Основы электродинамики и распространение радиоволн.-1
.pdf70
3.2.5 В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды |
|||||||||
|
|
j600 |
|
|
|
|
|
|
|
векторов поля: |
|
; |
|
10 |
3 |
. Найти мгновенные значения |
|||
E 35e |
|
x0 |
H j4 |
|
y0 |
векторов поля, а также среднее значение вектора Пойнтинга.
Решение.
Мгновенные значения связаны с комплексными амплитудами форму-
лами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E r,t |
Re E r e |
j t |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
H r,t |
Re H r |
j t |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В/м, |
|
||||
|
|
|
|
|
E r,t 35cos t 600 x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А/м. |
|
||||
|
|
|
|
|
H r,t 4 |
10 3 sin t y |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Для полей, гармонически изменяющихся во времени: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
Пср |
2 |
Re E |
H |
|
|
6.062 10 |
|
|
z0 |
Вт/м |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: мгновенные значения векторов равны для напряжённости элек- |
|||||||||||||||||||||||||||
трического поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В/м, для напряжённости магнит- |
||||||||||||
E r,t 35cos t |
600 x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
А/м, |
|
а среднее значение вектора Пойн- |
||||||||||||||||
H r,t 4 10 3 sin t y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
равно |
|
6.062 |
|
|
|
|
Вт/м2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
тинга П |
ср |
П |
ср |
10 2 z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.6 Покажите, что векторное поле |
|
H , изменяющееся во времени и в |
|||||||||||||||||||||||||
пространстве по |
закону |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не может быть по- |
|||||
H |
6x cos t x |
2e 2 y sin t x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
лем магнитного вектора, который удовлетворяет уравнениям Максвелла. |
|||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Учитывая, что |
B a H получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
divH |
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dH |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для нашего же случая |
|
|
|
|
dH |
6 cos t 0 , то есть заданное век- |
|||||||||||||||||||||
divH |
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
торное поле H не может быть полем магнитного вектора, так как не удовле- |
||
творяет четвёртому уравнению Максвелла в дифференциальной форме. |
||
|
|
|
Ответ: заданное векторное поле H не может быть полем магнитного |
вектора, так как не удовлетворяет четвёртому уравнению Максвелла в дифференциальной форме.
3.2.7 Покажите, что из четвертого уравнения Максвелла divB 0 в неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция про-
71
странственных координат, вытекает следующее уравнение относительно век-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad |
|
. |
|
|
||
тора напряженности магнитного поля: |
divH |
a |
1 H |
a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
B |
H ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div a H 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Используем векторное тождество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
div a H Hgrad a adivH . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в это тождество div a H 0 и получим искомое выраже- |
||||||||||||||||||
ние: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
divH |
1 |
H |
a |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: из четвертого уравнения |
Максвелла |
|
divB 0 |
и |
|
тождества |
||||||||||||
div |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
a |
H Hgrad |
a |
divH следует, что |
divH |
a |
1 H grad |
a |
||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.8 Известно, что некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты z. Используя уравнения Максвелла, покажите, что при этом продольные проекции Еz и Нz векторов электромагнитного поля будут отсутствовать.
Решение.
Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
H |
z |
|||||
rotH |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
y |
|
z |
0 |
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
H x |
H y |
H z |
|
|
|
|
|
H y |
|
|
H x |
||
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
z |
||
|
|
|
|
|
|
H z |
|
H y |
|||
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
x |
|
dD |
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Так как все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты z, то:
|
H |
z |
|
|
H |
z |
|
|
|
|
H y |
|
|
|
H |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H y |
|
H x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dD |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
rotH x |
|
z |
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
dt |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из последнего выражения видно, |
что продольные проекции rotHz 0 |
и |
||||||||||||||||||||||||||
Dz = 0. В этом случае Ez |
Dz |
|
0 , то есть отсутствует продольная проекция |
|||||||||||||||||||||||||
az |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еz.
72
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат:
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
rotE |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|||
|
Ex |
Ey |
|
Ez |
Ex0 yz
|
Ey |
|
|
|
E |
x |
|
E |
z |
|
|
Ey |
|||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
x |
|
dB |
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Так как все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты z, то:
и
Вz
|
E |
z |
|
|
|
|
E |
z |
|
|
Ey |
|
|
E |
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||
|
y |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
Ey |
|
|
|
Ex |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dB |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
rotE x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|||||||
Из последнего выражения видно, что продольные проекции |
rotEz 0 |
и |
||||||||||||||||||||||||||
= 0. В этом случае H |
|
|
Bz |
|
0, то есть отсутствует продольная проекция |
|||||||||||||||||||||||
z |
az |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: продольные проекции Еz |
и Нz векторов электромагнитного поля |
|||||||||||||||||||
отсутствуют, то есть Еz = 0 и Нz = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.2.9 Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического |
||||||||||||||||||||
|
j0.16 |
|
|
105e |
j1.2 |
36e |
j 2.3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
поля E 28e |
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 (углы даны в радианах). Частота |
||||||||||||||
колебаний f = 2МГц. Найдите мгновенное значение вектора |
|
в момент вре- |
||||||||||||||||||
E |
||||||||||||||||||||
мени 0.1 мкс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение для круговой частоты: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2f = 2∙2∙106 = 4∙106 рад/с. |
|
|
|
|
||||||||||
Запишем выражение зависимости вектора |
|
от времени: |
|
|||||||||||||||||
E |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
j t |
28cos 4 10 |
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||
E t Re E e |
|
|
|
|
0.16 x0 105cos 4 10 |
|
t 1.2 y0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 cos 4 106 t 2.3 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из последнего выражения найдём мгновенное значение вектора E в |
||||||||||||||||||||
момент времени t = 0.1 мкс = 10 7 c: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
E t 10 7 |
4.3x |
104.83y |
32.9z |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Ответ: мгновенное значение вектора E в момент времени 0.1 мкс равно |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E t 10 7 4.3x |
|
104.83y |
32.9z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.2.10 |
Покажите, что |
электромагнитное |
поле с |
|
|
компонентами |
Ех = Еу = 0, By = Bz = 0, Ez = cos(y ct), Bx = cos(y ct) при определённом значе-
73
нии постоянной с удовлетворяет уравнениям Максвелла и определите это значение постоянной с.
Решение.
Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат при Ех = Еу = 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x0 |
|
y0 |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
dB |
|
|||||||||||
rotE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||
|
0 |
0 |
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как Ez = cos(y ct) не зависит от х, |
|
|
|
E |
z |
|
0 и второе уравнение |
|||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
Максвелла примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим левую часть полученного уравнения Максвелла:
|
E |
z |
|
|
|
cos y ct |
|
|
sin y ct , |
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
||||||||
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а затем правую часть этого уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos y ct |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dB |
|
|
|
|
|
|
|
sin y ct . |
|||||
|
|
|
|
x0 |
|
|
x0 |
c |
|||||||
|
dt |
|
t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заданное по условию задачи поле удовлетворяет второму уравнению Максвелла, если равны правые части двух последних выражений, то есть при значении постоянной с равном единице (с = 1).
|
Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме |
||
|
в декартовой системе координат при By = Bz = 0 и Bx = cos(y ct): |
||
divB 0 |
|||
|
|
divB Bx cos y ct 0, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
то есть заданное по условию задачи поле удовлетворяет четвёртому уравнению Максвелла.
Ответ: заданное по условию задачи поле удовлетворяет уравнениям Максвелла при значении постоянной с равном единице (с = 1).
