1415 / 21_Metodich

11

Рис. 1.3. Второй случай построения планов скоростей и ускорений

Затем определяем скорость точки В, которую можно рассматривать как состоящую из переносной скорости точки А (VA) и относительной скорости точки B вокруг точки A (VB/A), т.е.

VB = VA + VB/A,

12

где VB OB и VB/A АВ.

Для решения этого уравнения из точки о проводим прямую параллельно ОВ, а через точку а – прямую перпендикулярно АВ. Точка b пересечения указанных прямых определяет длины отрезков оb и аb, изображающих скорости VB и VB/A. Скорость точки С найдем из уравнения

VС = VA + VС/A,

где

VС/A = VВ/A АС / АВ,

поскольку

VС/A / VВ/A = АС / АВ.

В соответствии с этим уравнением, прибавив к отрезку оа по направлению оb отрезок

ас = VС/A / KV = аb АС / АВ, мм,

получим отрезок ос, изображающий скорость VС.

Теперь найдем скорость точки D. Движение точки D можно рассматривать как движение, состоящее из переносного со скоростью VC и относительного со скоростью VD/C, направленной вдоль DE. Тогда

VD = VC + VD/C,

где VD DE и VD/C DE.

Поэтому через точку о проводим прямую перпендикулярно DЕ и через точку с – прямую параллельно DE. Точка пересечения прямых определяет точку d и отрезки оd и сd, которые изображают на чертеже

скорости VD и VD/C.

И, наконец, скорость точки F (рис. 1.3, а):

VF /VD = EF/ED.

Отсюда

VF = VD EF/ED.

На плане скоростей (рис. 1.3, б) эта скорость изображается отрезком of = VF / KV = od EF / EC,

совпадающим по направлению с отрезком od.

13

Численные значения скоростей определяются перемножением масштаба скорости и соответствующего отрезка (см. анализ предыдущего механизма).

Угловые скорости звеньев

2 = VB/A / lAB = VC/A / lAC, 1/c,

4 = 5 = VD / lED = VF / lEF, 1/c.

Перенеся скорость VB/A в точку В (или скорость VC/A в точку С), устанавливаем, что 2 направлена против часовой стрелки; а перенеся скорость VD/E в точку D (или то же самое скорость VF в точку F), получаем, что 4 (то же и 5) направлена по часовой стрелке.

Приступаем к определению ускорений. Ускорение точки А

аА = anA = 12 lOA, м/с2,

и направлено от точки А к точке О.

Для определения ускорения точки B составим уравнение

аB = аА + anB / A + a B / A ,

где аB ОВ, aB / A АВ и aBn / A = VB2/ A /lAB, м/с2, – нормальная составляющая относительного ускорения; направлена от точки В к точке А.

В соответствии с векторным уравнением через точку о' (рис. 1.3, в) проведем прямую параллельно ОВ. Затем из той же точки о' отложим отрезок

zА = аА / Ka, мм,

и к концу его прибавим отрезок

= aBn / A / Ka, мм,

направив его параллельно АВ от точки B к точке А. Через конец этого отрезка проведем прямую перпендикулярно АВ до пересечения с пер-

вой прямой и получим точку b' и отрезки o'b' (zB) и zB / A , которые изображают на чертеже ускорения аB и aB / A .

Ускорение точки С найдем из уравнения

аС = аА + аС/А.

Входящее сюда ускорение аС/А определяется из пропорции

аС/A / аВ/A = АС / АВ,

и, следовательно,

аС/A = аВ/A АС / АВ.

14

Отложив на плане ускорений от точки а отрезок a' c' = аC/A / Ka = zB/A AC / AB, мм,

совпадающий с отрезком zB/A, получим точку с' и отрезок о'с' (zC), изображающий ускорение точки С.

Ускорение точки D, принадлежащей кулисе – звену 5, определяется уравнением

аD = аC + аD/C + аK.

Так как точка D движется по окружности, то

аD = anD + a D

и предыдущее уравнение примет вид

anD + а D = аC + аD/C + аK,

где

аD DE, аD/C DE, аDn = VD2 / lDE, м/с2, zDn = аDn / Ka и аK = 2 4VD/С

– ускорение Кориолиса, направление его определяется поворотом

вектора VD/C на 90° в сторону 4 (показано на рис. 1.3, б).

Выполнив вычисления, переходим к графическому решению уравнения, для чего из точки о' (рис. 1,3, в) откладываем параллельно

DF (в направлении от точки D к точке Е) отрезок zDn и zD DE; из

точки с' – zK = aK / KA, мм. Через конец этого отрезка проведем прямую параллельно DE. Пересечение указанных прямых будет в точке

d'. Отрезки zD , zD/C и о'd '(zD) изображают ускорения аD , аD/C и аD. Ускорение точки F найдем из выражения

аF / аD = EF / ED,

откуда

аF = аD EF / ED.

Это ускорение на плане ускорений изображено отрезком zF = аF /Ka = zD EF/ED, мм.

Для определения численных значений ускорений необходимо полученные отрезки из плана ускорений умножить на масштаб ускорения (см. анализ первого механизма).

15

Угловые ускорения звеньев

2 = аB / A /lAB, 1/c2, и 4 = 5 = аD / lED, 1/c2.

Перенос ускорения а B/А в точку В показывает, что 2 направлено против часовой стрелки, а перенос ускорения аD в точку D устанавливает, что 4 (то же самое 5) направлено по часовой стрелке.

Сравнивая направления 2 и 2, а также 5 и 5, видим, что звенья 2 и 5 движутся ускоренно, сравнение же VB и аB показывает, что ползун 3 движется замедленно.

