Электромагнитные поля и волны.-5

Соотношения (5.17) и (5.18) являются формулировкой первых двух уравнений Максвелла для плоских волн в непроводящих

В качестве примера применения формул (5.17) и (5.18), построим картину векторов поля в анизотропном диэлектрике с параметрами ε = εˆ , μ = μ0 , σ = 0, где εˆ - тензор диэлектрической проницаемости. В общем случае произвольного направления распространения волны,

плоскости “xoz”, как показано на рисунке 5.3, и α - угол между ними.

Из уравнений (5.17) и (5.18) следует ,что вектор k также лежит в плоскости “xoz”, и, кроме того, перпендикулярен вектору

составляет угол α с вектором k . Это означает, что направления

150

фазовой и групповой скоростей в анизотропном диэлектрике отличаются на угол α .

Если среда является изотропной, т.е. D = εE è B = μH ,то взаимно ортогональными будут вектора E, H и k .

Задача 5.5 (среднее значение плотности энергии)

Среднее по времени значение вектора Пойнтинга в воздухе и идеальном диэлектрике с параметрами ε r = 9, μr = 1 равно Вт/м2.

Определить:

1)средние по времени плотности энергии в этих средах,

2)амплитуды полей Е и Н .

Решение:

Вектор Пойнтинга связан с плотностью энергии и скоростью

энергии монохроматических волн в идеальных диэлектриках совпадает с фазовой скоростью vф . Будем обозначать величины,

относящиеся к воздуху цифрой «1» , а к диэлектрику – цифрой «2». Электрические и магнитные параметры воздуха можно считать такими же, как у вакуума. Таким образом, скорости энергии будут равны:

Плотность энергии в воздухе и в диэлектрике соответственно будет

Определим соотношение между плотностями электрической и магнитной энергии в идеальных диэлектриках. Известно, что средние по времени плотности этих энергий выражаются формулами

151

иих отношение равно 1, поскольку Е Н = μ ε . Таким образом,

влюбом идеальном диэлектрике плотности энергий электрического и магнитного полей всегда равны. В условиях данной задачи они будут равны

Из формул (5.19) получим

Конечно, эти же результаты могут быть получены так же из формулы (2.11).

Изобразим в относительных единицах соотношение между полями Е и Н , а также плотностями энергии и скоростями

энергии.

На рисунке 5.4 в кубиках заключена одинаковая энергия, так что плотность энергии обратно пропорциональна объему куба. Таким образом, в электрически плотных диэлектриках (с большим ε ) электрические поля меньше, чем в менее плотных, при одинаковой величине вектора Пойнтинга, хотя в каждом диэлектрике сохраняется равенство wE = wH .

153

Формулы (5.21) называются формулами Френеля. Для обеих поляризаций (вертикальной и горизонтальной) выполняется соотношение:

Следует обратить внимание на то, что коэффициенты Rи T

определенные формулой (5.21) различаются для горизонтальной и вертикальной поляризации.

При падении волны на границу раздела двух идеальных диэлектриков могут наблюдаться два характерных явления: полное преломление и полное отражение. Полное преломление существует только при вертикальной поляризации падающей волны. Соответствующий угол падения называется углом Брюстера и определяется из соотношения

При падении волны из более «плотного» диэлектрика на границу с менее «плотным» (ε1 > ε 2 ) при углах падения j ³ j0 ( j0 -

критический угол) наблюдается полное отражение для обеих поляризаций.

Модули коэффициентов отражения при углах падения ϕ ³ ϕ 0

равны 1. Поле во второй (менее плотной) среде представляет неоднородную плоскую, поверхностную волну, распространяющуюся вдоль границы раздела с фазовой скоростью

и убывающую по амплитуде при удалении от границы по закону e -β ×z , где

угол преломления ψ согласно закону Снеллиуса стремится к нулю и преломленная волна распространяется практически перпендикулярно поверхности, а вектора Eпр и H пр становятся почти

ей параллельными. При этом, на поверхности такой «плотной» среды выполняются приближенные граничные условия Леонтовича, которые могут быть записаны в векторной и скалярной формах

Z w 2 – волновое сопротивление второй (более плотной) среды.

Значение приближенных граничных условий Леонтовича состоит в том, что они связывают тангенциальные составляющие полей E и Н в первой среде непосредственно с волновым сопротивлением Z w 2 второй среды. Конечно, “ строгие” граничные условия при этом также остаются справедливыми и, в частности, выполняется

Et1 = Et 2 ≈ E2 и H t1 = H t 2 ≈ H 2 .

Граничные условия Леонтовича широко применяются для определения потерь мощности на нагрев проводников. При этом удобно использовать понятие поверхностного сопротивления проводника

&

& = Et , (5.29)

Z S η&

где & - тангенциальная составляющая вектора E на поверхности

Et

проводника, η& - плотность поверхностного тока. Можно показать,

155

что поверхностное сопротивление металлов равно их волновому

равной активному сопротивлению проводника на постоянном токе, но имеющем толщину, равную глубине проникновения 0 .

5.2.2. Примеры решения задач

1)амплитуды векторов E и Н отраженной и преломленной

волн,

2)построить их мгновенные значения в окрестности точки падения,

3)среднюю по времени плотность мощности, переносимую каждой волной.

Решение:

1)Обозначим все величины, относящиеся к первой среде – воздуху цифрой «1», а ко второй среде – диэлектрику – цифрой «2».

Определим угол преломления из закона Снеллиуса (5.20)

156

Амплитуды векторов Е отраженной и преломленной волн определятся как

противоположное направление электрического вектора отраженной волны по отношению к вектору Е падающей волны. Амплитуды

Нпр

·Епр

Рис. 5.6 Изображение векторов

В полученных результатах следует обратить внимание на то, что H пр > H пад . Это можно объяснить тем, что вторая среда – электрически более плотная (ε 2 > ε1 ) , что приводит к уменьшению напряженности электрического и увеличению напряженности магнитного полей (см. задачу 5.5).

157

2) Построим поля Е и Н в падающей, отраженной и преломленной волнах.

Точки на рисунке (5.6) изображают вектора E , направленные к нам (видно острие стрелы), кружок с крестиком – вектор Е, направленный от нас (видно оперение стрелы). Изменение

Задача 5.7 (поле при полном отражении)

Найти фазовую скорость и глубину проникновения неоднородной плоской волны, возникающей при падении плоской волны из среды 1 с параметрами ε r1 = 3.4, μr1 = 1 на границу с воздухом - среда 2. Угол падения 450 , частота поля 35 ГГц .

Решение:

Электрические параметры воздуха можно принять такими же, как у вакуума, т.е. ε r2 = 1, μr2 = 1 . Определим угол полного отражения

(5.24)

неоднородная плоская волна, называемая также поверхностной. Согласно формул (5.25) и (5.26), ее фазовая скорость и коэффициент убывания определяются выражениями

распространяется вдоль границы со скоростью меньшей скорости света и "прижато" к границе с диэлектриком.

Определить среднее значение мощности, поглощаемой 1см2 поверхности металла. Как результат зависит от поляризации падающей волны? Какая доля мощности падающей волны тратится на нагрев металла?

Решение:

Определим амплитуду вектора Н падающей волны