через какое время скорость станет вдвое меньше начальной и какой при этом будет пройден путь? Какой путь пройдет лодка до полной остановки?
|
|
N |
v |
R |
|
|
|
0 |
|
X |
|
|
|
P |
|
Рисунок 3.3 – Схема к задаче о движении лодки |
|||
В начальный момент t = 0: x = 0, v = v0.
Сила вдоль х – это величина – R = – µv. Уравнение движения
dv |
v |
dv |
|
µ t |
v |
µ |
|
||
m dt |
= −µv ∫ v |
= − |
|
∫dt ln |
|
= − |
|
t, |
|
m |
v |
m |
|||||||
|
v |
|
0 |
0 |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t = mµ ln vv0 .
Если v = v0/2, то t = mµ ln 2 = mµ 0,61 ≈3 c .
Чтобы найти пройденный лодкой путь, построим уравнение движения как зависимость v(x); тогда
mv dv |
= −µv ∫v dv |
= − |
µ |
∫x dx v −v0 |
= − |
µ |
x |
||
m |
|
||||||||
dx |
|
v |
|
0 |
|
|
m |
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x = m |
(v |
−v) = m v0 |
≈1,1 м. |
|
|
|
|
||
µ |
0 |
µ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
До полной остановки, когда v = 0, x = mv0 |
≈ 2,2 м. Если теперь найти |
||||||||
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
время до полной остановки, тоt → ∞.
3.2.4 Решение основной задачи динамики точки при криволинейном движении
Если решение строится в декартовых координатах, то начальные условия для (3.4) имеют вид:
104
при t = 0: x = x0, y = y0, z = z0 |
, |
vx = vx0, vy = vy0, vz = vz0. |
(3.14) |
|
После интегрирования (3.4) нужно определить 6 постоянных интегрирования с помощью начальных условий (3.14).
Пример 1.
Описать движение тела, брошенного под углом α к горизонтальной плоскости со скоростью v0, рассматривая его как материальную точку с массой m (рисунок 3.4).
Y |
|
|
|
vO |
M |
|
|
O |
P |
C |
X |
|
|
Рисунок 3.4 – К задаче о движении тела, брошенного под углом α к горизонту
Пренебрегаем сопротивлением воздуха, считаем силу тяжести Р постоянной, поверхность Земли считаем плоской (т.е. считаем, что дальность полета много меньше радиуса Земли).
На точку М в произвольном ее положении на траектории действует единственная сила – сила тяжести Р, направленная вертикально вниз. Проекции этой силы на оси системы координат (ось Z не показана, движение точки происходит в плоскости XY) будут
Px = 0, Pz = 0, Py = - P = - mg.
Подставим эти выражения в уравнения (3.4) с учетом того, что
d 2 x |
= |
dv |
x |
и т.д., после сокращения на m получим |
||||||||
dt2 |
|
|||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dv |
x |
= 0, |
dvy |
= −g, |
dv |
z |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
dt |
|
dz |
|
||||
После умножения уравнений на dt и интегрирования найдем vx = C1, vy = −gt +C2 , vz = C3.
Начальные условия в задаче имеют вид:
При t = 0 точка М находится в начале координат: x = 0, y = 0, z = 0,
105