Математика (семестр 2, часть 2).-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

n 2n 1 (n 1)!

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

641.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

n n 2 n 1 n 1

445 ПРАКТИКА № 11

06.05.2016

Числовые ряды. Функциональные, степенные ряды, Тейлора.

(2n

Задача 1.

Выяснить сходимость ряда:

2n 1 (5n 2 4)

n 1

Решение. По признаку Даламбера.

(2n 3)

, an 1

(2(n 1) 3)

(2n 5)

2n 1 (5n2

72(n 1) 1 (5(n 1)2

72n 1

(5n 10n 1)

Тогда lim

an 1

= lim

(2n 5)

72n 1 (5n2

n 72n 1 (5n 10n 1)

(2n 3)

lim

2n 5

lim

5n2 4

lim

2n 1

= 1 1

n 2n 3 n

5n 10n 1 n 7

2n 1

1 ряд сходится (абсолютно).

Задача 2. Выяснить сходимость ряда

n 1

Решение. По признаку Даламбера.

n n

(n 1)n 1

, a

n 1

Тогда lim

n 1

2n n!

2n 1 (n 1)!

lim		2n			n!

n 2n 1 (n					1)!
1				1	n
	lim		1		=

2 n				n

(n 1)n 1

(n 1)(n 1)n

n 1

lim

2 n n 1

2 n

1, ряд расходится.

Задача 3. Выяснить сходимость ряда .

Решение. Здесь можно действовать по радикальному признаку Коши.

		n	n2
lim	n

n	n 1

/ n

n 1

= lim

lim

n n 1

n 1

n n 2n 1

( 1) 3n 1

		1		используя 2-й замечательный предел, получаем	1	1.
n 1			n	используя 2-й замечательный предел, получаем	e	1.
n 1			n		e
lim
lim
n		n
q	1	1, ряд сходится (абсолютно).
q	e	1, ряд сходится (абсолютно).
	e

Задача 4. Выяснить сходимость ряда

n 1

Решение. По радикальному признаку Коши:

2n 1

n 2n 1

lim n

= lim

3n 1


	1
	n 2
		n
= lim			.

n	3n 1

Здесь даже не надо использовать 2-й замеч. предел, так как нет неопределѐнности: и числитель, и знаменатель стремятся каждый к конечному числу.


	1
	n 2
		n
lim

n	3n 1

	1	2	1
=		=		< 1, абсолютно сходится.

	3		9

Так как мы изначально рассматривали модуль, то сходимость абсолютная.

		.
Задача 5. Выяснить сходимость ряда cos		.
	n 1	n
	n 1
Решение. Заметим, что lim	0 , тогда lim cos			cos0 1. Таким
n n	n		n

образом, lim an 1, то есть слагаемые не уменьшаются и не стремятся

к нулю, тогда по необходимому признаку ряд расходится. Не выполнено необходимое условие сходимости (слагаемые должны уменьшаться к 0 при росте n).

Поиск области сходимости функциональных рядов.

Задача 6. Найти область сходимости ряда 2 .

n 1 n

Решение. По признаку Даламбера, надо найти отношение модуля следующего слагаемого к модулю предыдущего, причѐм здесь мы это делаем для произвольного параметра x .

n 1

lim

n (n 1)

n n2

2n 1

Теперь надо решить неравенство q(x)

1. Если

1, то

x ( 1,1) есть область гарантированной абсолютной сходимости. За

пределами этого интервала расходимость. А вот поведение ряда в граничных точках 1 и 1 надо исследовать вручную, подставляя каждую точку и получая числовой ряд.

		1
При x 1:			, такой ряд сходится, так как степень 2, больше 1,
		2
	n 1 n

(про это был факт в лекциях).

При x 1:

( 1)

, такой ряд тем более сходится, причѐм

n 1 n2

абсолютно, так как по модулю было бы

, а этот ряд сходится

n 1 n

(только что заметили, на 1 строку выше).

Таким образом, точки 1 и 1 здесь тоже войдут в область

сходимости, и ответ: ряд абсолютно сходится в [-1,1].

Задача 7. Найти область сходимости ряда

n 1

Решение. По признаку Даламбера, lim n

x 2 3x 2

одновременно двух неравенств: 2 x2 3x 2 2 .

Для правого неравенства, получаем x2 3x 0 , корни 0, 3 , оно верно для x 3,0 .

Для левого неравенства, x2 3x 4 0 , но это выполняется на всей числовой прямой, т.к. корней нет, а ветви этой параболы направлены вверх. Верно для x , . Пересечением этих двух множеств

является интервал 3,0 .

Также легко заметить, что в граничных точках ряд принимает вид

1, расходится. Ответ: абсолютно сходится в 3,0 .

n 1

Задача 8. Найти область сходимости ряда

(x 2)

n 1

Решение. По признаку Коши, lim

, т.е.

x 2

3 ,

x 2

что равносильно x 5 или x 1. Для граничных точек получаются числовые ряды, для которых нет сходимости (по необходимому признаку). Ответ: абсолютно сходится в , 1 5, .

Задача 9.

Найти область сходимости ряда (ln x)n .

n 1

Решение. По признаку Коши,

lim n

ln x

n =

ln x

1 , тогда

1 ln x 1. Из правого неравенства следует eln x e1 , т.е.

x e .

Из левого неравенства, ln x 1, eln x e 1 , x

Проверяем граничные точки.

(ln e)n

1 расходится,

n 1

( 1)

, тоже расходится.

n 1

														1
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале																, e .
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале																, e .
														e

Задача 10. Выяснить сходимость ряда												(x 1)2n 9n .
												n 1
											2 = 9(x 1)2										1
Решение.	lim n		x 1	2n	9n		= 9	x 1								1 (x 1)2
				2n
																					9
	n																				9
(x 1)2	1	x 1				1			1	x 1			1				2	x	4	.
(x 1)2	1	x 1				1			1	x 1			1				2	x	4	.
	9				3		3					3			2n		3		3
	9				3		3					3					3		3
												n 1
В обеих граничных точках получим 9												n 1					= 1 , расходится.


											n 1	3						n 1
															2		4
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале																,		.
Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале																,		.
															3		3

Степенные ряды - поиск радиуса сходимости.

Вспомним формулы из лекций:

R lim

| an

R lim

n | an 1

n n | an |

Задача 11.

Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение. Запишем коэффициенты с номерами n и n+1.

an 1

. Тогда R lim

1 (n 1)2n 1

n2n

1)2n 1

n n2n

2 lim

n 1

= 2. Ответ. R 2 .

Задача 12. Найти радиус сходимости ряда

n(n 1)

n 1

Решение.

, an 1

. Тогда R lim

(n 1)n

n(n 1)

(n 1)n

n n(n 1)

lim

1. Ответ.

R 1.

n n2

Задача 13.

Найти радиус сходимости ряда

(2n 1)3

n 1

Решение.

, an 1

(2n

1)3n

(2n 1)3n 1

R lim

(2n 1)3n 1

3 lim

2n 1

= 3. Ответ.

R 3 .

1)3n

n (2n

(x 1)n

Задача 14. Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение.

, a

R lim

4n 1

4 . Ответ.

R 4 .

n 1

4n 1

Задача 15.

Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение.

10 n

, an 1

10n 1

, тогда R

lim

10 n

(n 1)!

10 n 1

(n 1)!

lim

n 1

= .

Ответ. R , то есть сходимость на всей числовой оси.

32n xn

Задача 16. Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение.

32n

, a

32n 1

. Тогда R lim

32n

n 1

32n 1

n 1

32n

0 .

lim

= 1

lim

= lim

32n2

n 32n 2

n 32n 32n

n 32n

Ответ. R 0, т.е. сходимость только в самой точке x 0и нигде больше.

445 ПРАКТИКА № 12

13.05.2016

Поиск суммы степенного ряда.

(n 1)x n

Задача 1. Найти сумму ряда

n 0

(n 1)x

Решение. Если S(x)

то первообразная от S(x) равна

n 0

n 1

= x

...

а это уже геометрическая прогрессия со

n 0

знаменателем

, еѐ сумма равна

. После

3 x

3(3

x) ( 1)3x

дифференцирования получим S(x)

3 x

(3 x)2

. Ответ.

S(x) =

(3 x) 2

Задача 2. Найти сумму ряда (2n 1)x2n .

n 0

Решение. Проинтегрируем почленно каждое слагаемое:

S(x)dx (2n 1)x2n dx = x 2n 1

= x x3

x7 ...

n 0

Это геометрическая прогрессия, еѐ сумма

. Тогда

1 x 2

1(1 x2 ) ( 2x)x

1 x2 2x2

1 x2

(1 x2 )2

1 x2

Ответ.

S(x) =

(1 x2 )2

Задача 3. Найти сумму ряда

(n 1)(n 2)xn .

n 0

S(x) =

Решение. Эта задача решается в 2 шага. Видно, что только 2-я

первообразная здесь не будет иметь коэффициентов, так, чтобы

можно было использовать прогрессию.

(n 2) (n 1)x n

(n 2)x n 1 x n 2 .

Найдѐм xn 2

= x2 x3

... =

n 0

x 2

Тогда S(x)

. Найдѐм поочерѐдно 2 производных.

1 x

2x(1

x) ( 1)x2

2x 2x2 x2

2x x2

(1 x)

1 x

2x x2

(2 2x)(1 x)2 2(1 x)( 1)(2x x2 )

сократим на (1-x)

(1 x)

(2 2x)(1 x) 2( 1)(2x x2 )

2(1 x)2

2(2x x2 )

(1 x)3

x)3

2(1 2x x2 ) 4x 2x2

2 4x 2x2

4x 2x2

(1 x)3

x)3

Ответ. S(x) =

(1 x)3

Задача 4. Найти сумму ряда ( 1)n (n 1)xn .

n 1

Решение. S(x)dx ( 1)n xn 1

= x2

x4 ...

( x)

n 1

x 2

. Знакочередование приводит к тому, что в знаменателе

1 x

появилась сумма, а не разность.

2x(1 x) x2

S(x) =

(1 x)

1 x

2x 2x2

2x x 2

x)2

(1 x)2

Ответ.	S(x) =	x 2	2x	.
Ответ.	S(x) =	(1 x)2		.
		(1 x)2

Задача 5. Найти сумму ряда nxn .
				n 1

Решение. Здесь степень не соответствует коэффициенту, то есть прямое интегрирование или дифференцирование не избавит от

наличия коэффициента. Производная равна n2 xn 1 а первообразная

n	xn 1	. Но вот если бы степень была (n-1) то всѐ бы получилось.

n 1

Так вот, мы можем сделать сдвиг степени, и получить более удобное выражение, если вынести x за скобку, то есть за знак ряда.


nxn	= x 2x2 3x3 ... = x 1 2x 3x 2 ... = x nxn 1 .
n 1	n 1

Теперь обозначим новое выражение через S1 и для него уже задача вполне решаема тем методом, который изучили ранее.

S(x) xS1 (x) , где S1 (x) nxn 1 . Первообразная от S1 это

n 1

nxn 1dx = xn

= x x2

... =

n 1

1(1 x) ( 1)x

S1 (x)

. Вспомним про то, что

(1 x)

x)2

мы отделили одну степень, чтобы улучшить функцию. А сейчас мы нашли S1 (x) . При этом S(x) xS1 (x) . Тогда ответ S(x) = (1 xx)2 .

Задача 6. Доказать с помощью почленного дифференцирования

формулу: ln(1 x) x

...

Решение. ln(1 x)

...

1 x

x2 ... но ведь это и есть геометрическая прогрессия и

1 x

еѐ сумма:

1 x x

2 ... .

(x)

Задача 7. Разложить в ряд Тейлора:

f (z)

по степеням z .

z 2

Решение. Сначала определим круг сходимости ряда. Центр в 0, так как требуется разложить по степеням z , т.е. в ряде должны быть только степенные функции типа (z 0) то есть центр 0. Ближайшая точка разрыва это z 2 . Поэтому круг радиуса 2 с центром в нуле, т.е. z 2 .

Дальше, чтобы получать в знаменателе структуру типа 1 q , есть 2

пути: вынести за скобку либо z

либо 2.

либо

z 2

z 1

z 2

2 z

2 1

Но ведь

2, поэтому

1 а

1, так что первый вариант

использовать нельзя, ведь там получилось бы q 1 и нельзя считать по формуле сходящейся геометрической прогрессии, для которой должно быть обязательно q 1. Поэтому выносим за скобку именно константу, а не z .

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023232.93 Кб4Маркетинговые исследования.-1.pdf
#
05.02.2023396.22 Кб3Маркетинговые исследования.-2.pdf
#
05.02.20231.34 Mб3Маркетинговые исследования.-3.pdf
#
05.02.20231.35 Mб4Маркетинговые исследования..pdf
#
05.02.20231.3 Mб6Математика (семестр 2, часть 1)..pdf
#
05.02.2023641.56 Кб4Математика (семестр 2, часть 2).-1.pdf
#
05.02.2023938.68 Кб5Математика (семестр 2, часть 2)..pdf
#
05.02.2023722.47 Кб7Математика 3 семестр..pdf
#
05.02.20231.9 Mб21Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 1.pdf
#
05.02.20234.98 Mб7Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб12Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf