Электромагнитные поля и волны.-6

61

3.1.2. Энергия электростатического поля. Емкость. Силы в электростатическом поле

Энергия электростатического поля может быть определена через

В последней формуле не учтены взаимодействия заряженных тел. Емкость системы, состоящей из двух заряженных проводников

определяется как отношение заряда одного из проводников к разности потенциалов между ними

электростатическое поле, равна

где S-площадь заряженной поверхности.

3.2. Примеры расчета электростатических полей

Задача №1

Две плоские металлические пластины разделены слоем однородного

помощью уравнения Лапласа (3.5а) с применением граничных условий для потенциала на границе раздела диэлектрик-металл (3.9).

неизвестные постоянные подлежащие определению. Для их определения

64

Ёмкость конденсатора определяется с помощью известной формулы:

Задача №3

Сохраним формулу задачи №1, но добавим условие, что между пластинами в диэлектрике размещен заряд с объемной плотностью .

Решение:

В этом случае необходимо использовать уравнение Пуассона (3.5), из

65

Задача №4

Между пластинами плоского конденсатора расположены два слоя диэлектрика с проницаемостями 1 и 2 . Размеры слоев показаны на рисунке.

3.3. Определить потенциал, напряженность поля и емкость конденсатора. Решение:

Пространство между пластинами разбиваем на две области: область Ι с диэлектриком, имеющую диэлектрическую проницаемость 1 и область ΙΙ,

имеющую диэлектрическую проницаемость 2 . Для каждой из областей

B 0 , A ( 2 / 1 ){U / d ( 2 / 1 1) b}, C U /{d ( 2 / 1 1) b}, D (U ( 2 / 1 1)d ) /{d ( 2 / 1 1) b}.

Потенциалы в областях имеют вид и удовлетворяют граничным условиям:

Для первой области:

граничных условий при y d . Емкость двухслойного конденсатора является последовательным соединением емкостей

C1 1S / d , C2 2 S /(b d ) , C C1C2 /(C1 C2 ) .

Задача №5

Определить потенциал , напряженность электрического поля E и

вектор электрического смещения D , двухслойного коаксиального конденсатора длиной L. Параметры диэлектриков и размеры конденсатора приведены на рис. 3.4. Заряд на поверхности внутреннего проводника конденсатора равен q , внешний проводник конденсатора заземлен.

Решение:

Для данной задачи, потенциал конденсатора описывается уравнением Лапласа в цилиндрической системы координат, в котором из соображений симметрии по координатам a и q, удерживается только одно слагаемое

Общее решение этого уравнения будет иметь вид Aln r B и для областей 1 и 2 запишется в виде:

1 A1 ln r B1 ; R1 r R2 (3.22)2 A2 ln r B2 ; R2 r R3 (3.23)

67

E2r Ar2 , R2 r R3 . (3.25)

Для определения потенциала в данной, конкретной задаче необходимо определить неизвестные постоянные: A1,A2 ,B1,B2.

Для этого надо воспользоваться четырьмя граничными условиями для поля и потенциала.

69

(r,a, z) найти объѐмный заряд, создающий это поле, необходимо

использовать уравнение Пуассона (3.5).

В нашем случае поле зависит только от r , поэтому в уравнении Пуассона записанного в цилиндрической системе координат оставляем слагаемое, зависящее только от координаты r .

путѐм последовательного дифференцирования, находим выражение для объемной плотности заряда

Примером применения уравнения Пуассона является хорошо известная в электронике задача о нахождении распределения объѐмного заряда между катодом и анодом электроннолучевой трубки.

Задача №7.

Из плоского катода К вылетают электроны в направлении плоского анода А. Расстояние

между

электродами d много меньше их размеров. Катод заземлѐн, на анод подан потенциал U . Потенциал электрического поля между электродами

меняется по закону kx43 , здесь k –const (рис.

3.5).

Определить распределение объѐмного заряда между электродами и поверхностный заряд на электродах.

Решение:

Для определения объемной плотности зарядов в области между электродами следует использовать уравнение Пуассона.

Потенциал зависит только от координаты х. (краевыми эффектами пренебрегаем). Поэтому получим

(x) 2 4 x 23 .x2 9

Плотность поверхностных зарядов на катоде и на аноде определяется . граничными условиями (3.9) В нашем случае нормалью к катоду будет ось х. Поэтому поверхностная плотность заряда на катоде будет

70

Аналогично нормаль к аноду противоположна по направлению оси x. Поэтому для анода

Попробуем разобраться, почему при x 0 объемная плотность заряда

х ?

Движение электронов от катода к аноду приводит к появлению тока

Задача №8

Определить потенциал и напряженность электрического поля,

Просчитайте, как изменятся потенциал и напряженность поля, если этот заряд будет находиться в воздухе?

Задача №9

Получите выражение в точке М для потенциала , создаваемого точечным зарядом q , расположенным над идеально проводящей плоскостью на высоте h (рис. 3.6).