P

Рисунок 3.14 – К задаче о прогибе балки

Изменение кинетической энергии в данном случае равно нулю, так как и начальная скорость груза в точке М0, и конечная в точке М 1 равны нулю. Работа сил тяжести при падении груза равна Р·(h+adin), а запасаемая упругая энергия, работа сил упругости, равна –с·а2din/2; при нулевом изменении кинетической энергии сумма этих работ равна нулю:

P (h + adin ) −c adin2 / 2 = 0.

При статическом нагружении Р = с·аst , и тогда

adin2 − 2 ast adin − 2 h ast = 0. adin = ast ± ast2 + 2 h ast .

При h = 0 получается adin = 2аst, т.е. динамическое приложение нагрузки вдвое увеличивает прогиб балки.

3.4 Несвободное и относительное движения точки

3.4.1 Несвободное движение точки

Рассмотрим движение точки М по гладкой заданной неподвижной

кривой под действием активных сил F1a , F2a , ... , Fna и реакции связи N .

Положение точки относительно начала отсчета О1 будем определять дуговой координатой s, отсчитываемой от точки О1. Проведем из точки М оси Мτnb, так что ось М τ направлена в сторону положительного направления отсчета s, Мn – вдоль главной нормали к центру кривизны траектории, Мb – по бинормали (рисунок 3.15). Для гладкой кривой ее реакция направлена по нормали к ней и лежит в плоскости Мbn. Поэтому Nτ = 0. В результате дифференциальные уравнения движения точки вдоль заданной будут иметь вид:

117

b

N O

S

M

n

Fka

Рисунок 3.15 – Схема движения точки вдоль гладкой кривой

Из первого уравнения, где нет неизвестной реакции, можно определить закон движения точки вдоль кривой. Этим же уравнением можно пользоваться и при наличии трения, но тогда в первое уравнение войдет ила трения, выраженная через реакцию N. Два уравнения (оставшиеся) служат для определения реакции связи. Нужно отметить, что при криволинейном движении реакция связи зависит от скорости движения, в отличие от случая статики. Эту скорость, если она не задана, можно найти либо из уравнения (3.28), либо с помощью закона сохранения энергии, что обычно проще.

Пример 1.

Кольцу М массой m, нанизанному на горизонтально расположенную проволочную окружность, сообщается начальная скорость v0, направленная вдоль касательной к этой окружности (рисунок 3.16); на кольцо действует сила сопротивления F = kmv1/2, где k – постоянный коэффициент. Найти время, по истечении которого кольцо остановится.

Примем начало отсчета в начальном положении кольца. Уравнение движения кольца составим с учетом того, что сила тяжести P в него не войдет (она перпендикулярна оси Мτ и на движение кольца не влияет). То же относится и к реакции связи N .

118

и 2(v0 − v) = kt.

Рисунок 3.16 – Схема к задаче одвижении кольца по проволоке

В момент остановки t = t1, v = 0, тогда t1 = 2k v .

Время до остановки в этом примере является конечной величиной.

Пример 2.

Пусть в предыдущем примере сила сопротивления представляет собой силу трения F = f·N. Для конкретности R = 0,3 м, v0 = 2 м/с, f = 0,3. Какой путь до остановки пройдет кольцо?

Составляя уравнения (3.28), получим:

Сила трения

F = fN = f Nb2 + Nn2 .

Т.к. Nb = P = mg, то

F = fm g2 + v4 .

R2

Таким образом, сила трения зависит от скорости кольца. После замены dv/dt=v·dv/ds и сокращения на m получим уравнение движения в виде

119

Разделяя переменные и беря в обеих частях равенства определенные интегралы, получим

откуда

−2 fs / R = ln(v2 + g2R2 + v4 ) −ln(v02 + g2R2 + v04 )

Окончательно

В момент остановки v = 0, поэтому приближенно (считая g = 10 м/с2) получаем s ≈ 0,55 м.

Пример 3.

Груз весом Р висит на нитке длиной b. Его отклоняют на угол α и отпускают без начальной скорости. Определить натяжение нити в момент, когда груз будет в нижнем положении (рисунок 3.17).

P

Рисунок 3.17 – К задаче об определении натяжения нити

Рассмотрим груз в нижнем положении. На него действуют сила

натяжения нити T и вес P . Радиус кривизны траектории определяется длиной нити b, и уравнение движения груза в проекции на нормаль к траектории n (в сторону вогнутости траектории)

120

где v1 – скорость груза в нижнем положении. Для ее определения используем теорему об изменении кинетической энергии точки

mv212 − mv202 = Ph = Pb(1−cosα).

Поскольку v0 = 0, то mv12 = 2Pl(1−cosα), и окончательно получаем T

=P· (3–2cosα).

Вчастном случае, если нить в начальном положении отклонена на 90о, натяжение нити в нижней точке будет равно утроенному весу груза.

Пример 4.

Груз М подвешен на нити длиной b = ОМ (рис унок 3.18). Какую наименьшую скорость нужно сообщить грузу, чтобы он описал полную окружность в вертикальной плоскости?

Рисунок 3.18 – К задаче о движении груза по полной окружности

Найдем натяжение нити в произвольном положении, определяемом углом ϕ, и будем исходить из того, чтобы при любом его значении натяжение нити было положительным. В положении М на груз действуют

сила натяжения нити T и вес P . Составим уравнение движения в проекции на главную нормаль Mn. Тогда

где v – скорость груза в положении М. Для ее определения применяем теорему об изменении кинетической энергии:

mv2/2 – mv02/2 = – Ph = – Pb· (1–cosϕ).

Тогда

mv2 = mv02 – 2·P·b· (1–cosϕ).

Подставим это значение mv2 в (3.28) и вычислим Т:

121