Ангем

k | UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD \LLIPSA, TO URAWNENIE SOPRQVENNOGO IM DIAMETRA IMEET WID:

ax2 + kby2 = 0 :

dWA DIAMETRA, IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY, PARAL- LELXNYE DRUGOMU, NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI. eSLI k1 k2 | IH UG- LOWYE KO\FFICIENTY, TO

b2 r1r2 = ;a2 :

kASATELXNAQ K \LLIPSU W EGO TO^KE M0(x0 y0) OPREDELQETSQ URAW-

NENIEM:

xxa20 + yyb20 = 1 :

zada~i

191.sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE \LLIPSA, ESLI:

1)POLUOSI EGO SOOTWETSTWENNO RAWNY 5 I 4

2)RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO 8 I BOLX[AQ OSX RAWNA 10

3)BOLX[AQ OSX RAWNA 26 I \KSCENTRISITET e = 1213.

192.oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA x252 + 169y2 = 1.

193.dAN \LLIPS x362 + y202 = 1. nAPISATX URAWNENIQ EGO DIREKTRIS.

194.oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA, ZNAQ, ^TO:

1)MALAQ OSX EGO WIDNA IZ FOKUSA POD PRQMYM UGLOM

2)RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO RASSTOQNI@ MEVDU WER[INAMI MALOJ I BOLX[OJ OSEJ

3)RASSTOQNIE MEVDU DIREKTRISAMI W ^ETYRE RAZA BOLX[E RASSTOQ- NIQ MEVDU FOKUSAMI.

195.nA \LLIPSE 100x2 + y362 = 1 NAJTI TO^KU, RASSTOQNIE KOTOROJ OT PRAWOGO FOKUSA W ^ETYRE RAZA BOLX[E RASSTOQNIQ EE OT LEWOGO FOKUSA.

41

196.oPREDELITX DIAMETR \LLIPSA x252 + y162 = 1, SOPRQVENNYJ HORDAM, IME@]IM UGLOWOJ KO\FFICIENT k = 23 .

197.sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY \LLIPSA x252 + y162 = 1, KOTORAQ TO^KOJ M(2 1) DELITSQ POPOLAM.

198.dOKAZATX, ^TO STORONY PRQMOUGOLXNIKA, WPISANNOGO W \L- LIPS PARALLELXNY EGO OSQM.

199.nAPISATX URAWNENIE KASATELXNOJ K \LLIPSU x322 + 18y2 = 1 W TO^KE M(4 3).

200.sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K \LLIPSU 25x2 + 16y2 = 1,

PROHODQ]IH ^EREZ TO^KU N(10 4).

201. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax+

By + C = 0 KASAETSQ \LLIPSA x2 + y2 = 1?

a2 b2

202. nAJTI OB]IE KASATELXNYE K SLEDU@]IM DWUM \LLIPSAM: x52 + y42 = 1 I x42 + y52 = 1.

203. dOKAZATX, ^TO OTREZKI KASATELXNYH K \LLIPSU x2 + y2 = 1,

a2 b2

ZAKL@^ENNYE MEVDU KASATELXNYMI, PROWEDENNYMI W WER[INAH BOLX- [OJ OSI, WIDNY IZ FOKUSOW POD PRQMYM UGLOM.

204.nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO PROEKCIJ KAKOGO-LIBO FOKUSA \LLIPSA NA KASATELXNYE K \TOMU \LLIPSU.

205.nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ, KASA@- ]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU, LEVA- ]U@ WNUTRI \TOJ OKRUVNOSTI.

||||||||||||||{

206.oPREDELITX FOKUSY \LLIPSA x252 + y162 = 1.

207.oPREDELITX \KSCENTRISITET \LLIPSA, ESLI:

1)OTREZOK MEVDU FOKUSAMI WIDEN IZ WER[IN MALOJ OSI POD UGLOM

60

2) RASSTOQNIE MEVDU DWUMQ WER[INAMI \LLIPSA RAZLI^NYH OSEJ W DWA RAZA BOLX[E RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI

42

3) RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI ESTX SREDNEE ARIFMETI^ESKOE DLIN OSEJ.

208. pRQMYE x = 8 SLUVAT DIREKTRISAMI \LLIPSA, MALAQ OSX KOTOROGO RAWNA 8. nAJTI URAWNENIE \TOGO \LLIPSA.

2

209. ~EREZ FOKUS F(c 0) \LLIPSA xa2 = 1 PROWEDENA HORDA, PERPENDIKULQRNAQ K BOLX[OJ OSI. nAJTI DLINU \TOJ HORDY.

210. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ SEREDINY

By + C = 0:

1) PERESEKAET \LLIPS x2 + y2 = 1?

a2 b2

2)NE PERESEKAET \TOT \LLIPS?

216.nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOGO \LLIPSA DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH K \TOMU \LLIPSU.

43

rIS. 5.

17 gIPERBOLA

gIPERBOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK, DLQ KOTORYH ABSOL@T- NAQ WELI^INA RAZNOSTI RASSTOQNIJ OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK | FO KUSOW GIPERBOLY ESTX WELI^INA POSTOQNNAQ, RAWNAQ 2a. rASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI F2F1 = 2c (RIS. 5).

pROSTEJ[EE URAWNENIE GIPERBOLY MY POLU^IM, WYBRAW PRQMU@, SOEDINQ@]U@ FOKUSY, ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT W SEREDINE MEVDU NIMI. tOGDA URAWNENIE GIPERBOLY PRIMET WID:

GDE b2 = c2 ; a2.

pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T S OSQMI SIMMETRII GIPERBOLY, A NA^ALO KOORDINAT | S CENTROM SIMMETRII.

gIPERBOLA IMEET DWE DEJSTWITELXNYE WER[INY | TO^KI PERESE^E-

44

NIQ GIPERBOLY S OSX@ Ox OTREZOK, ZAKL@^ENNYJ MEVDU NIMI NAZY- WAETSQ DEJSTWITELXNOJ (WE]ESTWENNOJ) OSX@ GIPERBOLY. sO WTOROJ OSX@ GIPERBOLA PERESEKAETSQ W DWUH MNIMYH TO^KAH (0 ib). uSLOW- NO, DEJSTWITELXNYJ OTREZOK 2b NAZYWAETSQ MNIMOJ OSX@ GIPERBOLY.

~ISLO

e = ac > 1

NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM GIPERBOLY.

rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M(x y) GIPERBOLY DO FOKUSOW NAZYWA-

@TSQ EE FOKALXNYMI RADIUSAMI WEKTORAMI r1 I r2 DLQ LEWOJ WETWI

GIPERBOLY MY IMEEM:

r1 = ;a ; ex r2 = a ; ex

DLQ PRAWOJ WETWI:

r1 = a + ex r2 = ;a + ex :

pRQMYE, OPREDELQEMYE URAWNENIQMI

x = ae

NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI GIPERBOLY.

oTNO[ENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI GIPERBOLY DO FOKUSA (r1 ILI r2) K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY (d1 ILI d2) RAWNO \KSCENTRISITETU:

r1 = r2 = e : d1 d2

sEREDINY PARALLELXNYH HORD GIPERBOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, NAZYWAEMOJ DIAMETROM GIPERBOLY, SOPRQVENNYM \TIM HORDAM. eS- LI k | UGLOWOJ KO\FFICIENT HORD GIPERBOLY, TO URAWNENIE SOPRQ- VENNOGO IM DIAMETRA IMEET WID:

45

dWA DIAMETRA, IZ KOTORYH KAVDYJ DELIT POPOLAM HORDY, PARAL- LELXNYE DRUGOMU, NAZYWA@TSQ SOPRQVENNYMI. eSLI k1 k2 | IH UG- LOWYE KO\FFICIENTY, TO

b2 k1k2 = a2 :

kASATELXNAQ K GIPERBOLE W EGO TO^KE M0(x0 y0) OPREDELQETSQ

aSIMPTOTY GIPERBOLY OPREDELQ@TSQ URAWNENIQMI:

y = ab x :

dWE GIPERBOLY

zada~i

217.sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY, ESLI:

1)DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA 48 I \KSCENTRISITET e = 1312

2)DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA 16 I UGOL MEVDU ASIMPTOTOJ I OSX@ ABSCISS OPREDELQETSQ USLOWIEM tg = 34 .

218.dANY URAWNENIQ ASIMPTOT GIPERBOLY y = 125 x I KOORD- NATY TO^KI M(24 5), LEVA]EJ NA GIPERBOLE. sOSTAWITX URAWNENIE GIPERBOLY.

219.oPREDELITX FOKUSY GIPERBOLY 25x2 ; 144y2 = 1.

220.dOKAZATX, ^TO DIREKTRISA GIPERBOLY PROHODIT ^EREZ OSNO- WANIE PERPENDIKULQRA, OPU]ENNOGO IZ SOOTWETSTWU@]EGO FOKUSA NA ASIMPTOTU GIPERBOLY. wY^ISLITX DLINU \TOGO PERPENDIKULQRA.

221.sOSTAWITX URAWNENIE TAKOJ HORDY GIPERBOLY x92 ; y42 = 1, KOTORAQ TO^KOJ M(5 1) DELITSQ POPOLAM.

46

1)PARALLELXNA PRQMOJ 3x ; y ; 17 = 0

2)PERPENDIKULQRNA K PRQMOJ 2x + 5y + 11 = 0.

224.oPREDELITX PROIZWEDENIE RASSTOQNIQ OT FOKUSOW GIPERBOLY

x2 ; y2 = 1 DO KASATELXNOJ.

a2 b2

225. dOKAZATX, ^TO PROIZWEDENIE OTREZKOW, OTSEKAEMYH KASATELX- NOJ K GIPERBOLE NA EE ASIMPTOTAH (S^ITAQ OT CENTRA), RAWNO KWAD- RATU POLOWINY RASSTOQNIQ MEVDU FOKUSAMI.

226. dOKAZATX, ^TO TO^KA GIPERBOLY SLUVIT SEREDINOJ OTREZKA KASATELXNOI K \TOJ GIPERBOLE, ZAKL@^ENNOGO MEVDU ASIMPTOTAMI.

||||||||||||||{

227.sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE GIPERBOLY, ESLI:

1)DEJSTWITELXNAQ POLUOSX a = 5 I MNIMAQ b = 3

2)RASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI RAWNO 10 I DEJSTWITELXNAQ OSX RAWNA

8.

47

Ax + By + C = 0 S GIPERBOLOJ x2 ; y2 = 1.

a2 b2

233. dANY FOKUSY GIPERBOLY F1(4 2) F2(;1 ;10) I URAWNENIE KASATELXNOJ 3x + 4y ; 5 = 0. oPREDELITX POLUOSI.

234. nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW OKRUVNOSTEJ, KASA@- ]IHSQ DANNOJ OKRUVNOSTI I PROHODQ]IH ^EREZ DANNU@ TO^KU, LEVA- ]U@ WNE \TOJ OKRUVNOSTI.

235. nAJTI PROIZWEDENIE RASSTOQNIJ OT FOKUSA DANNOJ GIPERBO- LY DO L@BYH DWUH PARALLELXNYH KASATELXNYH, K \TOJ GIPERBOLE.

236. nAJTI PLO]ADX TREUGOLXNIKA, OBRAZOWANNOGO ASIMPTOTAMI = 1 I PROIZWOLXNOJ KASATELXNOJ K \TOJ GIPERBOLE.

