Этот результат можно обобщить в виде
ω = ∑ωk
для случая вращений вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке.
2.6.4 Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение
Пусть вокруг оси, проходящей через точку А под углом α к горизонту, происходит вращательное относительное движение тела Р с
угловой скоростью ω, а переносным будет поступательное движение со скоростью v (рисунок 2.37).
P
A |
v |
Рисунок 2.37 – Сложение поступательного и вращательного движения
В зависимости от величины угла α возможны три варианта.
1. v ω – векторы линейной скорости и угловой скорости взаимно перпендикулярны. Это случай плоскопараллельного движения, подробно рассмотренный выше. Если принять точку А за полюс, то итоговое движение складывается из поступательного движения этого полюса со скоростью vA = v и вращательного движения вокруг оси Аа.
Как показано выше, поступательное движение тела можно рассматривать как пару вращений, в данном случае вокруг осей, параллельных оси Аа. Подбирая расстояние h между осями этих вращений таким, чтобы величина угловой скорости была равной скорости ω, а ось одного из вращений этой пары, противоположного заданному вращению вокруг оси Аа, совпадала с осью Аа, получим, что такое движение можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси Рр, параллельной Аа. Эта ось смещена от нее оси Аа на расстояние h. Ось Рр является осью мгновенного вращения, а точка Р – мгновенным центром скоростей для сечения тела S, перпендикулярного оси Аа.
94
2. v ω – векторы линейной скорости и угловой скорости параллельны (рисунок 2.38).
h
a
v
vM M
A
Рисунок 2.38 – Винтовое движение
Вэтом случае ось вращения Аа называется осью винта. Если векторы
vи ω направлены в одну сторону, то это т.н. правый винт, иначе– левый. Шаг винта – расстояние, проходимое точкой тела на оси за время одного оборота:
h = 2•v•π⁄ω ,
где ω – величина угловой скорости, v – поступательной.
При постоянном шаге любая точка М (не находящаяся на оси) описывает винтовую линию. Скорость ее
vM = 
ω2r2 + v2 .
Направлена скорость по касательной к траектории, в данном случае по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, развернуть, разрезав вдоль образующей, то винтовые линии обратятся в прямые линии, наклонные к основанию цилиндра под углом
α= arctg(h / 2πr) = arctg(v / ωr).
3.Угол между угловой скоростью ω и поступательной скоростью v произволен и равен α.
В этом случае разложим вектор поступательной скорости на
составляющие – вдоль ω (v/ = v·cosα) и перпендикулярно ей (v// = v·sinα). Тем самым движение тела сведется к сумме винтового и поступательного
движений. Т.к. в общем случае v, ω и α все время меняются, движение тела можно рассматривать как серию мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно меняющихся осей.
95