1.4. Определение радиуса кривизны траектории точки

Найдем радиус кривизны траектории точки S4 механизма, представленного на рис. 1.2, а. Величина его определяется по формуле

S = VS24 / aSn4 , мм,

где VS4 = KV os4 – скорость и aSn4 – нормальная составляющая уско-

рения точки s4.

На рис. 1.2, г показано разложение ускорения этой точки на составляющие aSn4 и aS 4 . Через начало вектора zS4, взятого из плана ускорений и изображающего ускорение aS4, проведена прямая параллельно скорости VS4 (параллельно отрезку os4, изображающему на плане скоростей скорость VS4), a через его конец – прямая, перпендикулярная этой скорости. Таким образом, получим zSn4 и zS 4 , изображающие составляющие ускорения aSn4 и aS 4 . Численное значение ис-

комой составляющей

aSn4 =Ka zSn4 , м/с2.

Подставив значение VS4 и anS4 в приведенную выше формулу, получим значение искомого радиуса. Для определения положения центра кривизны o1 необходимо через точку S4 (рис. 1.3, а) провести прямую параллельно zSn4 и отложить от точки S4 величину радиуса S в мм, т. е.

s4 o1 = S / KL, мм,

в ту сторону, в которую направлено ускорение.

16

1.5. Построение годографа скорости точки

Для построения годографа скорости какой-либо точки необходимо взять из планов скоростей вектор скорости этой точки и перенести каждый из них параллельно самому себе на чертеж так, чтобы начало всех векторов находилось в одной точке. Тогда плавная кривая, соединяющая концы векторов, и будет годографом скорости.

1.6. Построение графиков скорости и ускорения по времени

Эти графики строят для точки звена, совершающего возвратнопоступательное движение (например, для точки B механизма рис. 1.3, а). Вначале вычерчивают график скорости по времени. Для чего выбирают оси координат XO'Y' (рис. 1.4) и на оси абсцисс х откладывают отрезок А (рекомендуется брать А = 120 мм), соответствующий времени одного оборота, т.е.

Tоб = 60 / n, c.

Тогда масштаб времени

Kt = Tоб / A, c/мм.

Отрезок А делят на 12 равных частей и в соответствующих точках 0, 1, 2,... по оси ординат откладывают отрезки, изображающие скорость точки. Если эти отрезки берутся без изменения из планов скоростей, то масштаб скорости графика будет равен масштабу скоростей планов скорости, т. е. KV, м/(с мм). При этом, если скорость направлена слева направо, то отрезок откладывают вверх от оси абсцисс, если справа налево, то – вниз.

Соединив плавной кривой концы отложенных отрезков, получают график скорости точки. В нашем случае VB = f '(t).

Поскольку кривошип вращается с постоянной скоростью, то полученный график будет и графиком VB = f1'( ). В этом случае масштаб по оси абсцисс является масштабом угла поворота

K = 2 /A, рад/мм.

График ускорения по времени aB = f ''(t) строят методом графического дифференцирования [7] графика VB = f '(t). Для этого под графиком VB = f '(t) изображают новые оси координат хо"у". На продолжении оси х откладывают влево от начала координат отрезок

17

o"с = a, мм. Из точки с проводят лучи параллельно касательным a'a'; 1'1'; 2'2'... до пересечения с осью координат у" и через точки пересечения проводят прямые параллельно оси абсцисс x до пересечения с соответствующей ординатой. Найденные при этом точки 1', 2', 3'... соединяют плавной линией и получают график ускорения по времени,

т.е. aB = f"(t).

Рис. 1.4. Построение графиков перемещения, скорости и ускорения точки В

19

Рис. 1.5. Схема определения сил, приложенных к звеньям

Итак, рассмотрим звено 4. На это звено действует шатун с силой Q4D, которая приложена в шарнире D, и ползун с силой N4D, приложенной к точке Е (рис. 1.5, б), кроме того, к звену приложена сила

20

тяжести G. Все эти силы можно заменить равнодействующей. Величина ее определяется по формуле

где m4 – масса звена, кг; aS4 – ускорение его центра масс, м/с2.

Линия действия R4 параллельна ускорению aS4 и отстоит от него на расстоянии

H4 = I4 4 / m4 aS4, м,

где I4 – момент инерции звена, кг м2; 4 – угловое ускорение звена, 1/c2.

При этом Н4 откладывается от aS4 в ту сторону, чтобы момент от равнодействующей R4 относительно центра масс совпадал с направлением углового ускорения 4.

Для изображения этого расстояния на чертеже необходимо полученное по формуле значение H4 разделить на масштаб длины KL, м/мм, и получить нужный отрезок

h4 = Н4 / KL, мм.

На основании теоремы Вариньона запишем относительно точки D (центра шарнира) уравнение моментов сил, приложенных к звену 4 (рис. 1.5, б), считая моменты, действующие против часовой стрелки, положительными:

Отсюда

N4E = (–R4 Dd + G4 Dg)/DE, H.

Отрицательное значение N4E показывает, что направление N4E (на рис. 1.5, б – штриховая линия) выбрано неправильно и должно быть заменено на противоположное (на рис. 1.5, б показано сплошной линией).

Из уравнения

графическим способом найдем силу Q4D. Для этого из произвольной точки о (рис. 1.5, в) отложим в произвольном масштабе силы K, H/мм, равнодействующую R4 в виде вектора

yG = G4* /K, мм,

* G4 = m4 g ,H, где g = 9,81 м/с2.