3.2.11 В некоторой точке пространства вектор напряженности электри- |
||||||
|
|
В/м, в то время как вектор Пойнтинга |
|
|
|
|
ческого поля E 20y0 |
П 10x0 |
30z0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Вт/м2. Определить вектор напряженности магнитного поля H . |
|
|
|
|||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение для вектора Пойнтинга П для случая, когда век- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
тор напряженности электрического поля E 20y0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
74 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x0 |
y0 |
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
П E H |
0 |
20 0 |
|
20H z x0 |
20H x z0 |
Вт/м . |
||||
|
|
|
H x |
H y |
H z |
|
|
|
|
|
С другой стороны, по условию задачи: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
П |
10x0 |
30z0 Вт/м . |
|
|
|||
Приравняем между собой правые части двух последних выражений для |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора Пойнтинга П : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
П 10x0 |
30z0 20Hz x0 |
20Hx z0 |
|
и проекции на оси координат этого вектора:
|
|
|
|
10 x0 |
20 H z x0 и |
30 z0 |
20 H x z0 . |
Из двух последних выражений получим искомые значения проекций |
|||
вектора напряженности магнитного поля: |
|
|
H |
|
|
10 |
0.5 А/м |
|
|
и |
|
|
H |
|
|
30 |
1.5 А/м |
|
|
|
|
||||||
|
|
z |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и формулу для вектора напряженности магнитного поля: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H 1.5x0 |
0.5z0 |
|
А/м. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: выражение для вектора напряженности магнитного поля имеет |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид H 1.5x0 0.5z0 А/м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.2.12 В фиксированной точке пространства известны мгновенные зна- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t , где |
|
|
|
|
||||
чения векторов поля E E cos t |
|
, H H |
|
E и |
H |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
0 |
|
|||
постоянные векторы. Найти среднее |
|
|
значение ПСР и |
колеблющуюся |
часть |
||||||||||||||||||||
|
вектора Пойнтинга. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПКОЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем выражения для среднего значения ПСР |
и колеблющейся части |
||||||||||||||||||||||||
|
вектора Пойнтинга |
|
в общем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ПКОЛ |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ПСР |
2 |
Re E |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ПКОЛ |
|
2 |
Re E |
H exp j2 t . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для условий, приведённых в задаче, в этих выражениях: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 exp j 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H0 exp j 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
H0 exp j 2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражения для среднего значения ПСР |
и колеблющейся части |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПКОЛ |
вектора Пойнтинга П для условий, приведённых в задаче: |
|
|
|
|
75
П |
1 Re E |
|
exp j H |
|
exp j |
|
|
1 Re E |
|
H |
|
exp j |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
2 |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 H0 |
cos 1 2 |
z0 |
|
|
|
|
E0 |
H0 cos 1 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
1 Re E |
|
exp j |
H |
|
|
exp j exp j2 t |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КОЛ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
E0 H0 |
cos 2 t 1 2 |
z0 |
|
E0 |
H0 cos 2 t 1 |
2 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
При этом |
|
z0 E и |
z0 H . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Ответ: среднее значение вектора Пойнтинга: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
E0 |
H 0 cos 1 2 ; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПСР z0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
колеблющаяся часть вектора Пойнтинга: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
E0 H0 cos 2 t 1 |
2 . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПКОЛ z0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3.2.13 В диэлектрике с относительной проницаемостью = 2.4 создано
постоянное электрическое поле напряженностью E = 200 кВ/м. Определить
электрический дипольный момент P области диэлектрика объемом V = 6
V
см3.
Решение. |
|
|
При решении задачи исходим из того, что электрический дипольный |
||
|
|
|
момент области |
P |
выражается через вектор поляризованности P , а вектор |
|
V |
|
поляризованности связан с диэлектрической восприимчивостью kЭ и с напряженностью электрического поля.
1) Вначале определим диэлектрическую восприимчивость kЭ, называемую также поляризуемостью:
|
|
kЭ = a – 0 = 0( – 1) = 0(2.4 – 1) = 1.40. |
|||
|
Здесь ε0 = 8.842∙10 12 Ф/м. |
|
|
|
|
|
2) Затем определим вектор поляризованности |
, то есть электрический |
|||
|
P |
||||
дипольный момент единицы объёма: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
P kЭ |
E 1.4 8.842 10 12 200 103 2.475 10 6 В∙Ф/м 2. |
|||
|
3) В заключение находим электрический дипольный момент области |
||||
: |
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
10 11 Кл м. |
||||
|
P |
P V 2.475 10 6 6 10 6 1.485 |
|||
|
V |
|
|
|
|
|
Ответ: электрический дипольный момент |
|
области диэлектрика |
||
|
P |
|
|||
|
|
|
V |
|
объемом V = 6 см3 равен 1.485 10 11 Кл м.
