8693

Оглавление

3

Введение

Цель данного пособия ознакомить абитуриента с требованиями, которые предъявляются на вступительных экзаменах по математике в ТУСУРе, и помочь им подготовиться к экзаменам в университет.

Для этого в пособие включены методические указания по основным темам, варианты письменных работ с решениями, которые предлагались на вступительных экзаменах в ТУСУР в 2014 17 годах, варианты заданий по математике для самостоятельного решения.

Экзамен по математике проводится письменно. Каждый абитуриент получает экзаменационный билет и в течение 240 минут решает предложенные ему задачи, оформляя их по обычной школьной методике. Варианты заданий составлены в соответствии с требованиями действующей программы по математике для поступающих в ТУСУР. Экзаменационный билет состоит из 9 задач. Вся работа должна быть выполнена пастой одного цвета (синей или фиолетовой, или черной). Использование простого карандаша, корректора не допускается. Необходимые для пояснения решения чертежи и рисунки выполняются от руки. Все вычисления проводятся вручную, без использования калькулятора. Черновик вкладывается в работу. Порядок выполнения заданий не важен.

1. Основные умения и навыки

На экзамене по математике поступающий в ТУСУР должен показать:

четкое знание математических определений;

4

умение точно и сжато выражать математическую мысль в письменном изложении;

умение использовать соответствующую символику;

уверенное владение математическими знаниями и навыками,

предусмотренными программой, умение применять их при решении задач.

Содержание и структура экзаменационной работы дают возможность достаточно полно проверить комплекс умений по предмету:

производить арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей;

проводить тождественные преобразования многочленов,

дробей, содержащих переменные, выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;

строить графики линейной, квадратичной, степенной,

показательной, логарифмической и тригонометрических функций;

решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, приводящиеся к ним;

решать системы уравнений и неравенств первой и второй

степени и приводящиеся к ним. Сюда, в частности, относятся простейшие уравнения и неравенства, содержащие степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;

5

решать задачи на составление уравнений и систем уравнений;

изображать геометрические фигуры на чертеже;

использовать геометрические представления при решении

алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии при решении геометрических задач;

пользоваться понятием производной при исследовании

функций на возрастание (убывание), на экстремумы при построении графиков функций;

решать задачи с параметрами.

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Арифметика, алгебра и начала анализа

1.Натуральные числа. Делитель, кратное. Общие делители. Общее наименьшее кратное.

2.Рациональные числа, их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел.

3.Действительные числа, их представление в виде десятичных дробей. Сравнение действительных чисел. Сложение, вычитание, умножение и деление действительных чисел.

4.Пропорции. Проценты.

5.Числовые промежутки. Модуль действительного числа, его геометрический смысл. Свойства модуля.

6.Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.

6

7.Степень с натуральным показателем. Определение и свойства арифметического корня.

8.Степень с рациональным показателем. Тождественные преобразования выражений, содержащих степень с рациональным показателем.

9.Одночлен и многочлен. Корень многочлена. Выделение полного квадрата трехчлена.

10.Понятие функции. Способы задания функции. Область определения, множество значений. Функция обратная данной. Понятие сложной функции.

11.График функции. Возрастание и убывание функции, периодичность, четность, нечетность. Преобразование графиков.

12.Определение и основные свойства функций: линейной

y = kx + b, обратной пропорциональной зависимости y = k=x, квадратичной y = ax2 + bx + c, степенной y = xn (n 2 Z), показательной y = ax (a > 0, a =6 1), логарифмической

y = loga x (a > 0, a =6 1), тригонометрических функций

(y = sin x, y = cos x, y = tgx, y = ctgx).

13.Формулы приведения. Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента. Формулы понижения степени. Формулы сложения аргументов. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

7

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

14.Логарифм произведения, частного, степени. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода к другому основанию. Натуральный логарифм, десятичный логарифм.

15.Уравнение. Множество решений уравнений. Равносильные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля. Рациональные алгебраические уравнения с параметрами. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Иррациональные уравнения. Иррациональные уравнения с параметрами. Решение

тригонометрических уравнений вида sin x = a, cos x = a, tgx = a. Тригонометрические уравнения с параметрами.

16.Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.

17.Неравенства, содержащие неизвестное. Множество решений неравенства. Решение линейных, квадратных и сводящихся к ним неравенств. Метод интервалов. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля. Рациональные алгебраические неравенства с параметрами. Показательные и логарифмические неравенства. Показательные и логарифмические неравенства с параметрами. Тригонометрические неравенства с параметрами.

18.Системы уравнений и неравенств. Решение системы. Множество решений системы. Равносильные системы

8

уравнений. Системы уравнений и неравенств с параметрами.

19.Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

20.Производная функции. Вычисление производных. Производная суммы двух функций. Производная произведения двух функций. Производная частного двух функций. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной. Механический смысл производной. Задачи с параметрами.

21.Достаточные условия возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции. Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке. Задачи с параметрами.

Геометрия

1.Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.

2.Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.

3.Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Средняя линия треугольника. Свойства

9

равнобедренного треугольника. Теорема Пифагора. Теорема косинусов. Теорема синусов. Сумма углов треугольника.

4.Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Средняя линия трапеции.

5.Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Касательная к окружности. Свойства касательной к окружности. Дуга окружности. Сектор. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник.

6.Центральные и вписанные углы.

7.Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники. Выражение стороны правильного многоугольника через радиус описанной около него окружности.

8.Площадь многоугольника. Формулы площади: треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, трапеции, правильного многоугольника (через радиус описанной около него окружности).

9.Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.

10.Подобие. Подобные фигуры. Признаки подобия треугольников. Отношение площадей подобных фигур.

10