10. Распределение Вейбулла.
Распределение Вейбулла названо в честь шведского исследователя Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull), применявшего это распределение для описания времен отказов разного типа в теории надежности.
Формально плотность распределения Вейбулла записывается в виде:
Иногда плотность распределения Вейбулла записывается также в виде:
где
b — параметр масштаба;
с — параметр формы;
е — константа Эйлера (2,718...).
При с =1 или, в другой
параметризации, при
распределение Вейбулла, как легко видеть
из формул, переходит в экспоненциальное
распределение, а при
—
в распределение Релея.
Часто при проведении анализа надежности необходимо рассматривать вероятность отказа в течение малого интервала времени после момента времени t при условии, что до момента t отказа не произошло. Такая функция называется функцией риска, или функцией интенсивности отказов, и формально определяется следующим образом:
где h(t) — функция интенсивности отказов или функция риска в момент времени t; f(t) — плотность распределения времен отказов; F(t) — функция распределения времен отказов (интеграл от плотности по интервалу [0,t]).
В общем виде функция интенсивности отказов записывается так:
При
функция
риска равна константе, что соответствует
нормальной эксплуатации прибора (см.
формулы).
При
функция
риска убывает, что соответствует
приработке прибора.
При
функция
риска убывает, что соответствует старению
прибора.Типичные
функции риска показаны на графике:
Приведем основные числовые характеристики распределения Вейбулла:
11. Бернулли.
Пусть производится n опытов (испытаний), в каждом из которых может наступить один из N исходов. Если результаты одного испытания не зависят от результатов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Например, стрелок делает n выстрелов в мишень, в которой N колец: десятка, девятка и т.д.
Возможны две ситуации: условия проведения испытаний не меняются (ситуация А) или меняются от испытания к испытанию (ситуация В).
Рассмотрим ситуацию А.
Пусть число исходов равно двум (N = 2). Такая схема испытаний называется схемой Бернулли.
Два исхода
соответствуют в приведенном примере
попаданию (успеху) или не попаданию в
мишень, причем в каждом выстреле
вероятность попадания равна p,
а вероятность промаха равна q
= 1 – p.
Обозначим вероятность попасть m
раз из n
выстрелов P(m,n).
,
так как в каждом опыте стрелок
промахивается. Вероятность попасть
один раз равна
,
так как стрелок может попасть при первом,
втором, …n
ом выстреле.
,так
как два попадания (порядок не важен)
должны быть размещены (выборки без
возвращения) средиn
выстрелов. Аналогично
- формула
Бернулли.
12. Распределение Лапласа.
Функция плотности распределения Лапласа, или, как его еще называют, двойного экспоненциального, используется, например, для описания распределения ошибок в моделях регрессии. Если параметр положения равен 0, то функция плотности распределения Лапласа имеет вид:
Основные числовые характеристики этого закона распределения в предположении, что параметр положения нулевой, выглядят следующим образом:
В общем случае плотность распределения Лапласа имеет вид:
где
а — среднее распределения; b — параметр масштаба; е — число Эйлера (2,71...).