18 pARABOLA

pARABOLA ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK, RAWNOUDALENNYH OT PO- STOQNNOJ TO^KI | FOKUSA PARABOLY | I POSTOQNNOJ PRQMOJ | DI REKTRISY PARABOLY (RIS. 6).

eSLI ZA OSX ABSCISS PRINQTX PERPENDIKULQR, OPU]ENNYJ IZ FOKU- SA NA DIREKTRISU, A NA^ALO KOORDINAT POMESTITX POSREDINE MEVDU FOKUSOM I DIREKTRISOJ, TO URAWNENIE PARABOLY BUDET:

y2 = 2px

GDE PARAMETR p ESTX RASSTOQNIE FOKUSA OT DIREKTRISY. pARABOLA IMEET ODNU OSX SIMMETRII, KOTORAQ SOWPADAET, PRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT, S OSX@ Ox. eDINSTWENNAQ WER[INA PARABOLY SOWPADAET S NA^ALOM KOORDINAT.

dIREKTRISA PARABOLY OPREDELQETSQ URAWNENIEM:

p x = ;2 :

rASSTOQNIE r L@BOJ TO^KI M(x y) PARABOLY DO FOKUSA OPREDE-

48

M(x y)

rIS. 6.

LQETSQ FORMULOJ

p

r = 2 + x :

sEREDINY PARALLELXNYH HORD PARABOLY LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, NAZYWAEMOJ DIAMETROM PARABOLY, SOPRQVENNYM \TIM HORDAM. wSE DIAMETRY PARABOLY PARALLELXNY EE OSI SIMMETRII I OPREDELQ@TSQ

URAWNENIEM

p y = k

GDE k | UGLOWOJ KO\FFICIENT SOPRQVENNYH EMU HORD. kASATELXNAQ K PARABOLE W TO^KE M0(x0 y0) OPREDELQETSQ URAWNE-

NIEM

y0y = p(x + x0) :

zada~i

237. oPREDELITX KOORDINATY FOKUSA PARABOLY y2 = 4x.

49

238.sOSTAWITX KANONI^ESKOE URAWNENIE PARABOLY, ESLI RASSTO- QNIE FOKUSA OT WER[INY RAWNO 3.

239.nA PARABOLE y2 = 6x NAJTI TO^KU, FOKALXNYJ RADIUS-WEKTOR KOTOROJ RAWEN 20.

240.~EREZ FOKUS PARABOLY y2 = 2px PROWEDENA HORDA, PERPENDI- KULQRNAQ K EE OSI. oPREDELITX DLINU \TOJ HORDY.

241.nAJTI TAKU@ HORDU PARABOLY y2 = 4x, KOTORAQ TO^KOJ (3 1) DELITSQ POPOLAM.

242.nAJTI NEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE KASANIQ PRQMOJ

Ax + By + C = 0 I PARABOLY y2 = 2px.

243.oPREDELITX GEOMETRI^ESKOE MESTO OSNOWANIJ PERPENDIKU- LQROW, OPU]ENNYH IZ FOKUSA PARABOLY y2 = 2px NA KASATELXNYE.

244.nAJTI KRAT^AJ[EE RASSTOQNIE PARABOLY y2 = 4x OT PRQMOJ

4x + 3y + 46 = 0.

245.mOSTOWAQ ARKA IMEET FORMU PARABOLY. oPREDELITX PARA- METR \TOJ PARABOLY, ZNAQ, ^TO PROLET ARKI RAWEN 24 M, A WYSOTA

6 M.

246.nAJTI GEOMETRI^ESKOE MESTO CENTROW KRUGOW, PROHODQ]IH

^EREZ DANNU@ TO^KU I KASA@]IHSQ DANNOJ PRQMOJ.

REKTRISU I FOKALXNU@ HORDU, PERPENDIKULQRNU@ K OSI, W TO^KAH,

50