dm_bilety (1)

БИЛЕТ 1

Элементы и множества.

Под множеством интуитивно понимают совокупность определенных, вполне различимых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Из определения следует, что элементы множества должны быть:

· вполне различимыми;

· иметь общее свойство.

Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита, а элементы – малыми буквами с индексами или без.

Отношение принадлежности элемента a множеству A обозначается а ϵ А.

Множество B называется подмножеством множества A, если всякий элемент B принадлежит A. Такое отношение обозначается как

В с А. Если В с А и В ≠ А, то В с А. В этом случае говорят, что B есть собственное подмножество A.

Ø - пустое множество;

U – универсальное множество.

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным, в противном случае – бесконечным. Число элементов в конечном множестве A называется его мощностью и обозначается |A|.

Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются счетными.

Множества, равномощные множеству вещественных чисел R, называются континуальными.

Если все рассматриваемые в ходе данного рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U , то такое множество называется универсальным.

Основоположником теории множеств Г. Кантором были сформулированы несколько интуитивных принципов, играющих роль аксиом. Нас интересуют два таких принципа.

Принцип объемности. Множества A и B считаются равными (A=B), если они состоят из одних и тех же элементов.

Принцип абстракции. Любая форма P(x) определяет некоторое множество A, а именно множество тех и только тех элементов a ϵ A, для которых P(a), – истинное предложение.

БИЛЕТ 2

Способы задания множеств

1. Перечислительный

А₁={3,6,9,…}

2. С помощью характеристического предиката (высказывания)

M = {x : P(x)}

M = {x | P(X)}

A₂ = {x : x²-6x+5=0}

A₃ = {(x,y) : x,y-вещественные, x²+y²≤1}

3. Порождающие процедуры

1. 1 ϵ А₄

2. Если х ϵ А₄, то 2*х ϵ А₄

А4={1,2,4,8,16,…}

4. Решающие процедуры

Ответ: да/нет.

5. Использование характеристического вектора

U={a₁,a₂,a₃,…a_n}

X_A={X₁,X₂,X₃,…X_N}

БИЛЕТ 3

Сравнее множеств.

А – подмножество множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

А с В, А=В. А с В, В с А.

А с В, елси А с В, А ≠ В.

А с В, если А not c B.

Ø с А.

А с U. (универсальное множество)

Если А с В и В с С, то А с С.

Если множество А – конечное, то |A| - мощность (количество элементов). А и В имеют одинаковую мощность, если существует взаимно-однозначное соответствие.

Множество называется бесконечным, если оно имеет одинаковую мощность с множеством натуральных чисел.

Вещественное множество не является счетным.

БИЛЕТ 4

Операции над множествами.

1. Объединение С=А В

С = {x | x ϵ A OR x ϵ B}

2. Пересечение С=А В

С = {x | x ϵ A AND x ϵ B}

3. Разность С = А \ В

C = {x | x ϵ A AND x ∉ B}

4. Симметрическая разность С= А В

C = {x | (x ϵ А AND x ∉ B) OR (x ϵ B AND x ∉ A)}

5. Дополнение С = Ᾱ

Ᾱ = U \ A.

БИЛЕТ 5

Диаграммы Венна.

Диаграммы Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграмм заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов или других замкнутых фигур, представляющих множества.

Точки внутри фигур обозначают элементы множества.

БИЛЕТ 6

Булеан

Множество всех подмножеств множества А называется булеаном и обзначается 2^А.

2^А={Х|Х с А}

Теорема. Для конечного множества А |2^A|= 2^|A|.

Доказательство.

Индукция по А. Если |A|=0, то А = Ø и 2^ᴓ=Ø => |2^ᴓ|=|{ᴓ}=1=2⁰=2^|ᴓ|.

Индукционный переход: Пусть V A |A|<k => |2^A|=2^|A|.

Рассмотрим А={a₁,a₂,…,a_k}, |A|=k. Положим: А₁={Х с 2^А | a_k ϵ X} и А2={Х с 2^А | a_k ϵ X}

БИЛЕТ 7

Свойства операций над множествами

1. Коммутативность

A B = B A

A B = B A

2. Ассоциативность

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

3. Дистрибутивность

(A B) C = (A С) (C B)

(A B) C = (A С) (C B)

4. A Ᾱ = U

5. A Ᾱ = Ø

6. Законы нуля и единицы

A Ø = A

A U = U

A Ø = Ø

A U = A

7. Законы Де-Моргана

БИЛЕТ 8

Пусть M1 и M2 – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств (M1 и M2 ) называется множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит M1, а второй принадлежит M2 :

M1 х M2 ={(a,b) | a ϵ M1,b ϵ M2}.

