Дискретные случайные величины. Закон распределения, математическое ожидание, дисперсия. Свойства математического ожидания, дисперсии.

Определение: Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать определенное (но заранее неизвестное) значение.

Определение: Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, что возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.

Дискретные случайные величины.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами X, Y, Z.

Запись X=x означает, что случайная величина приняла значение x.

Запись P(X=x) означает вероятность того, что случайная величина X приняла значение x.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Табличный способ (или ряд распределения)

X	x1	x2	x3	…	xn	- возможные значения
P	p1	p2	p3	…	pn	- их вероятности

X	С
P	1

Графический ряд распределения (многоугольник или полигон распределения). В прямоугольной системе координат строятся точки и затем соединяются.

Математическое ожидание m(X).

Математическим ожиданием M(X) случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности, т.е. .

Смысл математического ожидания. Пусть произведено N независимых опытов, в каждом из которых X принимает определенное значение. Например,

x₁ появилось m₁ раз,

x₂ появилось m₂ раз,

. . .

x_n появилось m_n раз.

Ясно, что m₁+ m₂+…+ m_n=N.

Вычислим среднее арифметическое найденных случайных величин:

, но - относительные частоты, т.е.

.

Допустим, что число испытаний достаточно велико, значит, т.е.

,Или.

Значит математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. .

2. 

3. , где и независимые случайные величины.

4. , где и необязательно независимые случайные величины, могут быть и зависимыми.

Следствие: .

Дисперсия дискретной случайной величины D(X)

Определение: Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют мат.ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат.ожидания, т.е.

Теорема: .

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ

1)

2)

3)

4) (т.к. )

5)

Определение: - называется средним квадратичным отклонением случайной величины.

Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться, либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна равна p (вероятность не появления q=1-p). Пусть X – число появлений события A в этих испытаниях. Найдем закон распределения величины X:

X	n	n-1	…	K	…	0
P	pn	npn-1q	…	Cnkpkqn-k	…	qn

Найдем мат.ожидание и дисперсию.

Очевидно, что общее число появлений события А складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях, т.е.

X1	1	0
P	p	q

, значит .

Аналогично,

, т.е. .

Асимптотические формулы Лапласа и Пуассона

Если же в задаче количество испытаний велико, то вместо формулы Бернулли используют асимптотическую формулу Лапласа

где.

Причем, - имеются таблицы для этой

функции.

Если же в задаче количество испытаний велико, а р – мало (), то используют асимптотическую формулу Пуассона

где . Это закон распределенияПуассона.

Закон больших чисел

Как мы знаем, нельзя заранее предвидеть, какое из возможных событий примет случайная величина в итоге испытания. Это зависит от многих случайных причин.

Казалось бы, что поскольку о каждой случайной величине мы располагаем скромными сведениями, вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин.

Но оказывается, что суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Неравенство Чебышева: (справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин). Рассмотрим для дискретного случая.

Пусть

X	x1	x2	x3	…	xn
P	p1	p2	p3	…	pn

- вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше, чем .

Теорема Чебышева:

Если попарно независимые случайные величины, причем , то для любого малого

Пояснение: Хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения далекие от своих математических ожиданий – среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большей вероятностью принимает значения, близкие к постоянному числу .

Итак, среднее значение достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины.

Теорема Бернулли ( закон больших чисел):

,

где - относительная частота, p- вероятность появления события A..

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения, закон распределения. Плотность распределения. Математическое ожидание и дисперсия.

Рассмотрим случайную величину X, возможные значения которой сплошь заполняют интервал (a,b).

Для задания таких случайных величин вводят интегральную функцию распределения.Пусть x – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение меньше x, т.е. X<x, обозначим F(x). Разумеется, x будет меняться, т.е. F(x) является функцией x.

F(x) называют интегральной функцией распределения:.Свойства интегральной функции.

1. . Т.к. вероятность всегда меньше 1 и больше 0.

2. - неубывающая функция, т.е. , если .

Следствие1: .

Следствие2: . Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение равна нулю.

Доказательство:Рассмотрим .

Если

Следствие3: .Доказательство: ч.т.д.

Следствие4: Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то

1. F(x)=0, при ,

2. F(x)=1, при

Замечание:

Для дискретной случайной величины график интегральной функции имеет ступенчатый вид.

Плотность распределения или

дифференциальная функция распределения

Теорема: .

Доказательство:

• Математическое ожидание

• Дисперсия

Закон равномерного распределения

Дифференциальные функции этих распределений называются законами распределения.

Закон равномерного распределения

Так как , т.е

Итак,

Найдем .

Если , то

1. Если , то .

2. Если , то

Значит,

Теперь подсчитаем математическое ожидание и дисперсию

Нормальное распределение непрерывной случайной

величины. Функция Лапласа.

Нормальное распределение

.

Здесь два параметра a – мат.ожидание, - среднее квадратическое отклонение.

Теперь подсчитаем математическое ожидание и дисперсию

Первый интеграл равен нулю, т.к. подынтегральная функция является нечетной. Второй интеграл – интеграл Пуассона, он равен .

Т.е.

Если возрастает, то максимальная ордината уменьшается и сама кривая становится более пологой.

Найдем

Интеграл - называется функцией Лапласа, причем функция Лапласа является нечетной, т.е. .

Значит,

Свойства нормальных кривых распределения, вероятность

попадания случайной величины в заданный интервал

Отсюда следует правило трех сигм: Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от мат.ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Показательное распределение.

Где - постоянная положительная величина (здесь один параметр ) .Найдем

1. Если , то

2. Если , то .

Тогда

Найдем вероятность попадания в интервал (a, b).

Значение находят по таблице или через разложение в ряд Тейлора:

.

Теперь подсчитаем математическое ожидание и дисперси

Математическая статистика.

Математическая статистика – это прикладной раздел теории вероятностей, занимающийся обработкой статистических данных, чтобы получить научно- обоснованные выводы. Обычно полученные в результате наблюдений данные представляют собой набор чисел (объектов). Иногда проводят сплошное обследование, т.е. обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике такое сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению.

Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Выборочный метод. Генеральная и выборочная совокупности.

Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения

Статическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Эмпирическая функция распределения (статистическая функция)

Мы знаем, что все важнейшие характеристики случайной величины (мат.ожидание и т.п.) могут быть получены из распределения. В задачах математической статистики функция распределения (теоретическая) всегда является неизвестной. Замечательно то, что основываясь на выборке, можно построить хорошее приближение для неизвестной функции распределения. Эмпирическую функцию распределения выборки строят так:

,

где - число тех значений выборки, которые меньше x.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различия между и состоит в том, что - вероятность события , а - относительная частота события.

Мы знаем, что . Значит, можно использовать эмпирические функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. У эмп. функции свойства такие же, как у функции :. Т.к. вероятность всегда меньше 1 и больше 0.

- неубывающая функция, т.е. , если .