Ангем

f0 ;5 7g d = f;20 27 ;35g: pODOBRATX ^ISLA I TAK, ^TOBY WEKTORY a b c I d OBRAZOWYWALI ZAMKNUTU@ LOMANU@ LINI@, ESLI NA^ALO KAVDOGO POSLEDU@]EGO WEKTORA SOWMESTITX S KONCOM PREDYDU]EGO.

34. dOKAZATX, ^TO STORONY AB I DC ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD PARALLELXNY TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA OTREZOK MN, SOEDINQ@- ]IJ SEREDINY IH STORON, PROHODIT ^EREZ TO^KU O PERESE^ENIQ DIA- GONALEJ.

4aFFINNYE SISTEMY KOORDINAT NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE

aFFINNYM REPEROM NA PLOSKOSTI NAZYWAETSQ NABOR fO e1 e2g,

SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI. kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2g NAZYWA-

@TSQ KOORDINATY fX Y g EE RADIUSA-WEKTORA rA OTNOSITELXNO WEK- TORNOGO BAZISA fe1 e2g NA PLOSKOSTI.

tAKIM OBRAZOM, rA = Xe1 + Y e2: ~TOBY OTLI^ATX W KOORDINAT- NOJ ZAPISI TO^KI OT WEKTOROW, KOORDINATY TO^EK BUDEM ZAKL@^ATX

W KRUGLYE SKOBKI: A(X Y ).

eSLI A(X Y ) B(X0 Y 0), TO ;!AB = fX0 ; X Y 0 ; Y g: aFFINNYM REPEROM W PROSTRANSTWE NAZYWAETSQ NABOR

fO e1 e2 e3g, SOSTOQ]IJ IZ TO^KI O I WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g PROSTRANSTWA.

kOORDINATAMI TO^KI A OTNOSITELXNO REPERA fO e1 e2 e3g NA- ZYWA@TSQ KOORDINATY fX Y Zg EE RADIUSA-WEKTORA rA OTNOSITELX-

NO WEKTORNOGO BAZISA fe1 e2 e3g PROSTRANSTWA.

eSLI A(X Y Z) B(X0 Y 0 Z0), TO ;!AB = fX0;X Y 0;Y Z0;Zg:

11

zada~i

35.dAN PRAWILXNYJ [ESTIUGOLXNIK ABCDEF. nAJTI KOORDI- NATY EGO WER[IN, PRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT WER[INU A, ZA PO- LOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS | NAPRAWLENIE STORONY AB, ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT | NAPRAWLENIE DIAGO- NALI AE, A ZA EDINICU MAS[TABA PO OBEIM OSQM | STORONU [ESTI- UGOLXNIKA.

36.w TRAPECII ABCD NIVNEE OSNOWANIE AB W TRI RAZA BOLX[E EE WERHNEGO OSNOWANIQ CD. pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU A, ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ABSCISS | NAPRAWLENIE OSNOWA- NIQ AB, ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT | NAPRAWLENIE BOKOWOJ STORONY AD, A STORONY AB I AD | ZA EDINI^NYE OTREZKI NA \TIH OSQH, NAJTI KOORDINATY WER[IN TRAPECII, A TAKVE KOOR- DINATY TO^KI O PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I KOORDINATY TO^KI S PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON.

37.dANY DWE WER[INY PARALLELOGRAMMA A(;1 3), B(2 ;1). nAJTI DWE DRUGIE EGO WER[INY PRI USLOWII, ^TO DIAGONALI PARAL- LELOGRAMMA PARALLELXNY OSQM KOORDINAT.

38.dANA TO^KA M(x y z). nAJTI EE PROEKCI@: 1) NA OSX Ox 2) NA PLOSKOSTX Oyz.

39.dAN PARALLELOGRAMM ABCD. tO^KI E I F DELQT STORONU

AB NA TRI RAWNYE ^ASTI, A TO^KI K L I M NA ^ETY- RE RAWNYE ^ASTI. pRINIMAQ ZA NA^ALO KOORDINAT TO^KU E, ZA BAZIS WEKTORY ;;!EK = e1 I ;;!ED = e2, NAJTI KOORDINATY TO^KI M.

||||||||||||||{

40. w RAWNOBO^NOJ TRAPECII BOLX[EE EE OSNOWANIE AB = 8, WY- SOTA RAWNA 3, A UGOL PRI OSNOWANII RAWEN 45 . pRINIMAQ ZA OSX AB- SCISS PRQMOUGOLXNOJ SISTEMY KOORDINAT BOLX[EE OSNOWANIE TRAPE- CII, A ZA OSX ORDINAT | PERPENDIKULQR W EGO SEREDINE I WYBIRAQ

12

ZA POLOVITELXNOE NAPRAWLENIE OSI ORDINAT TO NAPRAWLENIE \TOGO PERPENDIKULQRA, KOTOROE IDET WNUTRX TRAPECII, NAJTI KOORDINATY WER[IN TRAPECII, TO^KI M PERESE^ENIQ EE DIAGONALEJ I TO^KI S PERESE^ENIQ EE BOKOWYH STORON.

41.dANY TRI WER[INY PARALLELOGRAMMA A(;2 1), B(1 3), C(4 0). nAJTI ^ETWERTU@ EGO WER[INU.

42.tRI REBRA PARALLELEPIPEDA, WYHODQ]IH IZ ODNOJ WER[INY, PRINQTY ZA EDINI^NYE WEKTORY OSEJ KOORDINAT. nAJTI W \TOJ SIS- TEME KOORDINATY WSEH EGO WER[IN.

43.dANA TO^KA M(x y z). nAJTI KOORDINATY TO^KI, SIMMET- RI^NOJ S TO^KOJ M: 1) OTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT 2) OTNOSI- TELXNO PLOSKOSTI Oxy 3) OTNOSITELXNO OSI Oz.

5pROSTOE OTNO[ENIE TREH TO^EK NA PRQMOJ

pROSTYM OTNO[ENIEM TREH TO^EK ABC, LEVA]IH NA PRQMOJ I TA-

KIH, ^TO B =6 C, NAZYWAETSQ SLEDU@]EE ^ISLO:

;!AC

;!C B :

|TO ^ISLO (ABC) NAZYWA@T TAKVE OTNO[ENIEM, W KOTOROM TO^KA C DELIT (NAPRAWLENNYJ) OTREZOK AB.

eSLI TO^KA C DELIT OTREZOK AB W OTNO[ENII , TO

rC = rA + rB

1 +

W KOORDINATAH NA PLOSKOSTI

13

zada~i

44. dOKAZATX, ^TO W KAVDOM IZ NIVESLEDU@]IH SLU^AEW TO^KI A B C NAHODQTSQ NA ODNOJ PRQMOJ, I NAJTI PROSTOE OTNO[ENIE

ABC:

1) A(2 1) B(;2 5) C(0 3)

2) A(1 6) B(5 10) C(;3 2)

3) A(0 0) B(;3 ;3) C(1 1).

45. dANY DWE TO^KI A(3 4) I B(2 ;1). nAJTI TO^KI PERESE^ENIQ PRQMOJ AB S OSQMI KOORDINAT.

46.dANY SEREDINY STORON TREUGOLXNIKA M1(2 4) M2(;3 0) M3(2 1). nAJTI EGO WER[INY.

47.dANY DWE TO^KI A(;4 2) B(8 ;7). nAJTI TO^KI C I D, DELQ]IE OTREZOK AB NA TRI RAWNYE ^ASTI.

48.dANY DWE WER[INY TREUGOLXNIKA: A(;4 ;1 2) I B(3 5 ;16). nAJTI TRETX@ WER[INU C, ZNAQ, ^TO SEREDINA STORONY AC LEVIT NA OSI Oy, A SEREDINA STORONY BC | NA PLOSKOSTI Oxz.

49.dOKAZATX, ^TO PRQMYE, SOEDINQ@]IE SEREDINY PROTIWOPO- LOVNYH REBER TETRA\DRA, PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE I DELQTSQ W NEJ POPOLAM. dOKAZATX, ^TO W \TOJ VE TO^KE PERESEKA@TSQ PRQMYE, SOEDINQ@]IE WER[INY TETRA\DRA S CENTRAMI TQVESTI PROTIWOPO- LOVNYH GRANEJ. nAJTI OTNO[ENIE, W KOTOROM \TA TO^KA DELIT OT- REZKI UKAZANNYH PRQMYH.

50.(tEOREMA mENELAQ). nA STORONAH AB, BC I CA TREUGOLXNIKA

ABC DANY TO^KI C0, A0 I B0 TAKIE, ^TO (BCA0) = 1, (CAB0) = 2 I (ABC0) = 3. dOKAZATX, ^TO TO^KI A0, B0 I C0 LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA 1 2 3 = ;1.

||||||||||||||{

51. nAJTI KOORDINATY TO^KI M, DELQ]EJ OTREZOK M1M2, OGRA- NI^ENNYJ TO^KAMI M1(2 3) I M2(;5 1), W OTNO[ENII:

14

1)= 2 2) = ;12 3) = ;4 4) = 13 .

52.oDIN IZ KONCOW OTREZKA AB NAHODITSQ W TO^KE A(2 3), EGO

SEREDINOJ SLUVIT TO^KA M(1 ;2). nAJTI DRUGOJ KONEC OTREZKA. 53. dANY DWE SMEVNYE WER[INY PARALLELOGRAMMA A(;4 ;7)

I B(2 6) I TO^KA PERESE^ENIQ EGO DIAGONALEJ M(3 1). nAJTI DWE DRUGIE WER[INY PARALLELOGRAMMA.

54. oPREDELITX KOORDINATY KONCOW A I B OTREZKA, KOTORYJ TO^- KAMI C(2 2) D(1 5) RAZDELEN NA TRI RAWNYE ^ASTI.

55. nAJTI OTNO[ENIE, W KOTOROM KAVDAQ IZ PLOSKOSTEJ KOORDI- NAT DELIT OTREZOK AB: A(2 ;1 7) I B(4 5 ;2).

56. w KAKOM OTNO[ENII PLOSKOSTX, PROWEDENNAQ ^EREZ KONCY TREH REBER PARALLELEPIPEDA, ISHODQ]IH IZ ODNOJ TO^KI, DELIT DIAGONALX, ISHODQ]U@ IZ \TOJ VE TO^KI?

6rASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI

eSLI BAZISNYE WEKTORY fe1 e2g NA PLOSKOSTI (SOOTWETSTWENNO, fe1 e2 e3g W PROSTRANSTWE) POPARNO ORTOGONALXNY, A MODULI IH RAWNY 1, TO SISTEMA KOORDINAT NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNOJ. w \TOM SLU^AE BAZISNYE WEKTORY OBY^NO OBOZNA^A@T TAK: fi jg (SOOTWET- SWENNO, fi j kg).

w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT RASSTOQNIE d MEVDU DWUMQ TO^KAMI M1(x1 y1) I M2(x2 y2) NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FOR- MULE

d = q(x2 ; x1)2 + (y2 ; y1)2

W PROSTRANSTWE

d = q(x2 ; x1)2 + (y2 ; y1)2 + (z2 ; z1)2 :

15

zada~i

57. nAJTI RASSTOQNIE d MEVDU TO^KAMI A I B W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW:

A(3 1 0) I B(;2 4 1).

61. nA^ALO WEKTORA NAHODITSQ W TO^KE A(2 ;1 5). dLINA WEK- TORA RAWNA 11. nAJTI KONEC \TOGO WEKTORA, ZNAQ, ^TO PERWYE DWE EGO KOORDINATY RAWNY SOOTWETSTWENNO x = 7, y = 6.

||||||||||||||{

62.nAJTI RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT KAVDOJ IZ SLEDU@-

]IH TO^EK: 1) A(11 4) 2) B(;3 ;4) 3) C(;11 0) 4) D(5 12).

63.nA OSI Oy NAJTI TO^KU, RAWNOUDALENNU@ OT TO^KI (;8 ;4)

I OT NA^ALA KOORDINAT.

64.nAJTI CENTR I RADIUS OKRUVNOSTI, PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KU A(2 ;1) I KASA@]EJSQ OBEIH OSEJ KOORDINAT.

65.nAJTI W PLOSKOSTI Oxz TO^KU, RAWNOUDALENNU@ OT TREH TO^EK

A(1 1 1) B(;1 1 0) C(3 1 ;1).

66. dANY ^ETYRE TO^KI A(1 2 3) B(5 2 3) C(2 5 3) D(1 2 ;1). nAJTI CENTR I RADIUS SFERY, PROHODQ]EJ ^EREZ \TI TO^KI.

16

7sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW

sKALQRNYM PROIZWEDENIEM ab (^ASTO ISPOLXZU@TSQ OBOZNA^ENIQ (a b) ILI a b) DWUH WEKTOROW a =6 0 I b =6 0 NAZYWAETSQ ^ISLO, RAWNOE PROIZWEDENI@ MODULEJ \TIH WEKTOROW NA KOSINUS UGLA MEVDU NIMI:

ab = jaj jbj cos ' :

eSLI a = 0 ILI b = 0, TO ab = 0 PO OPREDELENI@.

sKALQRNOE PROIZWEDENIE ab RAWNO NUL@ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA a?b ILI a = 0 ILI b = 0.

sWOJSTWA SKALQRNOGO UMNOVENIQ:

ab = ba (KOMMUTATIWNOSTX)(ab) = ( a)b

(a + b)c = ac + bc (DISTRIBUTIWNOSTX)

aa = a2 = jaj2 0

PRI^EM aa = 0 TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA a = 0.

zada~i

67.nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b W KAVDOM IZ SLEDU@]IH SLU^AEW:

1)jaj = 8 jbj = 5 6(a b) = 60

2)jaj = 1 jbj = 1 6(a b) = 135

3)a?b

4)jaj = 3 jbj = 6 a "" b

5)jaj = 3 jbj = 1 a "# b.

68.w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE ABC MEDIANY AA1 I BB1, PROWEDENNYE K BOKOWYM (RAWNYM) STORONAM CB I CA, PERESEKA@TSQ POD PRQMYM UGLOM. nAJTI UGLY \TOGO TREUGOLXNIKA.

69.dOKAZATX, ^TO WEKTORY p = a(bc) ; b(ac) I c PERPENDIKU- LQRNY DRUG DRUGU.

17

70. w TREUGOLXNIKE ABC PROWEDENY MEDIANY AD BE I CF .

wY^ISLITX (;!BC ;!AD) + (;!C A ;!BE) + (;!AB ;!C F ).

71. w PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE ABC OPU]EN PERPENDIKULQR

CH NA GIPOTENUZU AB. wYRAZITX WEKTOR ;;!C H ^EREZ WEKTORY a = ;!C B

I b = ;!C A.

72. dOKAZATX, ^TO ESLI W TETRA\DRE ABCD DWA REBRA PERPEN- DIKULQRNY SOOTWETSWENNO SWOIM PROTIWOPOLOVNYM, TO I OSTALXNYE DWA REBRA WZAIMNO-PERPENDIKULQRNY.

73. dOKAZATX, ^TO SUMMA KWADRATOW STORON ^ETYREHUGOLXNIKA RAWNA SUMME KWADRATOW EGO DIAGONALEJ I U^ETWERENNOGO

KWADRATA RASSTOQNIQ MEVDU SEREDINAMI DIAGONALEJ.

||||||||||||||{

74.w TREUGOLXNIKE ABC DANY DLINY EGO STORON BC = 5 CA = 6 AB = 7. nAJTI SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW ;!BA I ;!BC.

75.kAKOJ UGOL OBRAZU@T EDINI^NYE WEKTORY s I t, ESLI IZWESTNO, ^TO WEKTORY p = s + 2t I q = 5s ; 4t WZAIMNO-PERPENDIKULQRNY.

76.dAN RAWNOSTORONNIJ TREUGOLXNIK ABC, U KOTOROGO DLINY STORON RAWNY 1. pOLAGAQ ;!BC = a ;!C A = b ;!AB = c, WY^ISLITX WYRAVENIE ab + bc + ca.

77.dAN PRQMOUGOLXNIK ABCD I TO^KA M (KOTORAQ MOVET LE- VATX KAK W PLOSKOSTI PRQMOUGOLXNIKA, TAK I WNE EE). pOKAZATX, ^TO:

1)SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW, IDU]IH OT TO^KI M K DWUM NESMEVNYM WER[INAM PRQMOUGOLXNIKA, RAWNO SKALQRNOMU PROIZWE-

DENI@ WEKTOROW, IDU]IH OT TOJ VE TO^KI K DWUM DRUGIM WER[INAM

(;;!M A ;;!M C) = (;;!M B ;;!M D)

2) SUMMA KWADRATOW WEKTOROW ODNOJ PARY RAWNA SUMME KWADRATOW

DRUGOJ PARY (;;!M A2 + ;;!M C2 = ;;!M B2 + ;;!M D2).

78. w TREUGOLXNIKE ABC TO^KA D DELIT STORONU AB W OTNO[E- NII ;!AD : ;;!DB = . wYRAZITX DLINU OTREZKA CD ^EREZ TRI STORONY

18

TREUGOLXNIKA I ^ISLO .

79. dOKAZATX, ^TO PRI L@BOM RASPOLOVENII TO^EK ABCD NA

PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE IMEET MESTO RAWENSTWO (;!BC ;!AD)+

(;!C A ;;!BD)+(;!AB ;;!C D) = 0.

80. w RAWNOBEDRENNOM TREUGOLXNIKE UGOL PROTIW OSNOWANIQ RAWEN6 . nAJTI UGLOL MEVDU MEDIANAMI \TOGO TREUGOLXNIKA, PROWEDENNY- MI K BOKOWYM STORONAM.

81. tO^KA M RASPOLOVENA WNUTRI WYPUKLOGO n-UGOLXNIKA P = A1A2 : : : An. dOKAZATX, ^TO NAJDETSQ TAKAQ STORONA AiAi+1 \TOGO n- UGOLXNIKA, ^TO OSNOWANIE PERPENDIKULQRA, OPU]ENNOGO IZ TO^KI M NA AiAi+1 QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA AiAi+1.

8sKALQRNOE PROIZWEDENIE W KOORDINATAH

sKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a = fX Y g I b = fX0 Y 0g W PRO- IZWOLXNOJ AFFINNOJ SISTEME KOORDINAT NA PLOSKOSTI WY^ISLQETSQ PO FORMULE:

ab = g11XX0 + g12(XY 0 + Y X0) + g22Y Y 0

GDE gij = eiej i j = 1 2 | SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO- ROW.

w PROSTRANSTWE:

ab = g11XX0 + g12(XY 0 + Y X0) + g13(XZ0 + ZX0)+

g22Y Y 0 + g23(Y Z0 + ZY 0) + g33ZZ0

GDE gij = eiej i j = 1 3 | SKALQRNOE PROIZWEDENIE BAZISNYH WEKTO- ROW.

w PRQMOUGOLXNOJ SISTEME KOORDINAT \TI FORMULY PRINIMA@T WID:

ab = XX0 + Y Y 0

19

NA PLOSKOSTI I

ab = XX0 + Y Y 0 + ZZ0

W PROSTRANSTWE.

NIK ABC S WER[INAMI W TO^KAH A(1 1) B(5 3) C(3 5), DLINY STORON KOTOROGO SUTX AB =p52 AC = 4 BC =p28. oPREDELITX DLINY EDINI^NYH WEKTOROW \TOJ SISTEMY KOORDINAT I UGOL MEVDU NIMI.

87. wY^ISLITX SKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW a I b, ZADAN- NYH SWOIMI PRQMOUGOLXNYMI KOORDINATAMI W KAVDOM IZ NIVESLE- DU@]IH SLU^AEW:

20