БИЛЕТ 9

Между элементами множеств могут устанавливаться различные взаимосвязи, обычно называемые отношениями.

Имеем А1, А2,…,Аn. Рассматриваем их декартовое произведение А1 х А2 х … х Аn.

А = {(a1, …,an) : a1 A1, …, an An}.

n-местные отношения – есть R с A1x A2 x … x An.

Пример трехместных отношений: (a,b,c),c=a+b

Пример. ()

- человек;

– отец (

- мать (

Выражаем через бинарные отношения (декомпозицией):

A₁ x A₂ x …x A_n = (A₁ x … x A_n-1) x A_n.

БИЛЕТ 10

Бинарные отношения. Основные определения.

Бинарным, или двухместным, отношением R называется подмножество упорядоченных пар (а,b)€R прямого произведения M1 х M2 , т. е. R с M1 х M2 . Говорят, что отношение R задано на M1 х M2 .

Часто все элементы принадлежат одному множеству M , т. е. R с M х M , или R с M² . Так, на множестве студентов группы могут быть заданы такие бинарные отношения, как «жить в одной комнате общежития», «быть моложе», «быть земляком» и т. д. Тогда говорят, что отношение R задано на множестве M . Наравне с обозначением (а,b) ϵ R, R c M² в литературе используется обозначение аRb, R c M² .

В общем случае могут рассматриваться n -местные отношения, например отношения между тройками элементов (тернарные) и т. д.

Пример. Равенство x² + y² = z² задает тернарное отношение на множестве целых чисел. Отношение является множеством, включающим все тройки чисел (x, y, z), удовлетворяющие данному равенству. Пусть R c A х B определено в соответствии с рис., из которого следует, что в отношении R задействованы не все, а лишь некоторые

элементы исходных множеств A и B .

Тогда подмножество D(R) ={a | (a,b) ϵ R} называется областью определения отношения R, а подмножество Q(R) ={b | (a,b) ϵ R} – областью значений этого отношения.

БИЛЕТ 11

Способы задания бинарных отношений

Отношения, определенные на конечных множествах, могут задаваться:

1. Списком (перечислением) пар, для которых это отношение вы- полняется. Например, R ={(a,b), (a,c), (b,d)}.

2. Матрицей – бинарному отношению R c M₁ x M₂ , где M₁ ={a1 ,a2 ,...,an }, M2 ={b1,b2,...,bm }, соответствует матрица размера n х m , в которой элемент c_ij , стоящий на пересечении i–й строки и j-го столбца, равен 1, если между а_i и b_j имеет место отношение R , или 0,если нет:

c_ij=

3. Направленным графом, т. е. структурой, состоящей из вершин и дуг (направленных ребер). Элементы множеств отображаются в виде вершин графа, а отношения – в виде дуг, соединяющих эти вершины. Два первых способа одинаково применимы как для отношений, за- данных на разных множествах, так и для отношений на одном множестве. Третий способ больше подходит для отношений на одном множестве, т. к. позволяет получить более компактный граф.

Пример. Пусть M ={1,2,3,4,5,6}. Задать в явном виде (списком), описанием характеристических свойств, матрицей и графом отношение R с M² , если R означает – «быть строго меньше».

1. С использованием распознающей процедуры можно записать R={(a,b)|a,b ϵ M, a <b}.

2. Списком R ={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6).(2,3),...}.

3. Матрица данного отношения имет вид

R 1 2 3 4 5 6

1 0 1 1 1 1 1

2 0 0 1 1 1 1

3 0 0 0 1 1 1

4 0 0 0 0 1 1

5 0 0 0 0 0 1

6 0 0 0 0 0 0

Граф имеет вид

БИЛЕТ 12

Свойства бинарных отношений

Пусть R – отношение на множестве M , R с M² , т. е. множество отражается само в себя. Для отношений этого типа могут быть определены следующие свойства:

1. R – рефлексивно, если имеет место aRa для любого a ϵ M . Например, отношение R={(a,b)/a≤b}рефлексивно.

2. R – антирефлексивно, если ни для какого a ϵ M не выполняется aRa. Например, отношение «быть сыном».

3. R – симметрично, если aRb влечет bRa. Например, отношение «жить в одном городе» симметрично.

4. R – антисимметрично, если aRb и bRa влекут a = b, т. е. ни для каких различающихся элементов a и b (a≠b) не выполняется одновременно aRb и bRa. Например, отношение «быть начальником» антисимметрично.

5. R – транзитивно, если aRb и bRc влекут aRc. Например, отношение «быть моложе» транзитивно. Для отношений, заданных на прямом произведении различных множеств, т. е. при R с M₁*M₂ , свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности не определяются.

Пример. Каковы свойства отношения «Быть не больше» (R₁ ={(a,b) / a≤b}), заданного на множестве натуральных чисел N?

Рефлексивно, т. к. a ≤ a для всех a ϵ N .

Антисимметрично, поскольку если a≤b и b≤a, то a=b.

Транзитивно, т. к. если a≤b и b≤c, то a≤c.

Пример. Пусть A ={±,⊕,х,*} и пусть R с A х A определено в виде R={(±,±),(±,⊕), (±,*),

(⊕,±), (*,±),(*,*),(х,*),(х,х)}. Каковы свойства отношения?

R не является рефлексивным, т. к. ⊕ ϵ A, но (⊕, ⊕) ∉ R.

R не является симметричным, поскольку (х,*) ϵ R , но (*,х) ∉ R.

R не является антисимметричным, поскольку (⊕, ±) ϵ R и(±,⊕) ϵ R, но ±≠⊕.

R не является транзитивным, т. к. (⊕,±) ϵ R и (±,*) ϵ R, но(⊕,*) R.

БИЛЕТ 13

Разбиения и отношения эквивалентности.

Отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью) называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно. Например, отношение «жить в одном городе» на множестве людей – эквивалентность.

Отношение эквивалентности имеет важную особенность: эквивалентность R разбивает множество M , на котором оно задано, на непересекающиеся подмножества так, что элементы одного и того же подмножества находятся в отношении R , а между элементами разных подмножеств оно отсутствует. В этом случае говорят, что отношение R задает разбиение на множестве R , или систему классов эквивалентности по отношению R . Мощность этой системы называется индексом разбиения.

БИЛЕТ 14

Оношения порядка.

Оношение порядка – антисимметричное тразитивное отношение.

Отношением нестрогого порядка (или нестрогим порядком) называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно, и отношением строгого порядка (строгим порядком), – если оно антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно. Оба эти отношения называются отношениями порядка.

Например, отношение «быть не старше» на множестве людей, «быть не больше» на множестве натуральных чисел – нестрогий порядок. Отношения «быть моложе», «быть прямым потомком» на множестве людей – строгий порядок.

Элементы a,b сравнимы по отношению порядка R на M , если выполняется aRb или bRa .

Множество M , на котором задано отношение порядка R , может быть:

·полностью упорядоченным множеством, если любые два элемента этого множества сравнимы по отношению порядка R;

·частично упорядоченным множеством, если сравнимы лишь некоторые элементы этого множества.

БИЛЕТ 15

Комбинаторные конфигурации. Выборки.

Рассматриваем конфигурации на языке отображения.

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.

Выборка объема r из элементов – набор элементов a_i1, a_i2, … a_ir из множества U={a₁,a₂,…,a_n}.

Типы выборок: все элементы разны; допускаются одинаковые.

Выборки бывают упорядоченные и неупорядоченные. Упорядоченные выборки называются размещениями, неупорядоченные – сочетаниями. Неупорядоченная – выборка, порядок следования элементов в которой не существенен. Упорядоченная – выборка, порядок следования элементов в которой задан, и и две выборки с разным порядком следования элементов считаются различными.

БИЛЕТ 16

Основные правила комбинаторики.

Основными правилами комбинаторики являются правило суммы и правило произведения.

Правило суммы (∑). Если объект А может быть выбран М способами, а объект В другими N способами, то выбор «либо А, либо В» может быть выполнен M+N способами.

х ϵ А и х ϵ В. Сколько вариантов для выбора элементов х? число=|A|+|B|.

Правило произведения (П). Если объект А может быть выбран М способами и после каждого из таких выборов объект В, в свою очередь, может быть выбран N способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть выполнен MN способами.

Выбираем х ϵ А и у ϵ В (не зависит, что сперва), А и В могут быть как одинаковыми, так и разными. Число способов=|A|*|B|.

(x,y) ϵ A x B. A x B – декартово произведение. А х В = {(x,y)|x ϵ A, y ϵ B}. Число элементов в декартовом произведении равно: |A x B| = |A|*|B|.

Декартово произведение: А₁ х А₂ х А₃ х … х А_n ={(x₁, … , x_n) | x_i ϵ A_i}.

БИЛЕТ 17

Размещения.

Размещения – упорядоченные независимые выборки.

U(n,r) – число n элементов по r упорядоченных с допустимыми повторениями.

U ϵ A. |A|= n. Перестановки – все элементы разные.

В комбинаторике размеще́нием (из n по k) называется упорядоченный набор из k различных элементов из некоторого множества различных n элементов.

В отличие от сочетаний, размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы (2,1,3) и (3,2,1) являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1, 2, 3} (то есть совпадают как сочетания).

Количество размещений из n по k, обозначаемое , равно убывающему факториалу:

При k=n количество размещений равно количеству перестановок порядка n:

По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k, обозначаемое , равно:

БИЛЕТ 18

Сочетания.

Если элементы неупорядоченной выборки попарно различны, то она называется сочетанием без повторений, сочетанием с повторениями, если в выборке элементы могут повторяться.

В комбинаторике сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данного множества, содержащего n различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Так, например, наборы (3-элементные сочетания, подмножества, k=3) {2, 1, 3} и {3, 2, 1} 6-элементного множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (n=6) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов {1,2,3}.

В общем случае число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-й диагонали и n-й строки треугольника Паскаля.[1]

Число сочетаний из n по k равно биномиальному коэффициенту:

Сочетанием с повторениями называются наборы, в которых каждый элемент может участвовать несколько раз.

Число сочетаний с повторениями из n по k равно биномиальному коэффициенту:

БИЛЕТ 19

Булевы функции. Способы задания булевых функций.

Логические, переключательные.

Джорж Буль (ввел понятие в 1864г).

B={0,1}.

0 – ложь (false), 1 – истина (true).

f(x₁,…,x_n) – функции алгебры логики, если аргументы функции и сама функция принимает значение из В.

Способы задания булевых функций.

1. Табличный

Лексографический порядок: меньше -> больше.

2. Векторный способ.

Z_f(x1,x2,x3) = (f(0,0,…,0),f(0,0,…,1),…,f(1,1,…,1))

3. Задание областью истинности.

Задаем множество:

N_f={(α₁,α₂,…,α_n) : (α₁,α₂,…,α_n)=1}

Пример. N_f={(011),(101),(110),(111)} или N_f={3,5,6,7}

4. Формулы.

5. И другие.

БИЛЕТ 20

Количество булевых функций от n переменных. Фиктивные и существенные переменные.

Обозначения: P₂ – множество всех булевых функций; P₂ⁿ – множество булевых функций от переменных x₁,x₂,…,x_n.

T1. P₂(n)=|P₂ⁿ|=

[Каждой функции P₂ⁿ можно поставить в соответствие вектор β=(β₁,β₂,…,). С другой стороны каждому двоичному вектору 2ⁿ соответствует булева функция

N=2ⁿ

P₂(n)=2^N=]

растет очень быстро:

P₂(1)=4

P₂(2)=16

P₂(3)=256

Фиктивные и существенные переменные.

Опр. Если задана булева функция f=f(x₁,…,x_n), то x_i , 1≤i≤n, называют фиктивной, если f(x₁,…,x_i-1,0,x_i+1,…, x_n)≡ f(x₁,…,x_i-1,1,x_i+1,…, x_n).

Если функция не является фиктивной, ее называют существенной.

x_i – существенная, если существует (α1,…,αn) :

f(α₁,…,α_i-1,0,α_i+1,…,α_n) ≠ f(α₁,…,α_i-1,1,α_i+1,…,α_n).

Пример. f(x,y) = cosx+sin²y+cos²y

g(x)=cosx+1. Одно и тоже.

Булевы функции рассматриваем с точностью до фиктивных переменных.

Опр. f=g, если функцию g можно получить из функции f добавлением или изъятием фиктивных переменных.

БИЛЕТ 21

Элементарные булевы функции.

g₁(0)=0

g₁(1)=0

g₃(x)=x

g₄-инверсия, отрицание.

f1 – конъюнкция, логическое умножение, “И”

f2 – дизъюнкция, логическое сложение, “ИЛИ”

f3 – сложение по модулю 2, исключение или, «либо-либо».

f4 - импликация

f5 - эквивалентность

f6 – штрих Шеффера, «функция не “И”»

f7 – стрелка Вебба, «не “ИЛИ”».

БИЛЕТ 22

Булевы формулы. Представление булевых функций формулами. Эквивалентность формул.

*учебник*

{

Формулы, содержащие только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания называются булевыми.

Следующие две теоремы, приведенные без доказательств, устанавливают правила перехода от одного базиса к другому.

Теорема 1 Всякая логическая формула может быть представлена булевой

формулой.

Теорема 2 Если все функции функционально полной системы ∑* представимы формулами над ∑ , то ∑ также функционально полна. Таким образом, чтобы перейти в записи логической формулы от одного базиса к другому, нужно просто заменить все операции первого базиса через операции второго базиса.

}

*лекции*

Опр. Пусть задано множество А булевых функций A={f1,f2,…}. Введем понятие булевых формул на базисе А.

Определение индуктивности.

1. Функция f_i ϵ A является формулой в базисе А.

2. f_i(х₁,..,х_n) ϵ A.

Выражения: F₁, F₂, …, F_n.

F_j-любой символ переменной, либо формула в базисе А. Тогда выражение fi(F1, …, Fn) – формула в базисе А.

Каждой формуле соответствует булева функция, которая вычисляется по формуле, по обычным правилам суперпозиции.

Базис Буля.

A₀={x&y, x˅y, ̚x}

Базис Жегалкина.

А₁={x*y,x⊕y, 0, 1}

Опр. Две формулы F и G называются эквивалентными, если им соответствует одна и та же булева функция: F=G.

БИЛЕТ 23.

Основные эквивалентности в алгебре-логики.

1. Ассоциативность:

x * (y * z ) = (x * y) * z

x ˅ (y ˅ z) = (x ˅ y) ˅ z

2. Коммутативность:

х1 * х2 = х2 * х1

х1 ˅ х2 = х2 ˅ х1

3. Дистрибутивность:

x * (y ˅ z) = x * y ˅ x * z .

x ˅ (y * z) = (x ˅ y) * (x ˅ z)

(x⊕y) * z = (x*z) ⊕ (y*z)

4. Идемпотентность:

x * x = x

x ˅ x = x.

5. Закон двойного отрицания:

= x .

6. Законы нуля и единицы:

х * 1 = х

х * 0 = 0

х ˅ 1 = 1

х ˅ 0 = х

7. Законы де Моргана:

= &

= ˅

8. Закон противоречия:

А * Ᾱ = 0 .

9. Закон всеобщности:

А ˅ Ᾱ =1.

10. Законы связанные со сложением по модулю 2.

х ⊕ х = 0

х ⊕ 1=

11.Законы позволяющие представить элементарные функции в классическом базисе.

x ⊕ y = (x * ) ˄ ( * y)

x ⊕ y = (x ˅ y) * ( ˅ y)

x y = ˅ y

x y = (x y) & (y x)

x y = (x * y) ˅ ( *)

x | y = ̚

x y =

12) Законы полезные для упрощения

x ˅ (x * y) = x –закон поглощения

x & (x ˅ y) = x

x ˅ ( ̚ x * y) = x ˅ y

x & y + x & y = x – закон склеивания

Особенность данных эквивалентных соотношений в том, что:

·они не выводимы друг из друга. Убедиться в их справедливости можно путем построения таблиц истинности;

·этих соотношений достаточно для выполнения любых эквивалентных преобразований.

БИЛЕТ 24

Связь между алгеброй множеств и алгеброй логики.

Пусть имеется система множеств x1,x2,…,xn,и определены операции над множествами. Мы можем рассматривать операции x Вместо этих теоретико-множественных операций мы можем рассматривать логические операции.

x v y, x ˄ y, .

Составим 2 системы:

S1 = () - алгебра множеств

S2 = (v, ˄, - ,1, 0) - булева алгебра

S1S2.

На примере закона Де Моргана.

(1)

˄ (2)

		M’	M”