5.1.2 Систематический код Хемминга

Соотношение между числом информационных символов , числом исправляемых ошибоки числом символов кодовой комбинации отображается неравенством (5.6). Хемминг предложил использовать знак равенства

. (5.15)

Таблица 5.2*
n	7	15		31	63	127	255
k	4	11		26	57	120	247
r	3	4		5	6	7	8
	0.4286	0.2667		0.1613	0.0952	0.0551	0.0314

Это предложение выполняется только для определённых соотношений ,и. В таблице 5.2 приведены решения уравнения (5.15) для целых,и=1.

Коды имеют минимальное кодовое расстояниеи позволяют исправить одиночную ошибку. Кодыимеют минимальное кодовое расстояние, обнаруживают двукратную ошибку и позволяют исправить одиночную ошибку.

Второе предложение Хемминга касается построения проверочной матрицы [Березюк Справочник]. Проверочная матрица должна состоять из столбцов, являющихся кодом номера столбца в двоичном представлении. Например, для кодапроверочная матрица будет иметь вид

В отличие от проверочной матрицы, в которой проверочные символы занимают позиции после информационных символов, проверочные символы в матрицезанимают позиции кратные степени дваи обозначены жирными единицами. Уравнения для определения проверочных символов получаются из матрицы, умножением его на вектор,=(h₁ ,h₂, …,h₁₅):

(5.16)

Если задана информационная часть кода , необходимо определить значения проверочных символов на 1-ой, 2-ой, 4-ой и 8-ой позициях пятнадцатиразрядного кодапо уравнениям (5.16).

Для определения синдрома ошибки проверочная матрица Hумножается на принятую кодовую комбинацию. Синдром указывает номер позиции символа, в которой произошла ошибка.

Ввиду того, что код Хемминга принадлежит систематическим (линейным) кодам, можно также составить производящую матрицу (с учётом особенностей записи кодов Хемминга) и определить все кодовые комбинации составляющие множество кодов Хемминга С(n,k)

Пример 5.3Используем кодс информационной частью

. Составим таблицу 5.3, в первой строке – номера символов (разрядов) в кодовой комбинации, во второй – позиции проверочных и значения информационных символов.

Таблица 5.3
Номер символа	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
символы	h1	h 2	1	h 4	1	0	1	h 8	0	0	1	0	1	1	1

Подставим значения символов согласно таблице 5.3 в систему равенств (5.16) и получим значения проверочных символов h₁,h ₂ ,h ₄,h ₈.

h₁=h₃ h₅ h₇ h₉ h₁₁ h₁₃ h₁₅= 1110111 =0,

h ₂=h₃ h₆ h₇ h₁₂ h₁₃ h₁₄ h₁₅= 1010111 =1,

h ₄ =h ₅ h₆ h₇ h₁₀ h₁₁ h₁₃ h₁₅= 1010111 =1,

h ₈=h ₉ h ₁₀ h₁₁ h ₁₂ h₁₃ h ₁₄ h₁₅= 0010111 = 0,

Кодер канала выдает последовательность символов

.

Проверка правильности вычислений – произведение . Если произошла однократная ошибка, скажем в третьем разряде, декодер выдает двоичный код ошибки, если ошибка в десятом разряде вектора, код ошибки равен.Ввиду иого, что