§4.Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением ненулевых векторов иназывается число:. Из определения скалярного произведения следует, что: .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) ; 2)при ;

3) ; 4), где - число;

Для векторов канонического базиса :

, , ,,,.

Для векторов и, заданных координатами:,скалярное произведение вычисляется по формуле:

.

Некоторые приложения скалярного произведения:

1) Вычисление угла между векторами и:.

2) Нахождение проекции вектора на вектор:.

3) Вычисление длины вектора (если известны,,):

4) Установление перпендикулярности векторов и:

.

5) Вычисление работы постоянной силыпри прямолинейном перемещенииматериальной точки:.

2.53 Найти скалярное произведение коллинеарных и противопо-ложно направленных векторов , если

2.54 Вычислить: а); б)

если , , .

2.55 Найти модуль вектора гдеединичные векторы, угол между которыми равен.

2.56 Определить, при каком значении векторыибудут перпендикулярны, если

2.57 Какой угол образуют единичные векторы и, если известно, что векторыивзаимно перпендикулярны?

2.58 Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах если известно, что.

2.59 Определить угол между векторами и, если известно, что,,.

2.60 Вычислить .

2.61 Даны векторы и. Вычислить:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж).

2.62 Даны три вектора: Вычислить: а) ; б).

2.63 Даны векторы: . При каком значениивекторыибудут перпендикулярны.

2.64 Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

2.65 Даны точки .На оси абсцисс найти такую точкуМ, чтобы

2.66 Даны три вектора: Найти вектор, удовлетворяющий одновременно уравнениям:,,.

2.67 Найти координаты вектора , коллинеарного векторуи удовлетворяющего условию.

2.68 Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положенияв положение

2.69 Даны два вектора: иНайти векторперпендикулярный, равный ему по длине, компланарный с векторамии образующий с векторомострый угол.

2.70 В треугольнике :. Вычислить длину его высоты, если известно, чтои- взаимно перпендикулярные орты.

§5. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением векторов иназывается вектор, определяемый условиями:1);

2) и;3) - правая тройка векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называетсяправой, если из конца третьего вектора , кратчайший поворот от первого векторако второму, виден совершающимся против хода часовой стрелки. В противном случае, тройка называется левой.

Из определения векторного произведения следует, что:

.

Векторное произведение обладает свойствами:

1) ; 2)

3) ; 4),где - число;

Для векторов канонического базиса :

, , ,,,.

Для векторов и, заданных координатами,векторное произведение вычисляется по формуле:

.

Некоторые приложения векторного произведения:

1) Вычисление площадей треугольника и параллелограмма, построенных на векторах и, как на сторонах:.

2) Установление параллельности векторов и:.

3) Определение момента силы, приложенной в точкеотносительно некоторой точки пространства:.

2.71 Вычислить, если :

а); б).

2.72 Упростить выражения:

а)б) ;

в) ; г) .

2.73 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах единичные векторы, величина угла между которыми равна 60°.

2.74 Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы и, где- единич-ные векторы и

2.75 Найти координаты вектора , если:

a) б)

2.76 Даны векторы . Найти координаты вектора:а) ; б) .

2.77 Определить, при каких значениях ивекторбудет коллинеарен векторуесли

а) ; б) .

2.78 Найти вектор ,

если .

2.79 Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках ,,.

2.80 В треугольнике с вершинами в точках найти высоту

2.81 Даны два вектора: Найти векторединичной длины, перпендикулярный к векторам,и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторовимела положительную ориентацию.

2.82 Вектор , перпендикулярный осиOz и вектору образует острый угол с осьюOx. Зная, что , найти его координаты.

2.83 Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторами, образует с ортомтупой угол и.

2.84. Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторами, а также удовлетворяет условию.

2.85 Силаприложена к точке. Определить момент этой силы относительно начала координат.

2.86 Силаприложена к точке. Определить момент этой силы относительно точки.

2.87 Даны три силы, приложенные к точке :. Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки.