Ангем

134.nAPISATX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU (3, -5) PARALLELXNO WEKTORU f-4, 2g.

135.nAPISATX W PARAMETRI^ESKOJ FORME URAWNENIQ SLEDU@]IH

PRQMYH:

138. uSTANOWITX, KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA- @T, PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ:

31

140. dANY URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; y ; 1 = 0 x ; 2y = 0 I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M(3 ;1). nAPI- SATX, URAWNENIE DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA.

141. w KAKOM OTNO[ENII PRQMAQ 2x ; y + 5 = 0 DELIT OTREZOK, NA^ALO KOTOROGO NAHODITSX W TO^KE (-5, 4), A KONEC | W TO^KE (2, 1)?

142. dOKAZATX, ^TO PRQMAQ 5x ; y ; 5 = 0 PERESEKAET OTREZOK PRQMOJ 3x ; 2y ; 6 = 0, ZAKL@^ENNYJ MEVDU OSQMI KOORDINAT.

143. oPREDELITX POLOVENIE PRQMOJ x ; 7y + 5 = 0 OTNOSITELXNO TREUGOLXNIKA, WER[INY KOTOROGO A(3 1) B(;2 4) C(1 0).

||||||||||||||{

144.sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO- ORDINAT I ^EREZ TO^KU (-1, -8).

145.sOSTAWITX PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ PRQMOJ, OTSEKA@- ]EJ NA OSQH Ox I Oy OTREZKI 3 I -5.

146.uSTANOWITX, KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH SOWPADA- @T, PARALLELXNY ILI PERESEKA@TSQ W POSLEDNEM SLU^AE NAJTI TO^KU PERESE^ENIQ:

147. ~EREZ TO^KU (7, 4) PROWESTI PRQMU@, PARALLELXNU@ PRQMOJ

3x ; 2y + 4 = 0.

148. sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU (;8 1) PARALLELXNO PRQMOJ x + y + 7 = 0.

149. zNAQ URAWNENIQ DWUH STORON PARALLELOGRAMMA x ; 3y = 0 I 2x + 5y + 6 = 0 I ODNU IZ EGO WER[IN C(4 ;1) SOSTAWITX URAWNENIQ

32

DWUH DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA.

150.dANY WER[INY TREUGOLXNIKA: A(;1 2) B(3 ;1) I C(0 4). ~EREZ KAVDU@ IZ NIH PROWESTI PRQMU@, PARALLELXNU@ PROTIWOLE- VA]EJ STORONE.

151.sOSTAWITX URAWNENIQ STORON PARALLELOGRAMMA ABCD, ZNAQ, ^TO EGO DIAGONALI PERESEKA@TSQ W TO^KE M(1 6), A STORONY AB BC

CD I DA PROHODQT SOOTWETSTWENNO ^EREZ TO^KI P (3 0) Q(6 6) R(5 9) S(;5 4).

152. w PARALLELOGRAMME ABCD DANY URAWNENIQ STORON AB :

3x+4y;12 = 0 I AD : 5x;12y;6 = 0 I TO^KA E(;2 136 ) | SEREDINA STORONY BC. nAJTI URAWNENIQ DRUGIH STORON PARALLELOGRAMMA.

153. dANY DWE TO^KI A(;3 1) I B(5 4) I PRQMAQ x ; 2y = 0. dOKAZATX, ^TO DANNAQ PRQMAQ PERESEKAET PRODOLVENIE OTREZKA AB ZA TO^KU B.

154. oPREDELITX POLOVENIE TO^EK A(3 1) B(7 ;6) C(;1 1) D(3 2) OTNOSITELXNO TREUGOLXNIKA, URAWNENIQ STORON KOTOROGO

2x ; y + 2 = 0 x + y ; 4 = 0 2x + y = 0.

13 uRAWNENIE PU^KA PRQMYH

sOWOKUPNOSTX PRQMYH, PROHODQ]IH ^EREZ ODNU TO^KU M(x0 y0), NA- ZYWAETSQ PU^KOM PRQMYH. tO^KA M(x0 y0) PRI \TOM NAZYWAETSQ CENTROM PU^KA. o^EWIDNO, PU^OK PRQMYH S CENTROM M(x0 y0) ZA- DAETSQ URAWNENIEM

A(x ; x0) + B(y ; y0) = 0:

pUSTX DANY DWE PERESEKA@]IESQ (RAZLI^NYE) PRQMYE `1 I `2, ZA- DANNYE, SOOTWETSTWENNO, URAWNENIQMI A1x + B1y + C1 = 0 I A2x + = 0. l@BAQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU PERESE^ENIQ

33

DWUH DANNYH PRQMYH MOVET BYTX OPREDELENA URAWNENIEM WIDA:

(A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0:

PRI NEKOTORYH I , NE RAWNYH NUL@ ODNOWREMENNO. pOSLEDNEE URAW- NENIE NAZYWA@T URAWNENIEM PU^KA PRQMYH.

eSLI PRQMYE `1 I `2, ZADANNYE, SOOTWETSTWENNO, URAWNENIQMI A1x+ B1y + C1 = 0 I A2x + B2 y + C2 = 0 PARALLELXNY (NO NE SOWPADA@T), TO WSQKAQ PRQMAQ, IME@]AQ URAWNENIE

(A1x + B1y + C1) + (A2x + B2y + C2) = 0:

PRI NEKOTORYH I , PARALLELXNA `1 I `2. wS@ SOWOKUPNOSTX PRQMYH PRI \TOM TAKVE NAZYWA@T PU^KOM (NESOBSTWENNYM) PRQMYH.

zada~i

155. oPREDELITX WZAIMNOE RASPOLOVENIE PRQMYH W KAVDOJ IZ SLEDU@]IH TROEK PRQMYH:

7) 3x + 2y + 6 = 0 9x + 6y ; 5 = 0 5x ; y + 3 = 0:

156. nAPISATX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU PE- RESE^ENIQ PRQMYH: 7x ; y + 3 = 0 I 3x + 5y ; 4 = 0, I ^EREZ TO^KU

A(2 ;1).

157. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH 2x;6y+3 = 0 5x+y;2 = 0 PROWESTI PRQMYE, PARALLELXNYE OSQM KOORDINAT.

158. (tEOREMA ~EWY). nA STORONAH AB, BC I CA TREUGOLXNIKA ABC DANY TO^KI C0, A0 I B0 TAKIE, ^TO (BCA0) = 1, (CAB0) = 2

34

I (ABC0) = 3. dOKAZATX, ^TO PRQMYE AA0, BB0 I CC0 PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA 1 2 3 = 1.

||||||||||||||{

159.sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KO- ORDINAT I TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH 2x+ y ;3 = 0 7x;4y + 2 = 0.

160.~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH 3x;5y+2 = 0 5x;2y+4 = 0 PROWESTI PRQMU@, PARALLELXNU@ PRQMOJ 2x ; y + 4 = 0.

161.sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI PE-

RESE^ENIQ PAR PRQMYH 2x ; y = 0 x + 4y ; 2 = 0 I x + 2y = 0

3x ; 7y + 4 = 0.

14 pRQMAQ W PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT

dLQ PRQMOJ `, IME@]EJ URAWNENIE Ax + By + C = 0 W PRQMOUGOLX- NOJ SISTEME KOORDINAT, WEKTOR N = fA Bg QWLQETSQ NORMALXNYM WEKTOROM, A WEKTOR a = f;B Ag NAPRAWLQ@]IM WEKTOROM.

eSLI PRQMYE `1 I `2 ZADANY, SOOTWETSTWENNO, URAWNENIQMI A1x +

rASSTOQNIE d OT TO^KI M(x0 y0) DO PRQMOJ, ZADANNOJ OTNOSITELX- NO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT URAWNENIEM Ax + By + C = 0 OPREDELQETSQ PO FORMULE

pUSTX | UGOL OT POLOVITELXNOGO NAPRAWLENIQ OSI Ox

^A OP, PROHODQ]EGO ^EREZ NA^ALO KOORDINAT, PERPENDIKULQRNOGO K PRQMOJ AB I PERESEKA@]EGO \TU PRQMU@, A p | RASSTOQNIE OT NA- ^ALA KOORDINAT DO PRQMOJ AB. tOGDA URAWNENIE PRQMOJ AB MOVET

35

BYTX ZAPISANO W WIDE:

x cos + y sin ; p = 0 :

|TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM PRQMOJ.

zada~i

162.sOSTAWITX URAWNENIE PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU (7,

4)PERPENDIKULQRNO K PRQMOJ 3x ; 2y + 4 = 0.

163.dANY WER[INY TREUGOLXNIKA: A(4 6) B(;4 0) I C(;1 ;4). sOSTAWITX URAWNENIE WYSOTY, OPU]ENNOJ IZ WER[INY A NA STORONU

BC.

164.nAJTI PROEKCI@ TO^KI (-5, 6) NA PRQMU@ 7x;13y ;105 = 0.

165.nAJTI TO^KU, SIMMETRI^NU@ TO^KE M(;2 9) OTNOSITELXNO

PRQMOJ 2x ; 3y + 18 = 0.

166. oPREDELITX UGLY MEVDU DWUMQ PRQMYMI, ESLI IZWESTNY IH UGLOWYE KO\FFICIENTY k1 = 13 k2 = ;12 .

167. sOSTAWITX URAWNENIE BISSEKTRISY UGLA 6A TREUGOLXNIKA

ABC S WER[INAMI A(3 1), B(0 ;3) I C(7 4).

168. nAJTI RASSTOQNIQ OT TO^EK (3, 1), (2, -4), (5, -1), (0, -3), (0, 0) DO PRQMOJ 3x + 4y = 0.

169. sOSTAWITX URAWNENIQ PRQMYH, PARALLELXNYH PRQMOJ 7x ; 2y + 4 = 0 I OTSTOQ]IH OT NEE NA RASSTOQNII p53.

170. nAJTI RASSTOQNIE OT TO^KI M(2 1) DO PRQMOJ `, ZADANNOJ URAWNENIEM 2x;3y;5 = 0 W NEKOTOROJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT, ESLI IZWESTNY g11 = 4, g12 = 8, g22 = 25.

171. dOKAZATX, ^TO WYSOTY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE (PRINADLEVAT ODNOMU PU^KU PRQMYH).

||||||||||||||{

172. uSTANOWITX, KAKIE IZ NIVESLEDU@]IH PAR PRQMYH BUDUT

36

WZAIMNO PERPENDIKULQRNY:

173. ~EREZ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMYH 3x ; y = 0 x + 4y ; 2 = 0 PROWESTI PRQMU@, PERPENDIKULQRNU@ K PRQMOJ 2x + 7y = 0.

174. nA PRQMOJ x ; 3y + 1 = 0 NAJTI TO^KU, RAWNOUDALENNU@ OT DWUH TO^EK (-3, 1) I (5, 4).

175. dANY DWE WER[INY TREUGOLXNIKA A(;6 2) B(2 ;2) I TO^- KA H(1 2) PERESE^ENIQ EGO WYSOT. wY^ISLITX KOORDINATY TRETXEJ WER[INY C.

176.~EREZ TO^KU (3, 1) PROWESTI PRQMYE, NAKLONENNYE K PRQMOJ

2x + 3y ; 1 = 0 POD UGLOM 45 .

177.oPREDELITX RASSTOQNIQ OT TO^EK (1, 0) I (-1, 2) DO PRQMOJ

3x ; y + 4 = 0.

178. dOKAZATX, ^TO PRQMYE 3x ; 7y + 2 = 0 3x ; 7y + 3 = 0 PARALLELXNY, I NAJTI RASSTOQNIE I MEVDU NIMI.

179. cENTR SIMMETRII KWADRATA NAHODITSQ W TO^KE (-1, 0) URAW- NENIE ODNOJ IZ EGO STORON x + 3y ; 5 = 0. sOSTAWITX URAWNENIQ TREH DRUGIH STORON.

15 oKRUVNOSTX

uRAWNENIE OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE C(a b) I RADIUSOM r OT- NOSITELXNO PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT IMEET WID:

(x ; a)2 + (y ; b)2 = r2 :

37

|TO URAWNENIE NAZYWAETSQ NORMALXNYM URAWNENIEM OKRUVNOSTI.

uRAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI W TO^KE M0(x0 y0) IMEET

WID:

(x ; x0)(x0 ; a) + (y ; y0)(y0 ; b) = 0 : zada~i

180.oPREDELITX KOORDINATY CENTRA S I RADIUS r KAVDOJ IZ SLEDU@]IH OKRUVNOSTEJ:

1)x2 + y2 ; 6x = 0

2)x2 + y2 + 6x ; 8y = 0

3)x2 + y2 ; 10x + 24y ; 56 = 0

4)3x2 + 3y2 + 6x ; 4y ; 1 = 0.

181.sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI

(2, 1) I (3, 4), ESLI EE CENTR LEVIT NA PRQMOJ 2x ; y + 1 = 0.

182. sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI, KASA@]EJSQ DWUH PRQ- MYH 2x + y ; 1 = 0 2x ; y + 2 = 0 I PROHODQ]EJ ^EREZ NA^ALO KOORDINAT.

183. sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 + y2 ; 2x + 6y = 0 W NA^ALE KOORDINAT.

184. pRI KAKOM NEOBHODIMOM I DOSTATO^NOM USLOWII PRQMAQ Ax+ By + C = 0 KASAETSQ OKRUVNOSTI x2 + y2 = R2?

185. sOSTAWITX URAWNENIQ KASATELXNYH K OKRUVNOSTI (x; 1)2 + (y + 2)2 = 25, PARALLELXNYH PRQMOJ 3x ; 4y = 0.

||||||||||||||{

186.pRIWESTI K NORMALXNOMU WIDU URAWNENIQ OKRUVNOSTEJ:

1)x2 + y2 ; 2x + 4y = 0

2)x2 + y2 + x ; 5y ; 3 = 0

3)3x2 + 3y2 ; 2x + 7y + 1 = 0.

187.oKRUVNOSTX PROHODIT ^EREZ TO^KI (1, 4), (-7, 4) I (2, -5).

38

rIS. 4.

nAJTI EE CENTR, RADIUS I URAWNENIE.

188.sOSTAWITX URAWNENIE OKRUVNOSTI, KASA@]EJSQ PRQMOJ x + 2y = 0 I PRQMOJ x ; 2y + 1 = 0 W TO^KE (-1, 0).

189.sOSTAWITX URAWNENIE KASATELXNOJ K OKRUVNOSTI x2 + y2 +

= 0 W NA^ALE KOORDINAT.

190. oPREDELITX DLINU OTREZKA KASATELXNOJ, PROWEDENNOJ IZ TO^KI (7, 1) K OKRUVNOSTI x2 + y2 ; 6x = 0.

16 |LLIPS

|LLIPS ESTX GEOMETRI^ESKOE MESTO TO^EK, SUMMA RASSTOQNIJ KOTORYH OT DWUH POSTOQNNYH TO^EK | FOKUSOW \LLIPSA ESTX WELI^INA POSTO- QNNAQ, RAWNAQ 2a. rASSTOQNIE MEVDU FOKUSAMI F2F1 = 2c (RIS.4). pROSTEJ[EE URAWNENIE \LLIPSA MY POLU^IM, WYBRAW PRQMU@, SO- EDINQ@]U@ FOKUSY, ZA OSX ABSCISS I POMESTIW NA^ALO KOORDINAT W

39

SEREDINE MEVDU NIMI. tOGDA URAWNENIE \LLIPSA PRIMET WID:

GDE b2 = a2 ; c2.

pRI TAKOM WYBORE SISTEMY KOORDINAT OSI KOORDINAT SOWPADA@T S OSQMI SIMMETRII \LLIPSA, A NA^ALO KOORDINAT S CENTROM SIMMET- RII.

tO^KI PERESE^ENIQ \LLIPSA S EGO OSQMI (A1 I A2, B1 I B2) NAZY- WA@TSQ WER[INAMI \LLIPSA.

oTREZKI, ZAKL@^ENNYE MEVDU WER[INAMI, NAZYWA@TSQ OSQMI \L- LIPSA: BOLX[AQ (FOKALXNAQ) OSX A2A1 = 2a I MALAQ OSX B2 B1 = 2b.

~ISLO

e = ac < 1

NAZYWAETSQ \KSCENTRISITETOM \LLIPSA.

rASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI M(x y) \LLIPSA DO FOKUSOW NAZYWA@TSQ

EE FOKALXNYMI RADIUSAMI WEKTORAMI r1 I r2 MY IMEEM:

r1 = a + ex r2 = a ; ex :

pRQMYE, OPREDELQEMYE URAWNENIQMI

a x = e

NAZYWA@TSQ DIREKTRISAMI \LLIPSA.

oTNO[ENIE RASSTOQNIQ L@BOJ TO^KI \LLIPSA DO FOKUSA (r1 ILI r2) K RASSTOQNI@ TOJ VE TO^KI DO SOOTWETSTWU@]EJ DIREKTRISY (d1 ILI d2) RAWNO \KSCENTRISITETU:

r1 = r2 = e : d1 d2

sEREDINY PARALLELXNYH HORD \LLIPSA LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, NAZYWAEMOJ DIAMETROM \LLIPSA, SOPRQVENNYM \TIM HORDAM. eSLI

40