3.2.3 Последовательность и примеры решения задач

При решении задач динамики точки рекомендуется следующая последовательность действий.

1. Составляется уравнение движения. Для этого, в случае прямолинейного движения:

-выбираются начало отсчета, а координатная ось, как правило, направляется в сторону движения;

-точка изображается в произвольном положении при x > 0 и vx > 0

(последнее существенно, если силы зависят от скорости); показываются все силы;

- сумма проекций всех сил на координатную ось подставляется в правую часть уравнения движения. Переменные силы выражаются через те величины, от которых они зависят (x, dx/dt, t).

2. Интегрируются уравнения движения. Если действующие силы являются функциями одной из переменных – координаты х, времени t или скорости v, то есть

F = F (x), или F = F (t), или F = F(v),

то можно использовать метод разделения переменных.

3.Определяются постоянные интегрирования – это можно делать сразу после каждого интегрирования.

4.Находятся искомые величины и анализируются полученные результаты.

Пример 1.

Сила зависит от времени F = kt, где k = const.

N

101

Тело движется по гладкой горизонтальной поверхности под

действием силы F (рисунок 3.1). Уравнение движения в проекции на ось

х:

Если в начальный момент времени x = 0, то окончательно х = kg/6P·t3.

Пример 2.

Сила зависит от расстояния.

Какое время нужно телу массой m для прохождения вдоль хорды Земли по каналу АВ (рисунок 3.2)? При этом считать, что сила F притяжения к центру Земли пропорциональна расстоянию r от тела до центра:

F = mgr/R,

тогда на поверхности это будет обычная сила тяжести. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Пусть начало отсчета – в точке О, ось х направлена вправо. Длина АВ пусть 2а. Тогда начальные условия:

t = 0: x = a, v = 0.

Рисунок 3.2 – Схема к задаче о движении материальной точки по каналу

102