Основы электродинамики и распространение радиоволн.-1
.pdf90
При этом групповая скорость узкополосного сигнала S(t, z) дается соотношением:
d 1 |
|
d |
|
|||
гр |
|
|
|
|
|
. |
|
d |
|||||
d |
|
|
4.2Примеры решения типовых задач
4.2.1 Плоская электромагнитная волна с частотой 109 Гц распространя-
ется в среде с параметрами = 2.4, tg = 10 1, = 1. Определить фазовую |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорость, длину волны и коэффициент ослабления. |
|
|
|
|
||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку tg << 1, то: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 jtg |
|
|
|
1 |
j |
|
. |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
0 |
a |
|
|
|
0 |
a |
2 |
8 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0.125tg |
|
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.622 м 1. |
||||||||||
|
0.5 |
|
|
|
|
|
tg |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Фазовая скорость волны будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ф |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
1.94 108 м/с. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 0.125tg2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь находим длину волны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ф |
|
|
0.194 м. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: фазовая скорость ф = 1.94 108 м/с, длина волны = 0.194 м и коэффициент ослабления = 1.622 м 1.
4.2.2 Вычислить фазовую скорость, коэффициент ослабления и глубину проникновения поля для плоской волны с частотой 10 МГц, распространяющейся в металле с параметрами = 5 107 См/м, = 1.
Решение.
В реальных металлах плотность токов проводимости значительно больше токов смещения, поэтому:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
j |
|
|
|
0 |
|
1 j , |
||||
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
44.4310 |
3 |
1 |
, |
||||||
|
|
2 |
|
|
м |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
ф 1.414 103 м/с,
d1 22.5 10 6 м 22.5 мкм.
Ответ: фазовая скорость ф = 1.414 103 м/с, глубина проникновения поля d = 22.5 мкм и коэффициент ослабления = 44.43 103 м 1.
4.2.3 Плоская электромагнитная волна с частотой 109 Гц распространяется в среде с параметрами = 2.25, tg = 0.01, = 1. Амплитуда электрического поля в плоскости z = 0 равна 100 В/м. Определить среднюю плотность потока мощности в плоскости z = 1 м.
Решение.
Плотность потока мощности определяется выражением:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Z |
|
|
E |
|
|
e 2 z . |
|||
П |
ср |
|
|
|
|
|
Re |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Zc |
|
Таким образом, необходимо вычислить ZC и :
Z |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
251.32 Ом. |
|
|||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0.5 jtg |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
tg |
|
|
м 1. |
|||||
0.5 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
0.157 |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
а |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя ZC и в Пср(z) получим:
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
e 2 z П |
|
z 1м 14.38 Вт/м2. |
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|||||
|
2 |
120 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: средняя плотность потока мощности в плоскости z = 1 м
ПСР(z = 1 м) = 14.38 Вт/м2.
4.2.4 Считая заданными значения фазовых скоростей для левой л и правой пр круговой поляризации, определить угол поворота плоскости поляризации волны на участке пути длиной L для электромагнитной волны с заданной частотой .
Решение.
Линейно поляризованную волну, имеющую в плоскости z = 0 вид:
E E0 x ix
можно представить как сумму двух волн с правой и левой поляризацией:
|
E0 x |
|
|
|
E0x |
|
|
|
|
||||||
Eпр |
2 |
ix jiy , |
Eл |
2 |
ix jiy . |
Волновое число . Тогда:
ф
92
|
j |
|
z |
|
j |
|
z |
|
пр |
|
|
||||
л |
|||||||
Eпр z Eo.nр e |
|
|
; |
Eл z о.л е |
|
|
. |
В любой плоскости z 0 сумма этих волн будет представлять собой волну с линейной поляризацией. Координатные составляющие этих волн равны:
|
E0 x |
e |
j пр z |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
E0 x |
e |
j пр z |
|
|
. |
|
|
|
j л z |
|
|
|
|
|
|
л z |
||||||||||
Ex z |
2 |
|
|
е |
|
|
|
|
Ey z |
j |
2 |
|
e |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Суммарный вектор |
|
образует некоторый угол с осью x, который за- |
||||||||||||||||||
E |
|
|||||||||||||||||||
висит от z: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey |
|
z |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
tg |
|
|
tg |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
л |
пр |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или на отрезке длиной L:
|
|
|
|
L |
|
пр л |
|
|||
tg tg |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
пр л |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если различие скоростей пр и л мало, то: |
|
|||||||||
|
L |
|
пр л |
|
|
L |
|
, |
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
где среднее значение скорости; относительная разность распростра-
нения; |
|
длина волны в среде. |
f |
Ответ: угол поворота плоскости поляризации волны на участке пути
длиной L: L .
4.2.5 Среднее значение плотности потока мощности плоской электромагнитной волны в вакууме составляет 5 Вт/м2. Определить амплитудные значения х-й проекции вектора напряженности электрического поля и у-й проекции вектора магнитного поля.
Решение.
Для среды без потерь:
|
|
|
|
Пср z |
|
Ex |
|
2 |
|
1 |
|
|
H y |
|
2 |
Zc , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Zc |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Z |
c |
|
o |
120 . Откуда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex Пср 240 61.4 В/м.
H |
|
|
|
2Пср |
|
0.16 А/м. |
у |
|
|||||
|
|
|
Zc |
|||
|
|
|
|
93
Ответ: амплитудные значение х-й проекции вектора напряженности электрического поля Ex = 61.4 В/м и у-й проекции вектора магнитного поля Hy
=0.16 А/м.
4.2.6Доказать принципиальную невозможность существования чисто продольных электромагнитных волн, которые имели бы лишь нулевые про-
екции Ez и Hz, не зависящие от поперечных координат x и y.
Решение.
Задачу решим двумя способами. Первый способ решения.
Непосредственно воспользуемся двумя первыми уравнениями Максвелла. Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат при Ez = 0 и Hz = 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
z |
|
|
|
|
H |
z |
|
|
|
|
|
||||||||
rotH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
j |
0 . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
x |
|
y |
|
z |
0 |
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
H x |
H y |
H z |
|
0 |
0 |
H z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
0 ), |
||
В полученном выражении плотность тока равна нулю ( J |
E |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
так как проекции Ez и Hz по условию задачи не зависят от поперечных коор-
динат x и y, и производные по этим координатам равны нулю. Значит вектор |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
напряженности электрического поля |
|
E 0 В/м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в |
|||||||||||||||||||||||||||
декартовой системе координат при Ez = 0 и Hz = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
|
|
E |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
z |
|
|
B |
|
В/м2. |
|||||
rotE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
0 |
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||
|
Ex |
Ey |
|
Ez |
|
|
0 |
0 |
|
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В полученном выражении производная от вектора магнитной индукции
по времени равна нулю ( B 0 В/м2), то есть магнитное поле и связанное с
t
ним электрическое поле не меняются во времени. Отсюда следует, что электромагнитная волна, которая всегда связана с изменением полей во времени, отсутствует.
Второй способ решения. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение для вектора Пойнтинга П при Ez = 0 и Hz = 0: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П E H |
E |
|
H |
|
sin Ez H z sin 0 |
0 |
Вт/м2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство вектора Пойнтинга П нулю обозначает, что переноса энер-
гии чисто продольной электромагнитной волной нет, а значит, не может быть и самой чисто продольной электромагнитной волны.
94
4.2.7 Плоская гармоническая волна с частотой f = 80 МГц, распространяясь в некоторой материальной среде без потерь, имеет длину волны = 0.5 м. Вычислите фазовую скорость этой волны.
Решение.
Запишем выражение для длины волны в материальной среде, содержа-
щее фазовую скорость и частоту f:
fф .
Из этого выражения получим:
ф = д f = 0.5 80 106 = 4 107 м/с. Ответ: ф = 4 107 м/с.
4.2.8 Плоская волна, распространяющаяся в сторону увеличения координаты z, имеет комплексную амплитуду V z 200 e z В, где = 0.8 + j0.5
м 1. Частота волнового процесса f = 8 104 Гц. Вычислите мгновенное значение функции V(z, t) в плоскости z = 5 м при t = 10 4 c.
Решение.
Запишем выражение для плоской волны, распространяющейся в сторону
увеличения координаты z, |
и |
имеющей комплексную |
амплитуду |
|
V |
z 200 e z В: |
|
|
|
|
V z Vm cos t z exp z . |
|
||
|
|
|||
|
Так как: |
|
|
|
|
= + j = 0.8 + j0.5 м 1, |
|
||
то: |
|
|
|
|
|
= 0.8 м 1; |
= 0.5 м 1. |
|
|
|
С учётом этого в плоскости с координатой z = 5 м в момент времени t = |
|||
10 4 c имеем: |
|
|
|
|
|
V z Vm cos t z exp z |
|
||
|
200 cos 6.28 8 104 |
10 4 |
0.5 5 exp 0.8 5 2.461 |
В. |
Ответ: в плоскости с координатой z = 5 м в момент времени t = 10 4 c
V(z) = 2.461 В.
4.2.9 Погонное затухание однородной плоской волны составляет 45 дБ/м. Определите, на каком расстоянии z амплитуда волны уменьшится в k = 106 раз.
Решение.
Запишем выражения для затухания однородной плоской волны
kдБ = z;
kдБ = 20 lg k = 20 lg 106 = 20 6 = 120 дБ.
95
Из этих выражений получим:
z k Б 120 2.66 м.45
Ответ: амплитуда волны уменьшится в k = 106 раз при z = 2.66 м.
4.2.10 Найдите характеристическое сопротивление ZC материальной среды с параметрами = 4, tg = 10 10 3, = 7.
Решение.
Запишем выражение для характеристического сопротивления ZC материальной среды с электрическими потерями с учётом того, что при tg << 1 и << 1 выполняются приближённые равенства tg
и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
j |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zc 120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
1 |
j |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 jtg |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
377 |
|
|
1 |
j |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
498 j2.49 |
Ом . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: характеристическое сопротивление среды при = 4, tg |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
10 10 3 и = 7 равно ZC = 498 + j2.49 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.11 В среде с параметрами = 4, = 0, = 1 распространяется плос-
кая электромагнитная волна, комплексная амплитуда вектора напряженности |
||||
|
|
|
|
В/м. Опре- |
электрического поля которой в плоскости z = 0 |
|
|||
E 0.5x0 |
0.2 y0 |
делить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, если волна распространяется в направлении возрастания координаты z.
Решение.
Вычислим характеристическое сопротивление среды для плоской электромагнитной волны при = 4, = 0, = 1:
Z |
|
120 |
|
|
377 |
|
188.5 Ом. |
||
c |
|
|
|
|
|||||
4 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат для плоской электромагнитной волны (Еz = 0,
Нz = 0, Вz = 0, Ex 0 , Ey 0 ):y x
96
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
y0 |
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rotE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
Ey |
|
|
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
|
|
|
Ey |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
dB |
|
d Bx x0 |
By y0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
0 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ex |
Ey |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из равенства проекций векторного уравнения видно, что величины Bx =
a Hx и Hx зависят от Ey, а By = a Hy и Hy зависят от Ex. С учётом этого получим искомые значения проекций вектора напряженности магнитного поля:
H |
|
|
Ey |
|
|
|
0.2 |
|
1.06 10 3 А/м; |
||||
x |
Zc |
|
188.5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H |
|
|
Ex |
|
0.5 |
2.65 10 3 А/м |
||||||
|
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Zc |
|
|
188.5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и формулу для комплексной амплитуды напряжённости магнитного поля: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.06 10 |
3 |
3 |
||||
|
H |
H x x0 H y y0 |
|
x0 2.65 10 |
|
y0 А/м. |
||||
Ответ: комплексная амплитуда напряжённости магнитного поля |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
||
H 1.06 |
|
x0 2.65 10 |
|
y0 А/м. |
|
|
|
|
4.2.12 Определить комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны в металле с параметрами = 1, = 6 107 См/м на частотах 10 кГц и 1 МГц, если в заданной точке
пространства комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного по- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А/м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ля H 25y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем выражение для характеристического сопротивления в металле |
