Полное ускорение по величине равно:

aD = aDx2 + aDy2 = 3,252 +1,52 ≈3,58(м / с).

2.4 Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твердого тела

2.4.1 Движение твердого тела, имеющего одну неподвижнуюточку

Примером движения тела с одной неподвижной точкой является вращение юлы (волчка), когда точка опоры неподвижна.

Для определения параметров, характеризующих положение твердого тела, вводим трехгранник Oxyz, жестко связанный с телом (рисунок 2.25). Точка О – неподвижная, и она одновременно является началом системы неподвижных координат Ox1y1z1.

Линия ОК пересечения плоскостей Оху и Ох1у1 называется линией узлов.

Положение тела полностью определяется углами:

ϕ = КОХ, ψ = Х1ОК, ϑ = Z1OZ.

Это углы Эйлера: ϕ − угол собственного вращения, ψ − угол

прецессии, ϑ − угол нутации.

Положение тела будет полностью определено, если известны зависимости

80

Эти зависимости и являются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Таким образом, тело, вращающееся вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы.

Изменение угла ϕ приводит во вращение тело вокруг оси Оz (собственное вращение) с угловой скоростью

ω1 = dϕ/dt.

При изменении угла ψ происходит вращение вокруг оси Oz1; угловая скорость этого вращения

ω2 = dψ/dt.

При изменении ϑ происходит вращение вокруг линии узлов ОК (нутация); угловая скорость этого вращения

ω3 = dϑ/dt.

Векторы угловых скоростей ω1, ω2, ω3 направлены соответственно вдоль осей Oz, Oz1, OK (рисунок 2.26). В общем случае все три угла со временем меняются, поэтому тело вращается с некоторой угловой скоростью ω, равной геометрической сумме

ω = ω1+ ω2 + ω3.

Поскольку составляющие справа изменяются, то и слева величина угловой скорости изменяется, и поэтому она носит название мгновенной угловой скорости тела, а соответствующая ось ОР, вдоль которой направлен ее вектор, – мгновенной оси вращения. Она в общем случае меняет как направление в пространстве, так и положение внутри тела, проходя все время через неподвижную точкуО.

Z Z1 P

2

1

O

K3

Рисунок 2.26 – Сложение угловых скоростей

81

В итоге движение твердого тела вокруг неподвижной точки слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту точку.

Вектор

ε = dω/dt,

характеризующий изменение угловой скорости по направлению и по величине, называется мгновенным угловым ускорением.

Вектор угловой скорости со временем меняется, и его конец описывает в пространстве некоторую траекторию – годограф (рисунок

2.27).

P P1 P2

2 1

O

Рисунок 2.27 – Сложение угловых ускорений

Скорость движения конца вектора ω вдоль этой траектории и есть угловое ускорение ε. Оно направлено вдоль касательной к этой траектории. Таким образом, в отличие от вращения тела вокруг неподвижной оси, в этом случае направления угловой скорости ω и углового ускорения ε не совпадают.

2.4.2 Общий случай движения свободного твердого тела

Движение АТТ полностью определится, если задать движение какойлибо его точки А, принятой за полюс, и положение «вмороженной в тело» системы координат:

Первые три соотношения определяют движение полюса, вторые три – вращение тела вокруг этого полюса. Таким образом, в самом общем случае свободно движущееся тело твердое может иметь максимум шесть степеней свободы.

82