Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнитные поля и волны.-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 283 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Связь между декартовой и цилиндрической системами определяется формулами:

x	y	z
R	R	R
x0	y0	z0
r α z
R	R	R
r0	α 0	z0

x = r cosα ; y = r sinα ; z = z . (1.24)

Связь между декартовой и сферической координатами:

x y z

r	θ	α

r0	θ0	α	0
R		R

x = r cosα sinθ ; y = r sin α sin θ ; z = r cosθ . (1.25)

Выражения градиента в различных системах координат имеют

вид:

grad ϕ( x, y, z )

∂ϕ +

∂ϕ –

прямоугольная;

(1.26)

0 ∂x

0 ∂y

∂z

grad ϕ(r, α, z ) =

∂ϕ

α0

∂ϕ

–

цилиндрическая; (1.27)

∂r

∂α

∂z

∂ϕ

α0

∂φ

grad ϕ(r, θ, α) = r0

∂r

∂θ

∂α – сферическая. (1.28)

r sin θ

Выражения дивергенции в трех системах координат имеют вид:

∂a

∂ay

∂a

div a =

x +

z – прямоугольная;

(1.29)

∂y

∂x

∂z

1 ∂ (rar

)

1 ∂a

∂a

div a =

α +

– цилиндрическая;

(1.30)

∂r

∂z

∂α

∂ (r2 ar )

∂(a sin θ)

∂a

div

– сферическая.(1.31)

∂r

r sin θ

∂θ

r sin θ ∂α

Выражения ротора в трех системах координат имеют вид:

rot

–

прямоугольная;

(1.32)

¶x

¶y

¶z

rot

–

цилиндрическая;

(1.33)

¶r

¶a

¶z

r aα

r2 sin q

r sin q

rot

– сферическая.

(1.34)

¶r

¶q

¶a

r aθ

r sin q × aα

Раскрываются эти определители по первой строке, как

показано в формуле

a × b

(1.35)

0 (aybz - azby ) +

z0 (axby - aybx ).

0 (az bx - axbz ) +

Оператор Лапласа в декартовой системе координат

¶j

¶2j

j = Dj = ÑÑj =

¶x

2 +

¶y

¶z

2 , (1.36)

¶х ¶х

¶у

¶z

в цилиндрической системе координат представляется в виде

¶j

¶2j

Dj = Ñ

j =

r ×

2 ,

(1.37)

¶a

¶z

¶r

в сферической

Dj = 1 × ¶ r 2 ¶r

–

в виде

¶j

¶2j

sin q ×

. (1.38)

×sin q

×sin

¶a

¶r

¶q

1.4. Примеры решения задач

1.4.1. Задача №1

Найти grad ϕ =	q	(см. рис. 1.10).
	4πε r

Рис. 1.10. К задаче №1

Решение:

Запишем формулу расписывающую понятие градиента. Подставим в нее заданное значение grad ϕ , дифференцируем

∂

q ∂ (r′)

G = r0

= −

= grad ϕ.

4πε r

∂r

4π ε r

4πε ∂r

Ответ: grad ϕ = −

4πε r2

1.4.2. Задача №2

Построить

поверхности

уровня

потенциала

электростатического поля, заданного линейным уравнением

ϕ( x) = 4x + 7 .

Рис. 1.11. К задаче №2

Решение:

Поверхность уровня определяется тем, что на ней скалярная функция остается постоянной j( x, y, z ) = c = const . В нашем случае

скалярной функцией является потенциал. Поэтому поверхность уровня потенциала носит название эквипотенциальной поверхности. Она задана уравнением ϕ( x) = 4x + 7 = c .

Семейство поверхностей уровня (в нашей задаче – эквипотенциальных поверхностей) характерно тем, что значения скаляров (потенциалов) соседних поверхностей отличаются на постоянную величину Δϕ , выбранную произвольно. Зададим

Δϕ = c = 3.

Построим семейство эквипотенциальных поверхностей. Для этого зададимся каким-либо значением постоянной c . Например,

c = 0, 3, 6, 9, 12 и т.д., и соответственно определим х.

Из уравнения ϕ( x) = 4x + 7 = c имеем

x =

c − 7

c -

= 0, 25 × c -1,75.

Для выбранных значений c построим таблицу значений х:

–1,75

–1

–0,25

+0,5

+1,25

Далее найдем ϕ:

j1 = 4 ×(-1,75) + 7 = 0,

j2 = 4 × (-1) + 7 = 3,

= 4 × (-0, 25) + 7 = 6,

j4 = 4 × (+0,5) + 7 = 9,

= 4 × (+1, 25) + 7 = 12,

j6 = 4 × (+2) + 7 = 15.

Эквипотенциальные поверхности у нас являются плоскостями. Это потому, что потенциал ϕ зависит от одной координаты x .

1.4.3. Задача №3

Построить семейство эквипотенциальных поверхностей. Зависимость потенциала ϕ от координат определяется уравнением

				23
				ϕ = 10lg	1	,
				ϕ = 10lg		,
					r
	1
где r =	1		x2 + y2 + z2 ; e	– единица длины.
где r =			x2 + y2 + z2 ; e	– единица длины.
	e0	0
	e0
Решение:

1. Покажем, что эквипотенциальная поверхность, построенная на основании заданной зависимости потенциала от координат, будет сферой с радиусом r . В самом деле, для того, чтобы потенциал ϕ был постоянным, нужно, чтобы радиус оставался постоянным. Это имеет место в сфере. Мы установили, что

эквипотенциальная поверхность –

сфера.

2. Определим

потенциалы

соответствующих

эквипотенциальных

поверхностей.

Используя

условие

ϕ( x, y, z ) = c = const , рассчитаем несколько значений для ϕ:

j = 10lg

= c;

= 10lg

= c +1× Dc;

j = 10 lg

= c + 2 × Dc;

…

= 10lg

= c + (n -1) × Dc;

jn+1

= 10lg

= c + n × Dc.

rn+1

Далее надо связать отношение радиусов различных

эквипотенциальных сфер:

n+1

- j = 10lg

-10 lg

= c + n × Dc - c = n × Dc

rn+1

или

10lg

= n × Dc.

rn+1

Зададимся			c = 10 ,		тогда lg	r1		= n . Отсюда	r1	= 10n ,
						r1

						rn+1			rn+1
r = 10n × r		. Тогда r		= r ×10−n . Пусть r			= 10м = 103 см. Тогда
1	n+1		n+1	1	1
r = r ×10−1			= 103 ×10−1 = 102 см ;
2	1
r = r ×10−2			=103 ×10−1 =10 см;
3	1
r = r ×10−3			= 103 ×10−3 = 1 см;
4	1
r	= r ×10−4		=103 ×10−4		= 0,1 см и т.д.
5	1

Вывод. Расстояния между соседними эквипотенциальными сферами уменьшаются по мере увеличения потенциала.

1.4.4. Задача №4

Вычислить проекцию градиента потенциала j( x, y ) = 4x2 + 9 y

на направление S0 , Ð(x0 , S0 ) = 60o .

Решение:

Проекция градиента на заданное направление

× grad j =

∂ϕ ,

¶S

т.е. частная производная ϕ по S . Учитывая условия задачи, эту

проекцию удобнее представить в таком виде:

∂ϕ =

∂ϕ ∂x + ∂ϕ ∂y =

∂ϕ × cos (

) + ∂ϕ sin (

¶S

¶x ¶s

¶y ¶s

¶x

¶y

Записанное выражение можно представить

∂ϕ

¶x

= 8x;

¶y = 9;

cos (

) = cos 60o

;

sin (

) = sin 60o =

Тогда получаем

¶j = 8x ×

+ 9 ×

= 4x +

9 3

¶S

Итак,

» 4x + 7,8 .

S0 × grad j = 4x +

1.4.5. Задача №5

	1
Определить градиент потенциала j = A × ln r , где r =	1	x2 + y2
Определить градиент потенциала j = A × ln r , где r =	l0	x2 + y2
	l0
.
Решение:

Запишем градиент в символической форме G = Ñj . Поскольку функция ϕ зависит только от координат x и y , а от z не зависит,

то, очевидно, возможно выразить наблу в цилиндрической системе координат:

Ñ =

∂

+ j

1 ∂

∂

0 r ¶f

¶r

¶z

Запишем это выражение для вычисления градиента функции ϕ:

+ j0

1 ¶

Aln r.

grad j = G

= Ñj =

r ¶f

¶r

¶z

Но r не зависит ни от ϕ, ни от z , тогда

= grad j =

∂ϕ =

¶r

Замечание:

Если

A =

(где

–

погонная

плотность

2pe

электрического

заряда

бесконечной

равномерной

заряженной

нити),

тогда grad j =

равен напряженности электрического

4pe

поля в

точке,

определяемой

расстоянием

от заданной нити,

взятый с обратным знаком (-E ). Потенциалом этой нити будет

j = Aln r = τ ln r – удаление точки наблюдения от нити.

2pe

1.4.6. Задача №6

Найти производную плоскопараллельного поля j(M ) = x2 - y2

в точке M (3, 2) по направлению вектора l = i + j 3 .

Решение:

12 +

2 = 2 .

По теореме Пифагора находим l :

Используя свойства градиента, запишем

∂ϕ cos (

) + ∂ϕ cos (

= G

× l =

¶x

¶y

Подготовим из условий задачи заготовки:

cos a =

; cosb =

;

∂ϕ = 2x = 2

∂x

∂ϕ

¶y = -2 y = -4.

тогда

¶j(M )

= ¶j × cos (

) + ¶j cos (

) = 2

- 4

= -

¶l

¶y

Ответ: −

1.4.7. Задача №7

Найти наибольшую

скорость

изменения

скалярного

поля

ϕ = 5x2 yz + 5xyz2 − 7xy2 z в точке M (1, 2,3) .

Решение:

Запишем

формулы,

связывающие

напряженность

электрического поля с потенциалом ϕ:

qr0

E = -grad j =

grad j = Ñj.

4pe r2

Проведем дифференцирование r

по нормали и в полученные

результаты подставим значения точки M :

dϕ

(10xyz + 5 yz2 - 7 yz z ) +

(5x2 z + 5xz2 -14xyz ) +

(

5x2 y +10xyz - 7xy2 ) = 8

- 4

+ 8

Ответ:

dϕ

= 8

− 4

+ 8

1.4.8. Задача №8

	Найти векторную линию магнитного полупроводника с током
	=	i	a0 , где R – расстояние от оси провода до точки M , r –
H

	2pR

радиус-вектор точки M .

Решение:

Раскрыв векторное произведение a = [z0 , r ], получим

[

] =

= yx

0 + xy

0 .

z0 ,

Следовательно,

H = -

2pR

Дифференциальное уравнение векторных линий запишется:

	−	dx	=	dy	=	dz	,
		y		x
					0
откуда x2 + y2 = R2 ,	z = c .		Т.е.		векторные линии являются
окружностями с центром на оси Z .
Ответ: x2 + y2 = R2	и z = c .

1.4.9. Задача №9

Найти уравнение векторных линий вектора

E = sin a × E0a0 + E0 r0 cos a,

где ln r = ln sin a + ln c , r = c ×sin a .

Решение:

Запишем формулу для силовых линий, подставим компоненты α и r в эту формулу и проинтегрируем полученные соотношения:

dr	=	rdα	=	dz	; z = c;	dr	= dα;
E cos α		E sin α
			0			r
0		0

ln r = a + ln c; r = c × eα ;	dr	=	cos α	;

	r sin a
ln r = ln sin a + ln c; r = c × sin a. .

Ответ: c = r / sin a .

1.4.10. Задача №10

Найти уравнение векторных линий вектора r = x2 + y2 .

Решение:

Запишем формулу для векторных линий

Для нахождения векторных линий необходимо из заданного

условия определить составляющие Ex и Ey :

∂

E =

∂x

∂y

Подставляем в это выражение значения x и y вектора

дифференцируем:

E =

2 y

x2 + y2

Из полученного выражения выделяем составляющие Ex и Ey , dx = dy , интегрируем и получаем векторную линию x − y = c .

Ответ: x − y = c .

1.4. 11. Задача №11

Найти уравнение векторных линий A = 5cos α R0 − sin θα0 .

Решение:

В уравнение векторных линий, записанной для сферической

системы координат, подставим			заданные значения r и sin θ
составляющей			R sin θ dα
	dR	=		.
	5cos α
			− sin θ

Используя метод разделения переменных, составим уравнение, связывающее эти переменные, и проинтегрируем:

dR = −5cos αdα; ln R = 5sin α + ln c.

Ответ: R = ce−5sin α .

<<< < Предыдущая 1 23 / 283 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023196.13 Кб3Электромагнитная экология..pdf
#
05.02.2023652.23 Кб17Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб13Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб45Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб18Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб37Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб41Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб50Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб25Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб10Электроника 1. Физические основы электроники.pdf
#
05.02.2023688.65 Кб7Электроника 2. Электронные приборы.pdf