и числом проверочных символов регулируется формулой (5.6).

В таблице 5.4 приведены значения числа символов n в кодовой последовательности в зависимости от величины m, обеспечивающие кодовое расстояние d=3

x15 1 ( x 1) ( x2 x 1) ( x4 x 1) ( x4 x3 1) ( x4 x3 x2 x 1) .

Не каждый многочлен даѐт необходимое число остатков. Например, при исправлении однократной ошибки в 15-разрядном коде необходимо 15 остатков , полученных от деления кода ошибки на неприводимый полином. Однако, если выбран по-

лином P4 ( x ) x4 x3 x2 x 1 будет всего шесть остатков. В то же время полином P4 ( x ) x4 x3 1 даѐт 15 остатков. Двоичное значение полинома

P4 ( x ) x4 x3 1 11001.

Образование циклического кода. n-разрядная кодовая комбинация имеет вид aT a1 a2 ak b1 b2 br , k r n . Положим, определены k, r и n . Тогда известны неприводимый многочлен Pr ( x ) и многочлен Gk 1 ( x ) , соответствующий k-разрядной комбинации информационных символов a1 a2 ak . Необходимо оп-

ределить проверочные символы b1 b2 br . Один из методов образования кода за-

ключается в следующем.

71

Многочлен Gk 1 ( x ) умножается на xr . Это соответствует приписыванию r

нулей справа в кодовой последовательности a1 a2 ak . Произведение Gk 1 ( x ) xr

делится на неприводимый полином Pr ( x ) и получается r - разрядный остаток Rr 1 ( x ) . Все символы b1 b2 br в кодовой последовательности

a1 ak b1 b2 br замещаются символами остатка. В результате имеем многочлен

f ( x ) Gk 1 ( x ) x r Rr 1 ( x ) .

Полученный многочлен делится без остатка на неприводимый многочлен. Действительно,

Если в одном из разрядов символ изменил своѐ значение, остаток от деления f ( x ) / Pr ( x ) не равен нулю. Каждому ошибочному символу в кодовой комбина-

ции a1 a2 ak b1 b2 br соответствует свой остаток (синдром).

Пусть n = 7, k = 4, r = 3. Выберем полином P3 ( x ) x3 x 1 1011, который дает 7 остатков. Положим, a1 a2 a3 a4 1110 . Неизвестными являются прове-

рочные символы b1 b2 b3 .

Определим полиномы и соответствующие им коды G3 ( x ) x3 1110000,

P3 ( x ) 1011. Остаток от деления полинома G3 ( x ) x3 на полином P3 ( x ) равен

R2 ( x ) 100.

Заменим нули проверочной части кода 1110000 кодом остатка и получим закодированную кодовую комбинацию 1110100, которому соответствует полином вида G6 ( x ) x6 x5 x4 x2 . Разделив полином G6 ( x ) на полином P3 ( x ) , получим полином R2 ( x ) 000.

Исправление однократной ошибки. Для исправления однократных ошибок определим коды ошибок, соответствующие каждому разряду кодовой комбинации. Заменяя исправный символ в коде 1110100 ошибочным и деля полученный код на код неприводимого многочлена, получим код ошибки (синдром) для соответствующего разряда. В результате получится таблица 5.5. Если искажѐн символ, скажем a4 , то после деления кода с искажѐнным символом на код неприводимого

многочлена получим синдром 011, что позволит инвертировать символ a4 .

72

Таблица 5.5

Исправление однократной ошибки возможно несколькими методами. Используя методы исправление однократной ошибки систематическими кодами можно так же создать проверочную матрицу, а по ней записать проверочные уравнения. Другим методом является метод, основанный на свойствах записи циклических кодов и весе однократной ошибки, равный единице.

Считается, множество кодов, составляющие разрешѐнные комбинации , образовано с помощью выбранного неприводимого полинома и он остается неизменным во время исправления однократной ошибки. В зафиксированной кодовой комбинации содержится однократная ошибка. При делении зафиксированной кодовой комбинации на код образующего полинома получается остаток. Если все разряды кода не искажены, остаток равен нулю. Искажение одного из символов приводит к остатку, отличного от нуля. Анализ остатка позволяет определить искажѐнный символ. Ввиду того, что ошибка однократная и надо найти разряд, в котором произошла ошибка, то вес остатка w должен быть равен единице. Чтобы проверить каждый разряд кода на наличие ошибки производится поэтапно циклический сдвиг влево на один разряд кодовой комбинации. На каждом этапе осуществляется деление сдвинутого кода на неприводимый полином и определяется вес остатка w . Процедура циклических сдвигов останавливается, если вес остатка w =1. Этот остаток служит индикатором того, что последний разряд в сдвинутом коде ошибочный и его надо инвертировать. Инвертирование достигается суммированием по модулю 2 сдвинутого кода с кодом остатка.

Чтобы восстановить неискажѐнную кодовую комбинацию производятся циклические сдвиги вправо столько раз, сколько производились циклические сдвиги влево.

Пример 5.6 Пусть n = 7, k = 4, r = 3. Выберем полином P3 ( x ) x3 x 1

1011, который дает 7 остатков. Выберем из множества разрешѐнных кодовых комбинаций код 1110100 и внесѐм ошибку в 4-ый разряд 1111100. На рисунке 5.8 показана процедура определения искажѐнного символа. Разделив кодовую комбинацию с ошибкой на неприводимый полином, убедимся, что вес остатка w

73

е

Рис. 5.8 Процедура определения искажѐнного символа

больше 1, рисунок 5.8 а. На рисунках 5.8 б, 5.8 в, 5.8 г показаны процедуры циклического сдвига и получения остатков, больших единицы. На рисунке 5.8.д демонстрируется, после очередного циклического сдвига и деления полученного кода на неприводимый полином остаток равен единице, следовательно вес остатка w=1. Это значит последний сдвинутый символ ошибочный. Чтобы исправить ошибочный символ, последнюю кодовую комбинацию сложим по модулю 2 с остатком, рисунок 5.8.е. Произведя последовательно 4 раза циклический перенос вправо кодовой комбинации с исправленным символом, получим безошибочную кодовую комбинацию:

1001110 0100111, 1010011, 1101001, 1110100.

74