Вал вращается со скоростью 90 об/мин и после выключения вращается равнозамедленно, останавливаясь через t1 = 30 c. Определить, сколько оборотов сделал вал до полной остановки.

Принимаем ϕ0 = 0. Тогда

где ω0 – начальная угловая скорость, в нашем случае это 2πn/60. Конечная скорость равна нулю. Тогда из формулы (2.25, б) находим

0 = 2πn/60 + εt1; ε = –πn/(30t1).

Если К – число оборотов до остановки, тогда φ = 2πК , и подстановка этого значения φ в (2.25, а) дает

2πК = (πn/30t1) t1–1/2 (πn/30t1) t12 = πn/60 t1;

Откуда

К = n/120 t1 = n/4 = 22,5 (оборота).

Пример 2.

Маховик радиусом 0,7 м равномерно вращается со скоростью 100 об/мин. Найти скорость и ускорение точки на ободе.

v = Rω = 2πn/60 R ≈ 7 м/с.

Т.к. ω = const, то

aτ = 0, an = a = v2 / R ≈ 70 м/с2.

Ускорение направлено по радиусу к оси вращения.

2.3Плоскопараллельное движение твердого тела

2.3.1Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное

Плоскопараллельным, или плоским, движением называется такое,

при котором все точки абсолютно твердого тела (АТТ) перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости.

Нетрудно увидеть, что частным случаем плоскопараллельного движения является вращение АТТ вокруг оси.

Если тело совершает плоское движение около плоскости Р, то все точки тела, расположенные на прямой, перпендикулярной Р, движутся одинаково (рисунок 2.13). Это неочевидное утверждение легко доказывается способом от противного: если предположить, что это не так,

67

то расстояние между точками на этой прямой должно меняться, но это противоречит определению абсолютно твердого тела.

Рисунок 2.13 – Описание плоского движения

Таким образом, для описания движения тела достаточно изучить движение некоторого его сечения S. Далее рассматривается движение S в плоскости Оху. Такое движение будет описано, если известно положение некоторого отрезка АВ в сечении S (рисунок 2.14). Для эт ого достаточно

знать, например, хА, уА и угол ϕ между отрезком АВ и осью Ох. В этом случае точка А называется полюсом.

Таким образом, плоское движение задано, если известны зависимости:

Уравнения (2.26) − уравнения движения плоской фигуры в ее плоскости. Одновременно это и уравнения плоскопараллельного движения твердого тела.

Как видим, для описания этого вида движения задаются три уравнения, определяющие изменение во времени трех параметров– две координаты полюса и один угол вращения. Это означает, что при таком движении тело имеет три степени свободы.

Рисунок 2.14 – Степени свободы тела при плоском движении

68