76
|
3.2.14 Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в не- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которой точке пространства задаются выражениями |
|
|
|
4.2 10 |
3 |
e |
j1.2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H |
|
|
|
z0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
j0.6 |
j0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
|
. Определить комплексный вектор Пойнтинга |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E 0.85 |
|
x0 1.3 e |
y0 |
П |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и его среднее значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Запишем выражения для комплексного |
|
|
П |
|
и для среднего значения ПСР |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора Пойнтинга П |
в общем виде: |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П 2 |
E H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПСР |
|
2 |
Re E H |
|
|
Re П . |
|
|
|
|
|
|
|
|
j1.2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для |
|
условий, |
приведённых |
в |
|
|
|
|
задаче |
|
4.2 |
10 |
3 |
e |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( H |
|
|
|
z0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j0.6 |
j0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E 0.85 |
|
x0 1.3 e |
y0 ), выражения для комплексно сопряжённого зна- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* вектора напряженности магнитного поля и |
||||||||||||||||||||||||||||
чения комплексной амплитуды H |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для комплексного вектора Пойнтинга |
|
примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
4.2 10 exp j1.2 z0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.85exp j0.6 |
1.3exp j0.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2 10 3 exp j1.2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
1.3 4.2 10 3 exp j 1.2 0,7 y |
0 |
0.95 4.2 10 3 exp j 0.6 1.2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 3 exp j1.8 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2.73 10 3 exp j0.5 y 1.785 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для условий, приведённых в задаче, найдём выражения для среднего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значения вектора Пойнтинга: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 1.8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.73 10 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ПСР Re П x0 |
|
|
cos 0.5 y01.785 10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.785 10 3 0.227 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2.73 10 3 |
0.8776 y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.406 10 3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.396 10 3 x |
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
e |
1.785 10 |
3 |
e |
j1.8 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Ответ: П 2.73 10 |
|
|
|
x0 |
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0.406 10 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
П 2.396 10 |
|
|
|
x0 |
|
|
|
y0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3.2.15 Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относитель- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной диэлектрической |
проницаемости, который в декартовой системе коорди- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нат имеет компоненты 11 = 22 = 33 |
= 6.5, ij = 0, i j. В диэлектрике создано |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равномерное электрическое поле |
|
|
E 2.51x0 |
|
1.7 y0 |
9.2z0 . |
Определить век- |
77
тор электрической индукции |
|
и угол в пространстве между векторами |
|
и |
|
D |
E |
||||
|
|
|
|
|
|
D . |
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
Запишем выражения для проекций вектора электрической индукции |
|||||
D |
в общем виде в декартовой системе координат:
Dx = a11 Ex + a12 Ey + a13 Ez; Dy = a21 Ex + a22 Ey + a23 Ez; Dz = a31 Ex + a32 Ey + a33 Ez;.
Подставим в записанные выражения заданные значения компонентов тензора относительной диэлектрической проницаемости :
= 11 = 22 = 33 = 6.5;ij = 0; i j.
В результате получим: |
|
|
|
|
|
Dx = 0 Ex = 6.50 Ex; |
|
|
|
|
|
Dy = 0 Ey = 6.50 Ey; |
|
|
|
|
|
Dz = 0 Ez = 6.50 Ez. |
|
|
|
|
|
Для заданного электрического поля E 2.51x0 |
1.7 y0 |
9.2z0 |
имеем: |
||
Ex = 2.51 В/м; |
Ey =1.7 В/м; |
Ez = 9.2 В/м. |
|
||
Поэтому: |
|
|
|
|
|
Dx = 6.5 2.510 = 16.320; Dy = 6.5 1.70 = 11.050; Dz = 6.5 9.20 = 59.80.
Такой же результат, но более коротким путём можно получить, используя матричное исчисление:
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
11 |
0 |
|
0 |
|
|
Ex |
|
|
6.5 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
2.51 |
|
|
16.32 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
Dy |
|
0 |
0 22 |
0 |
|
|
Ey |
0 |
|
0 |
|
|
6.5 |
0 |
|
1.7 |
0 |
|
11.05. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Dz |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
33 |
|
Ez |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
6.5 |
|
9.2 |
|
|
59.8 |
|
||||||||||
|
|
|
Определим выражение для косинуса угла в пространстве (cos ) между |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторами E |
|
и D , используя формулу для скалярного произведения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E D |
|
E |
|
D |
cos Ex |
Dx Ey Dy Ez Dz . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Из этой формулы получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex Dx Ey Dy |
Ez |
Dz |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
E D |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Для получения численного значения cos вычислим вначале модули |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
E |
и |
D |
векторов |
E и |
|
D |
, а затем скалярное произведение E |
D этих век- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
торов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex2 Ey2 |
Ez2 |
2.512 |
1.72 |
9.22 9.687 В/м; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx2 Dy2 Dz2 16.322 |
11.052 59.82 0 62.963 0 Кл/м2; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 2.51 16.32 1.7 11.05 9.2 59.8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
E D Ex Dx Ey Dy |
Ez Dz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
609.896 |
|
|
|
|
В Кл |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ez Dz |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
cos |
E D |
|
Ex Dx |
Ey Dy |
|
|
609.896 0 |
0.99996 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.687 62.963 0 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arcos(0.9996) = 0.5949 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Ответ: = 0.5949 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кл/м |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
D 0 16.32x0 11.05y0 |
59.8z0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
16.32 |
|
|
|
|
||||||||
|
или в матричной форме |
D |
D |
y |
|
0 |
|
11.05 |
Кл/м2. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dz |
|
|
|
59.8 |
|
|
|
|
3.2.16 В однородной проводящей среде с параметрами и в момент времени t = 0 создано начальное распределение плотности зарядов (x, y, z). Показать, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение плотности объемного заряда:
x, y, z,t 0 |
|
t |
|
|
exp |
|
. |
||
0 |
||||
|
|
|
Оценить характерное время релаксации этого процесса для типич-
ного металла, у которого 1 = 107 См/м, а также для полупроводника, имеющего 2 = 10 3 См/м.
Указание. Для решения используйте уравнение непрерывности тока.
Решение.
Запишем уравнение непрерывности тока:
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
divjпр . |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Выразим вектор плотности тока проводимости |
через вектор элек- |
|||||
jПР |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
трической индукции |
D : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
D |
|
|
|||
|
jПР E |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
и подставим полученное выражение для вектора плотности тока проводимо-
сти jПР в уравнение непрерывности тока:
|
|
|
|
|
|
divjПР |
|
divD . |
|
t |
0 |
|||
|
|
Запишем третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
79
divD
и, подставив выражение для |
|
|
в полученное уравнение непрерывности |
||
divD |
|
||||
тока, получим однородное дифференциальное уравнение: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
t |
|
0 |
Из математики известно, что решение такого уравнения имеет вид:
|
|
|
t |
|
|
exp |
|
t |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
, |
||
0 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где постоянная времени, определяемая по формуле:
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для 1 = 107 См/м имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
8.85 10 12 |
8.8510 19 |
|
с, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
107 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а для 2 = 10 3 См/м: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8.85 10 12 |
8.85 10 9 |
|
с. |
||||||||
|
|
2 |
|
10 3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
|
exp |
|
|
|
exp |
|
|
|
; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для 1 = 107 См/м: |
|
|
8.8510 19 |
|
с, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для 2 = 10 3 См/м: 2 8.8510 9 |
|
с. |
|
|
|
|
|
3.2.17 Сердечник трансформатора выполнен из стали с плотностью 7.7 г/см3 и имеет массу 2 кг. Амплитудное значение магнитной индукции 2.1 Тл, относительная магнитная проницаемость стали = 200. Найти максимальное значение энергии, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусоидальным током.
Решение.
Запишем выражение для определения максимального удельного значения энергии Wmax.УД, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусоидальным током:
W |
|
B |
H |
max |
B2 |
||
max |
|
max . |
|||||
max УД |
|
|
2 |
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
Поскольку энергия Wmax, запасаемая в сердечнике, распределена по объёму сердечника V практически равномерно, то: