Комбинаторика. Основные понятия.

Комбинаторика – раздел математики, в котором рассматриваются различные комбинации элементов множества (или множеств), а так же способы подсчета их числа.

1. Правило суммы для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В - другими m способами, то выбор “или A, или B” можно осуществить n+m способами.

Замечание. Множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объект B не должно иметь общей части.

2. Правило суммы для выбора m объектов. Если объект А₁ можно выбрать n₁ способами, объект А₂ - другими n₂ способами,…, объект А_m - n_m способами, отличных от всех предыдущих, то выбор “или A₁, или A₂ , … или A_m ” можно осуществить n₁+n₂+…+n_m способами.

3. Правило произведения для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами после этого при любом выборе объекта А объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары“ A и B” можно осуществить nm способами.

4. Правило произведения для выбора m объектов. Если объект А₁ можно выбрать n₁ способами, объект А₂ - другими n₂ способами,…, объект А_m - n_m способами, отличных от всех предыдущих, то выбор всех элементов “ A₁ , и A₂ , и A_m ” можно осуществить n₁n₂…n_m способами.

5. Перестановка. Перестановкой из n элементов называется некоторое расположение этих n элементов на n местах.

6. Размещение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов, взятых по m, отличающиеся порядком и составом.

7. Сочетания. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов, взятых по m, отличающиеся только составом, а порядок не важен.

.

Случайные события. Вероятность – классическое определение. Относительная частота.Случайные события – это события, исход которых заранее предсказать нельзя (например, попадание в цель при выстреле).Существует три способа определения вероятности: аксиоматический, статический, классический. Сейчас поговорим о классическом определении.Определение: Вероятность события A – это_{где m – число элементарных событий благоприятствующих А,}

n – общее число равновозможных событий.Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу опытов:где - число появлений события А n – общее число опытов.

Основные теоремы теории вероятностей. Свойства операций над событиями

Определение: Суммой двух событий A+B называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.Например: Если событие А – попадание в цель при первом выстреле, событие B – попадание в цель при втором выстреле, то C=A+B – попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле : при первом или при втором или при обоих вместе.

Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Определение: Произведением двух событий AB двух событий называется событие, состоящее в совместном появлении события А и события B.Например: Если событие А – появление дамы при вынимании карты из колоды, событие B – появление карты пиковой масти, то C=AB – появление пиковой дамы.

Определение: Событие называется противоположным для А, если оно выполняется тогда и только тогда, когда не выполняется событие А.

При вычислении вероятностей удобно бывает представить сложные события в виде комбинации более простых событий, применяя операции сложения, умножения, а так же противоположные событие.

Пример: - попадание при первом выстреле, - попадание при втором выстреле, - попадание при третьем выстреле..Пусть событие В - в результате трех выстрелов будет только одно попадание:

Свойства операций над событиями

1. ,

2. - коммутативность,

3. - ассоциативность

4. - дистрибутивность

5. и ,

6. ,

7. 

8. где - достоверное событие, - невозможное событие.

Теорема 1: Если события А и В несовместны, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей

Следствие: Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:.

Полная группа событий. Условная вероятность.

Полная группа событий

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Теорема 2: Сумма вероятностей , образующих полную группу, равна единице: .

Теорема 3:

Теорема 4: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: . (без доказательства).

Определение: Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

Определение: Условной вероятностью называется вероятность события A , вычисленную при условии, что событие B произошло.

Теорема 5: .

Следствие: , .

Эти формулы можно распространить на любое число событий:

Определение: События A и B называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, т.е.

, т.е. (теорема 4).

Теорема 6: Вероятность двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Формула полной вероятности. Формулы Бейеса.

Формула полной вероятности.

Теорема: Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу.

Пусть известны вероятности , тогда -

формула полной вероятности.

Доказательство:

Т.к. по условию событие A может наступить, если наступит одно из несовместных событий , то появление события A означает осуществление одного, безразлично какого из несовместных событий

, т.е.

Формулы Бейеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Так как неизвестно, какое из этих событий произойдет, их называют гипотезами.

Допустим, что произошло испытание, в результате которого появилось событие A. Поставим своей задачей определить как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез, т.е. будем искать

Ясно, что . Значит,, но, т.е..

Аналогично, для Или в общем виде можно записать -формулы Бейеса.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может произойти событие А или произойти событие с вероятностью . Такого рода схема называется схемой Бернулли.

Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k – раз вычисляется по формуле Бернулли:.

Доказательство:

Заметим, что не требуется, чтобы событие A повторялось ровно k раз в определенной последовательности. Например, если мы хотим, чтобы событие A появилось 3 раза в четырех испытаниях, то это может быть.

По аналогии, если в одном испытании событие A появилось k раз, то вероятность: .Таких событий может быть: .