|||||||||||||||||||||
ZC.М: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Z |
|
|
120 |
j a |
|
|
a 1 j |
f a 1 j Ом. |
|||||||||||
|
|
С.М |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определим величины этого сопротивления для частот 10 кГц (ZC.М(104 |
|||||||||||||||||||||
Гц)) и 1 МГц (ZC.М(106 Гц)): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
104 |
Гц |
|
3.14 104 |
4 3.14 10 7 |
|
|
|
|
|||||||||||
Z |
C.M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 j 2.565 10 5 |
1 j Ом, |
||||||||
|
|
6 107 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
106 |
Гц |
|
3.14 106 |
4 3.14 10 7 |
|
|
|
||||||||||||
Z |
С.М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 j 2.565 10 4 |
1 j Ом. |
|||||||
|
|
|
6 107 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
97
|
|
|
|
|
|
По условиям нашей задачи |
|
А/м, а в предыдущей за- |
|||
H H y y0 |
25y0 |
даче из равенства проекций векторов во втором уравнении Максвелла было показано, что для плоской электромагнитной волны величина Ex связана с величиной H y . С учётом этого запишем выражение для комплексной ам-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плитуды вектора напряженности электрического поля этой волны |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E |
Ex x0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и определим величины этой амплитуды для заданных частот: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Гц Zс.м 10 |
|
|
|
|
|
|
E Ex x0 Zc H y |
|
x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
4 |
|
2.565 |
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
641.3 10 |
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
Е 10 |
|
|
|
H y |
x0 |
|
|
1 j 25 x0 |
|
|
1 j x0 ; |
|||||||||||||||||||||||
|
10 |
|
Гц ZСМ 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
6 |
6 |
|
2.565 10 |
4 |
|
|
|
641.3 10 |
5 |
|
|||||||||||||||||||||||
E |
|
|
H y |
x0 |
|
|
25 x0 |
|
|
j x0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
По формуле Эйлера: |
cos450 |
j sin 450 |
|
|
|
exp j450 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
С учётом этого: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Гц 906.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
10 |
6 |
|
|
|
|
0 |
|
В/м; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
E 10 |
|
|
|
|
exp j45 |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Гц 906.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6 |
10 |
5 |
|
|
|
|
0 |
|
В/м. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
E 10 |
|
|
|
|
exp j45 |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Ответ: значения комплексной амплитуды вектора напряженности |
||||||||||||||||||||||||||||||||
электрического поля равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гц 906.9 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
|
|
|
0 |
В/м; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
для частоты 10 кГц E 10 |
|
|
exp j45 |
x0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гц 906.9 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
|
|
0 |
В/м. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
для частоты 1 МГц E 10 |
|
|
|
|
exp j45 |
x0 |
|
|
|
|
|
|
4.2.13 Диэлектрический материал на частоте 10 ГГц обладает параметрами = 3.38, tg = 10 4, = 1. Определить длину волны , коэффициент ослабления и характеристическое сопротивление такой среды ZC.
Решение.
Определим длину волны в диэлектрике:
|
ф |
|
|
c |
|
|
3 108 |
1.63 10 2 |
м. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f |
f |
3.38 1 1010 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражения для характеристического сопротивления ZC и коэффициента ослабления материальной среды с электрическими потерями с
учётом того, что при tg << 1 и |
<< 1 выполняются приближённые равен- |
||||||||
ства tg и |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
j |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
j |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Zc 120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
1 |
|
j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 jtg |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 2 Ом. |
||||||||
377 |
|
|
|
1 |
j |
|
|
|
|
204.9 j1.024 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3.38 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.281010 |
|
10 4 |
|
|
|
|
|
2f |
|
|
|
|
3.38 |
1.924 10 |
2 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
. |
|||
|
2c |
|
2 3108 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: длина волны = 1.63 10 2 м; характеристическое сопротивление ZC = 204.9 + j1.024 10 2 Ом, а коэффициент ослабления = 1.924 10 2 м 1.
4.2.14 Во сколько раз уменьшится амплитуда плоской волны с частотой 2 МГц при распространении в среде с параметрами = 2, = 1, = 10 3 См/м на пути в 1 м.
Решение.
Определим величину тангенса угла диэлектрических потерь tg :
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 3 |
|
|
|
4.98. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 f a |
|
6.28 2 |
106 0.885 10 11 2 |
|
|||||||||||
Так как tg > 1, |
то коэффициент ослабления рассчитываем по фор- |
||||||||||||||||||||
муле для металлоподобной среды: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.28 2 106 |
12.56 10 7 |
10 3 |
|
|||||
|
|
2f |
a |
|
|
|
|
|
м 1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.88 10 2 |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляем, во сколько раз уменьшится амплитуда плоской волны на |
|||||||||||||||||||||
пути z = 1 м: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 |
|
|
exp z exp 8.88 10 2 |
1 1.093. |
|
||||||||||||
|
|
|
E z |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: амплитуда плоской волны на пути z = 1 м уменьшится в 1.093
раза.
4.2.15 Определить толщину медного экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в 104 раз на частотах 50 Гц и
50 МГц. Электрофизические характеристики меди σ = 5.7∙107 См/м, μа =
4π∙10 7 Гн/м.
Решение.
Уменьшение амплитуды плоской волны на пути z в n = 104 раз описывается выражением:
E0 |
4 |
|
|
|
exp z n 10 |
|
. |
E z |
|
Подставляя в это выражение формулу для определения коэффициента ослабления:
f a,
99
получим расчётное соотношение для определения толщины медного экрана, который обеспечивает ослабление амплитуды электромагнитного поля в n =
104 раз: |
|
|
ln n |
|
|
|
ln n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
На частоте 50 Гц: |
|
ln 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z 50Гц |
|
|
|
|
|
|
0.0868м 8.68см . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
50 4 10 7 |
5.7 107 |
||||||||||||||||
На частоте 50 МГц: |
ln 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z 50 106 Гц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.0868 10 3 |
м 86.8мкм . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
106 4 10 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
50 |
7 5.7 107 |
|
|
|
Ответ: Толщины медного экрана для заданных частот равны: z(50 Гц) = 8.68 см; z(50 106 Гц) = 86.8 мкм.
4.2.16 Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического
поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси z, в плоскости z = 0, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y0 . Определить вид поляризации, если = 60 . |
||||||||||||||
равна |
|
|
|
j |
||||||||||||||||
E E0 x0 e |
|
|||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишем выражение для компонент комплексной амплитуды вектора |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
j |
||
напряженности заданного электрического поля E |
E0 x0 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ex = E0; |
|
Ey = E0exp(j). |
|
|
|
|||||||||
С другой стороны, при эллиптической поляризации: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ex = E0xexp(j x); |
|
|
|
|
Ey = E0exp(j). |
|
|
||||||||
Сравнивая приведённые выражения, получаем: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E0x = E0y = E0; |
|
x = 0 ; |
|
y = 60 . |
|
|
|||||||||
Определим ориентацию эллипса относительно оси х, используя форму- |
||||||||||||||||||||
лу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg2 |
2E0 x E0 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 2 |
E 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
0 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
В этой формуле угол отсчитывается против часовой стрелки, если |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
смотреть |
с конца |
вектора z0 |
. В |
нашем случае вращение |
левое, так как |
|||||||||||||||
|
|
|
|
y0 , а в случае, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
j |
когда в скобках подобного выражения вместо |
|||||||||||||||||
E E0 |
x0 |
|
||||||||||||||||||
знака «+» стоит « » вращение правое. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вычислим tg 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2E0 x E0 y |
|
2E E |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
tg2 E2 E2 |
|
E2 E2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
0 y |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
При tg 2 = ; 2 = 90, а = 45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|