Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнитные поля и волны.-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2826 27 28 > Следующая >>>

900 .

249

Типы	Е01 Е11 Е21	Н01 Н11 Н21 Н31
волн

λ	кр	2,613R	1,64R	1,64R 3,41R 2,06R
				1,496R
		1,223R

В цилиндрическом резонаторе основными типами (имеющие минимальные резонансные частоты) колебаний считаются колебания Н111 и Е010 . Возможны вырожденные колебания, когда одному значению резонансной частоты f0 соответствует несколько различных типов колебаний. В цилиндрических резонаторах все колебания с индексом m ¹ 0 имеют двукратное вырождение, проявляющееся в повороте плоскости поляризации по координате ϕ на 900 , т.е. структуры этих типов колебаний одинаковы, но по углу ϕ повернуты друг относительно друга на

Запасенная в цилиндрическом резонаторе энергия вычисляется

по формулам:

–

Колебание типа E010

W E 010

= 0 , 423 ε E max2

2 h

(8.14)

–

Колебание типа E011

(

)

W E 011 = ε E max2

a 2 h

(

( 2

a )

(8.15)

–

Колебание типа H 011

W Н 011

= 0 ,316 ε E max2

2 h

;

(8.16)

–

Колебание типа H111

W Н 111

= 0 ,749 ε E max2

a 2 h

(8.17)

Собственная добротность

Q 0

цилиндрических

резонаторов

рассчитывается для колебаний Нmnp

и Еmnp

по формулам, которые

имеют вид:

–

Колебание типа E010

Q 0 E 010

р μ

2 R s

+ h

(8.18)

250

–

Колебание типа E011

Q 0 E 011

2 R s

2 a + h

(8.19)

–

Колебание типа H 011

2 h ω 2 εμ

Q 0 Н 011

2 R s

+ π

2 a

h 2 ;

(8.20)

–

Колебание типа H111

λ p (1 -

) 2

μ112 +

a 2π

2 3 2

ω р μ

μ11

Q0 H 111 =

2π

μ112

a 2π 2

2a a 2π 2

+ (1 -

)

(8.21)

μ11 h

где λ 0 =

-резонансная длина волны резонатора для данного типа

колебания.

R S =

ω × μ

поверхностное сопротивление стенок резонатора.

2σ

(8.22)

Если резонатор заполнен диэлектриком, то добротность его следует определять по формуле:

Q общая 1	=		1
Q общая 1	=		+ tg δ э ,
	1
		Q 0		(8.23)

где tgδ э - тангенс угла потерь диэлектрика, заполняющего резонатор.

В коаксиальных резонаторах основной тип колебания Т mnp = Т 001 = T1 , резонансная длина волны которого при воздушном и диэлектрическом заполнении определяется формулами:

λ 0 = 2 L , λ 0 ε = 2 L ε r

т.е. длина резонатора равна половине длины волны в нем. Амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей в коаксиальных резонаторах на основном типе колебания T1 имеют вид:

251

× sin(

pπ

z)e jω t =

sin(

pπ

z)e jω t

(8.24)

×cos(

pπ

z)e jω t =

cos(

pπ

z)e jω t

×ln

где A = E0 × R1, E0 ,

E0 -напряженность

электрического

поля у

поверхности

внутреннего

проводника;

U - разность

потенциалов

между внутренним и внешним проводниками (амплитуда напряжения)

Собственная добротность медного коаксиального резонатора находится по формуле (размеры в сантиметрах):

Q о =			2 ,4	× 10 4
Q о =				1	+ 1
				1	+ 1
				R		R1
	λ 0	4	+	R	2	R1
	λ 0	4	+	,3 × lg( R 2		R1 )
		L	2	,3 × lg( R 2		R1 )

. (8.25)

8.2. Примеры решения задач

Задача №1 (Определение параметров резонатора)
В	прямоугольном	резонаторе,	имеющем	размеры:
а = 3 см, в = 2 см, l = 4 см. см.		Определить	его резонансную длину

волны и резонансную частоту. Какой тип колебаний будет основным? Какой тип колебаний будет ближайшим к основному?

Решение: Низшим –

основным будет тип колебаний, у которого

один индекс равен нулю, а два других –

единице. Низшими могут

быть типы Н101, Н011, Е110 .

Формула резонансной частоты

f 0 m n p

m 2

ε r μ r

(8.26)

λ 0 mnp

= С

λ 0 mnp

= С

f 0 mnp

, где C =

f 0 mnp

εμ

Подставляя в формулу частоты индексы m, n, p, , определим

частоты и длины волн указанных типов колебаний

Н101

= 6, 255 ГГц,

λ101

= 6, 255 ГГц,

–

Основной тип волны.

Н011

= 13,72 ГГц

λ011 = 2,186 см

			252
Е110.	= 9,014ГГц		λ 0 110 =3,328 см
Задача №2 (Определение резонансной частоты и добротности)
Цилиндрический			объемный резонатор		диаметром	2R = 5см,
длиной	l = 6см заполнен диэлектриком			с	параметрами	ε r = 2,56 ;
tg δ ε = 2 ×10−4 . Материал стенок - медь,				удельная проводимость
которой σ = 5,7 ×107 См		м	. Какой тип колебаний в резонаторе является
		м

основным? Найти резонансную частоту и добротность на этом колебании.

Решение

Из колебаний

типа

Н −

основным

является

Н111 резонансная

2π R

1 2

, λ кр

= 3,41R .

частота которого f

ε r μ r

2 h

μ mn

λ кр

Из колебаний типа Е- основным является

Е010 резонансная

частота определяется

из

выше приведенной формулы, если

подставить λ крE =

2π R

= 2,613R .

После подстановки критических длин волн и индексов р в

резонансные частоты можно убедиться, что основным является колебание Е010

f 0 Е010

= 3,521

×10

МГц

ε r

μ r

ε r μ r

2,613 R

Добротность определяем по формуле

2 π f 0 E 010

μ 0 μ r

Q 0 E 010

× μ

R + l

2 × 3 ,14 × 3 ,521

× 10 9

× 4 × 3 ,14

× 10

− 7

0 , 025

0 , 06

= 31323

× 3 ,14 × 3 ,521 × 10 9 × 3 ,14

× 10 − 7

0 , 025

0 , 06

× 5 , 7 × 10 7

= ×

= 4,347

×103

−4

0 E 010

+ tgδε

+ 2 ×10−4

0,3 ×10

+ 2 ×10

31323

Q0 E 010

253

Задача №3

Можно ли в коаксиальный резонатор, имеющий размеры R1 = 6

мм,
R2 =24 мм, L = 100 мм	и работающий на основном колебании
типа Т , накопить предельную энергию 0,55×10−3 Дж,		если
максимально допустимая	напряженность электрического	поля
30 кВ / см .

Решение: Энергия, запасаемая в резонаторе, вычисляется по формуле

W = ∫ ε

E 2

Электрическое поле основной волны в коаксиальном

резонаторе имеет только радиальную составляющую (8.24)

× sin(

pπ

Определим

накопленную

энергию,

учитывая

при

интегрировании

выражение

для

элементарного

объема

в виде

dV = R dα drdz

πε

W = ∫ ε [

× sin(

z )] 2

A 2 × L × ln(

R 2

)

R1 .

(8.27а)

Максимальная напряженность электрического поля, согласно (8.24), существует в середине резонатора на поверхности

внутреннего проводника,

т.е. при

r = R .

Ее

значение

равно

Ε мах = А

, откуда A =

R1 × E МАХ .

С учетом полученного выражения для А запасаемая энергия

будет равна

πε

W =

Е 2 мах

× R1

× L × ln(

R 2

)

(8.27б)

После численных подстановок, получаем

W =

πε

× L

× ln(

) = 10 ,395 ×10

− 4

Дж

Ответ: в коаксиальном резонаторе, указанных размеров можно

накопить

предельную

энергию

0,55×10−3 Дж

, так

как

10,395 ×10−4 Дж > 0,55 ×10−3 Дж .

Задача №4

254

Из отрезка стандартного прямоугольного волновода с поперечным сечением а×в = 72 ×34 мм образован прямоугольный объемный резонатор с резонансной частотой 3 ГГц на колебании типаН101 . Определить длину резонатора. Как изменится резонансная частота, если резонатор заполнить диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε r =3,7?

Решение: Воспользуемся формулой (8.26), подставим индексы типа колебаний

1 2

0 Н 101 =

и определим выражение для длины резонатора

L =

= 5,12 см .

( 2 f 0 101

) 2 − ( 1

) 2

Если резонатор заполнить диэлектриком, то резонансная

частота уменьшится в

и станет равной

ε r

f0ε = f0

= 3 ×109

= 1,559 ×109 ГГц

ε r

3,7

Ответ: L = 5,12см ,

f 0

= 1,924

раза.

ε r

0ε

Задача №5

В прямоугольном

резонаторе

a ×b × L возбуждается тип

колебаний Н101 . Определить мощность потерь в стенках резонатора,

при протекании токов проводимости.

Решение: Картина силовых линий в прямоугольном резонаторе на типе колебаний Н101 приведена на рис.8.3, из которой видно, что

магнитное поле имеет две составляющие H z

и H x , а согласно (8.2),

равные

cos π z

H z

= H m

cos

π x

sin

π z

Н х

= −H m

π (

) −1 sin

π x

L a

L . (8.28)

В соответствии с граничными условиями для тангенциальных составляющих магнитного поля, ток проводимости равен j пр = H τ на границе. Направление токов определяется правилом вращения буравчика: движение буравчика совпадает с направлением магнитного поля, а направление токов совпадает с направлением

Н012

255

вращения рукоятки в стенке резонатора. Мощность потерь в стенках можно разделить по пределам интегрирования на три

интеграла: две боковых, две

торцевых и по верхней –

нижней

граням. Составляющая поля H z

в боковых стенках при х = 0 и х = а

вызывает составляющую тока проводимости

jy . Потери в стенках

прямоугольного резонатора

Рпот = 2RS {∫0L

πx

πz

a b

)−1 sin

πx

cosπ z)2

∫

(Hm cos

sin

)2приx =0, a dy dz+ ∫∫(Hm

(

приz=0,L dx dy+

0 0

L a

πx

πz

a L

πx

π z

+∫ ∫0L (Hm cos

sin

)2при y=0, b dx dz + ∫∫(Hm

(

)−1 sin

cos

)2при y=0,b dx dz}=

0 0

L a

= 2R H2m{

+ (

(

)−2

(

)−2 (

)}= 2R H2m{

+ (

(1+ (

)2}, Вт

2 L a 2 4 L a 4

2 L 2 4

(8.29)

Задача №6 Для измерения параметров диэлектриков используется

цилиндрический резонатор на колебании как не имеющий продольных токов проводимости (рис.8.7). Открывается торцевая крышка, и резонатор полностью заполняется диэлектриком.

Измеренные резонансные частоты резонатора без диэлектрика f0 , с

диэлектриком f0ε , и добротности без диэлектрика Q0 , с

диэлектриком Q0ε .

Вывести формулы для расчета относительной диэлектрической проницаемости

и тангенса угла диэлектрических потерь по измеренным величинам.

Решение:

Выражение для резонансной частоты колебания Н012 .

2 2

0 ε =

1,64R

2 L

r .

Из этого выражения получим формулу для определения относительной диэлектрической проницаемости

256

ε r = (

)

{

} = (

)

f 0

f 0 ε

(8.30)

1,64R

Добротность

резонатора,

заполненного

диэлектриком,

определяется выражением:

Q0 ε r

+ tgδε

откуда

tgδε =

−

(8.31)

Q0 εr

Задача №7

В прямоугольном

медном

резонаторе, имеющем размеры:

а = 5 см, в = 3 см , l=5

см возбуждается колебание

Н101 . Определить

его резонансную длину волны и резонансную частоту. Найти добротность на этом колебании.

Решение:

Воспользуемся формулой (8.26) для определения резонансной частоты

		C	1	2		1 2		3 ×10 8		1			2		1		2
f 0 101	=				+		=		(			)		+ (		)		= 4,24	ГГц
		2						2		×10	− 2				5 ×10 − 2
			a			L			5

Резонансную длину волны определяем :

λ0 Н101= С f0 101 = 7,07см

Для нахождения добротности резонатора можно воспользоваться несколькими способами. Первый, использовать соотношения (8.5), (8.6), для которых в задаче 5 найдены из (8.2) составляющие поля заданного типа колебания, получено выражение мощности потерь в стенках. Второй,- воспользоваться общей формулой (8.8а) для получения из неё выражения добротности нашего типа колебания. Третий, провести оценку добротности по упрощенной формуле, получив ее. Мы воспользуемся первым и третьим способами и сравним рассчитанные по формулам результаты.

257

W = ∫ μ

H 2

H 2 m

μ ∫ ∫ ∫ {(cos

π x

sin

π z

) 2

+ (

sin

π x

cos π z ) 2 }dxdydz

W =

H 2 m

μ abL [1 + (

) 2 ]

(8.32)

Рпот = 2RS H 2 m {

+ (

(1 + (

)2 }

ωμ abL [1 + (

) 2 ]

Q 0 = ω

P n

2 ab

16 R S

{

+ (

)

(1 +

(

)

}

(8.33)

Получим упрощенную формулу оценки добротности для любого резонатора и типа колебаний в нем. Используем общую формулу добротности

	= ω	W	=	ωμ	∫ H m2 dV
Q 0					V
		P n		R S	∫ H τ2m dS

и предположим, что вариации поля внутри резонатора отсутствуют, т.е.

Hm = Нхm = const, == Н101 ,

Hm2

= Нxm2

= const,

тогда

ωμ

Q =

2 V

δ S

ωμ ( 2σ )

(ωμσ

R S S

) S

где δ = 2ωμσ - глубина проникновения электромагнитной волны в

стенки резонатора. Получена упрощенная формула практической оценки добротности любого резонатора

Q 0 =

2 V

δ S

(8.34)

Рассчитаем добротность резонатора по (8.33), (8.34)

Q 0 =

= 1 3 6 0 0 =

2 (ω μ σ )

5 × 3 × 5

2 × ( 2 × 3 × 5 + 5 × 5)

2 × 3,1 4 × 4 , 2 4 ×1 0 9 × 4 × 3,1 4 ×1 0 − 7 × 5, 9 5 ×1 0 7

258

ωμ abL[1 + (

)2 ]

V[1 + (

)2 ]

Q0 =

8δ

2bL

2ab

2δS

16R {

+ (

(1 + (

)2}

{

+ (

(1 + (

)2}

2 4

L 4

Вывод. Формула (8.33) дает величину добротности в четыре раза меньше, чем (8.34 ). Не учет вариаций поля внутри резонатора приводит к завышению добротности, хотя позволяет быстро оценить ее величину.

8.3. Задачи для самостоятельного решения

№8.1

В коаксиальном резонаторе из меди (σ = 5,7×107 См м ), имеющем

размеры R =16 мм, R = 7мм и L = 50мм возбуждается колебание T1 .
2	1

Определить резонансную длину волны, резонансную частоту и собственную добротность.

Ответ: λ0 =10 см , f0 = 3 ГГц, Q = 2,3 ×102 .

№8.2

В прямоугольном резонаторе из меди (σ = 5,7×107 См м ), имеющем размеры: а = 58 мм, в = 25 мм, l = 40 мм возбуждается колебание типа

Н101 . Определить резонансную частоту и собственную добротность.

Ответ: λ0	= 4,53cм, f0 = 4,53ГГц , Qо = 1,1 104
№8.3
В цилиндрическом			объемном резонаторе из меди	(
σ = 5,7 ×107 См		), длиной	l = 5см возбуждается колебание типа Н	.
м				011

Определить диаметр резонатора, чтобы он оказался настроенным на резонансную частоту f0 = 6825 МГц .

Ответ: 2а = 60 мм .

№8.4

Определить собственную добротность цилиндрического объемного резонатора из меди длиной l = 4см . В резонаторе возбуждается колебание типа Н011 с длиной волныλ0 = 2,5 см .

Ответ: Q0 = 2,35 ×104

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 2826 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023196.13 Кб3Электромагнитная экология..pdf
#
05.02.2023652.23 Кб18Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб14Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб46Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб19Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб38Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб41Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб50Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб26Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб10Электроника 1. Физические основы электроники.pdf
#
05.02.2023688.65 Кб7Электроника 2. Электронные приборы.pdf