Электромагнитные поля и волны.-5

29

1.4.12. Задача №12

1.4.13. Задача №13

Определить уравнения силовых линий поля E = grad ϕ , где

ϕ = f (r ) , r = x2 + y2 .

Решение:

Ответ: x = c . y

1.4.14. Задача №14

Вычислить div r в прямоугольной системе координат, r = x0 x + y0 y + z0 z.

Решение:

Записываем формулу дивергенции и, подставив в нее заданное значение вектора r , дифференцируем:

div r = ¶ x + ¶ y + ¶ z = 3.

∂x ∂y ∂z

Ответ: 3 .

30

1.4.15. Задача №15

Вычислить div r в сферической системе координат.

Решение:

Записываем формулу для дивергенции в сферической системе координат. Подставляем в нее параметры радиус вектора:

31

Подставляем в нее x -вую и y -вую составляющие напряженности заданного магнитного поля и вычисляем определитель. Полученное значение показывает направление и величину искомого rot H .

1.4.18. Задача №18

Найти плотность циркуляции вектора a = yx0 по окружности,

заданной параметрическим уравнением

x = a cos t,

α = ya sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.

z = 0,

Решение:

Теорема Стокса утверждает, что плотностью циркуляции вектора a является

rot a ∫ adl = ∫ rot a dS .

αS

Поэтому вычислить эту плотность можно двумя способами

Совпадение доказывает правильность вычисления.

1.4.19. Задача №19

Определить циркуляцию вектора поля A = 5xj по контуру,

указанному на рис. 1.12.

32

Рис. 1.12. К задаче №19

Решение:

Воспользуемся теоремой Стокса:

С∫ Adl =∫ rot A dS ,

вдоль окружности x2 + y2 = R2 (рис. 1.13).

Рис. 1.13. К задаче №20

Параметрические уравнения окружности:

33

x = R cos α, y = R sin a,

dx = -R sin a da, dy = R cos a da.

Решение:

Запишем формулу для циркуляции составляющих H x и H y в

сферической системе координат, и, проинтегрировав ее, получим значение циркуляции

α путем непосредственного интегрирования Ц = С∫ adl , где

Z

dl = −x0 dx − y0dy.

Б. Вычислить циркуляцию этого же вектора, используя теорему Стокса.

Решение:

Для А. Воспользовавшись формулой (1.13), запишем определение циркуляции путем непосредственного интегрирования

a = − y2 x0 + x2 y0 , когда rot a = z0 × 2( x + y) .

Для Б. Используя теорему Стокса, подставив значения ротора вектора a ,

34

проинтегрировав полученное, определим циркуляцию. Она равна нулю в обоих случаях.

Ответ: Ц = 0 .

1.4.22. Задача №22

Определить поток вектора a = x0 через площадку,

перпендикулярную оси X , имеющую форму прямоугольника со сторонами равными 1 и 2.

Рис. 1.14. К задаче №22

Решение:

Потоком векторного поля Π через ориентированную поверхность S называется величина (1.10). Запишем ее с учетом

ϕ = ∫ adS = ∫(a , n0 )dS = ∫ x0 x0 dS = 2.

S S S

При изменении направления нормали на противоположное поток меняет знак: ϕ = −2 .

Ответ: ϕ = 2 .

1.4.23. Задача №23

Вычислить поток векторного поля a = R , где R = r0r + z0 z –

радиус-вектор через поверхность цилиндра радиуса R и высотой h

(рис. 1.15).

35

Рис 1.15

Решение:

Искомый поток ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 , где ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 – потоки через поверхности S1 , S2 , S3 . Следовательно,

ϕ1 = ∫ adS = ∫ (r0 r + z0 z)r0 dS = R2πRh = 2πR2 h;

S1 S1

ϕ2 = ∫ (r0r + z0 0)z0 dS, r0 z0 = 0 ϕ2 = 0;

S2

ϕ3 = ∫ (r0 r + z0 h)z0 dS = hπR2 .

S3

Искомый поток ϕ = ϕ1 + ϕ3 = 3πR2h.

Данную задачу можно решить с применением теоремы Остроградского – Гаусса:

С∫ AdS = ∫ div a dv.

В цилиндрической системе координат

div A = 1 ∂rAr + 1 ∂Aα + ∂Az . r ∂r r ∂α ∂z

Заданный вектор а имеет 2 проекции a = r0 r + z0 z . Поэтому

36

Решение задачи стало значительно проще, однако при определении потока надо учитывать, что поверхность, пронизываемая потоком, должна быть замкнута.

1.4.24. Задача №24

Определить поток электростатического поля E , проходящего через сферу, в центре которой расположен источник поля – точечный заряд q .

Рис. 1.16. К задаче №24

Решение: