Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнитные поля и волны.-5

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

3.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

k = ω με

139

Глава 5. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Целью данного занятия является закрепление теоретического материала путем решения задач по следующим разделам курса:

∙плоские волны в безграничных средах;

∙отражение и преломление плоских волн на границе раздела двух сред;

Вначале каждой части занятия приводятся краткие теоретические сведения; в конце занятия – задачи для самостоятельного решения с ответами.

5.1.Плоские волны в безграничных средах

5.1.1. Краткие теоретические сведения

Электромагнитная волна называется плоской, если ее фазовый фронт (поверхность постоянной фазы) является плоскостью.

Предположим, что в идеальном диэлектрике (σ = 0 ) с параметрами ε, μ в направлении оси z распространяется плоская монохроматическая волна с линейной поляризацией, причем вектор E направлен вдоль оси х.

Мгновенные значения векторов E и H могу быть представлены в виде:

	R
E(z, t) = x 0 E0Cos(ωt − kz + ϕ ),
R	R	0 H 0 Cos(ωt − kz + ϕ ),

H (z, t) = y

где x0 , y0 - единичные вектора (орты) по осям

(5.1)

х и у, w = 2π f	–

круговая частота, ϕ - начальная фаза, - волновое число (или постоянная распространения) в данной среде. Волновое число k определяет фазовую скорость vф и длину волны λ в данной среде:

v		= ω	, λ ==	2π
	ф			k .	(5.2)
		k

Из формулы (5.1) видно, что поля E и H					в данном случае

синфазны, отношение их амплитуд определяется через волновое (характеристическое) сопротивление среды Zc . В идеальном диэлектрике

140

Zc =

Å 0

μ0 μr

= Z0

μr

εr ,

(5.3)

Í 0

ε0 εr

где Z0 = 120π = 377 Ом – волновое сопротивление вакуума.

где

- орт в направлении распространения волны.

Для описания монохроматических полей удобно использовать метод комплексных амплитуд, согласно которому комплексные амплитуды полей (5.1) имеют вид (зависимость от времени принята в виде e jωt )

R0 &

− jkz

R0 &

− jkz

E(z) = x E0e

, H(z) = y H 0e

(5.4)

где

= E0 e

jϕ

= H 0 e

jϕ

- комплексные амплитуды.

, H 0

Если волна распространяется в направлении оси −z,

то перед

выражением kz в формулах (5.1) и (5.4) знак изменяется на «+». Если среда проводящая (удельная объемная проводимость

s¹0), то это	учитывается	заменой	σ	e	на комплексную
диэлектрическую	проницаемость	&	σ	в	выражениях для
		&
		ε = ε − j	ω
			ω

волнового числа k и волнового сопротивления Zc . Это приводит к

тому, что волновое число

волновое

сопротивлениеZc

становятся комплексными

μ× cos

k = k ¢ - ik ¢¢ = ω με(1 -

jtg

) ,

Zc =

× e

(5.5)

где - угол потерь, который определяется из соотношения

ω .

Наличие мнимой части волнового сопротивления в проводящих средах (средах с потерями) приводит к тому, что векторы E и H сдвинуты по фазе по отношению друг к другу на

угол 2 . С учетом	соотношений					(5.5) комплексные				амплитуды
векторовE и H (5.4) могут быть представлены в виде:
R	R 0 &	−k ′′z		− jk ′z	R	R 0 &	−k′′z		− jk ′z
&					&					(5.6)
E(z) = x E0 e			e		, H (z) = y H 0 e			e	,

из которого видно, что действительная часть комплексного волнового числа k ′ является постоянной распространения и по-

141

прежнему определяет фазовую скорость и длину волны в данной среде по формулам (5.2), а мнимая часть комплексного волнового числа k ′′ характеризует убывание амплитуд поля вдоль направления распространения z и называется коэффициентом затухания. Из формулы (5.5) для k ′ и k ′′ можно получить следующие выражения:

					1				1	(-1 +		)
	k¢ = k0				1	(1 + 1 + tg 2D) , k¢¢ = k0			1		1 + tg 2D
	k¢ = k0			2		(1 + 1 + tg 2D) , k¢¢ = k0			2		1 + tg 2D		,	(5.7)
				2					2				,	(5.7)
	= ω		= ω					- постоянная распространения
где k0	= ω	με	= ω				μrε r	- постоянная распространения					в	данной
				c

среде, если бы потери в ней отсутствовали. Расстояние, на котором амплитуда волны уменьшится в е ≈ 2.71раз, называется глубиной проникновения и обозначается δ . Очевидно, что

δ = 1			k ′′ .	(5.8)

Затухание амплитуды векторов Е или Н на расстоянии l
			′′
	&
		E(0)
L =			= ek l
		&
		E(l)
может быть выражено в неперах (Нп)
′′
L[Íï ]= ln L = k l
или в децибелах
L[äÁ ]= 20lg ek 'l = k¢¢l × 20lg e = 8,68k¢¢l = 8,69L[íåï ].				(5.9)
при этом 1 Нп = 8.68 .

Среднее за период колебаний значение вектора Пойнтинга определяется через комплексные амплитуды векторов E и H соотношением:

R		=		R R	]
П		=	1	Re[EH	]
			1	& &
	ср
	ср		2		(4.10)
			2		(4.10)

и определяет среднюю по времени плотность потока мощности, т.е. среднюю за период колебаний энергию, переносимую волной за одну секунду через поверхность площадью 1м2, перпендикулярную направлению распространения волны.

Если использовать связь амплитуд векторов E и H через волновое сопротивление среды (5.3), то формуле (4.10) можно придать вид:

142

Пср =

Re(Zc )

(5.11)

В металлах tg

>> 1и поэтому формулы (5.7) упрощаются так,

что

k′ ≈ k ′′ ≈

ωμ σ

(5.12)

Волновое сопротивление металлов выражается формулой

ωμ

Z c = (1 + j)

2σ ,

(5.13)

Вектор E можно разложить на две ортогональные

составляющие, (например, по осям х и у ):

& 0

0 & 0

E(z)

= (x

E x

+ y

E y )e

(5.14)

В зависимости от соотношения амплитуд и фаз составляющих

& 0

выделяют

три типа

поляризации волны:

линейную,

и Ey

круговую и эллиптическую. Линейной поляризации соответствуют случаи, когда либо одна из составляющих равна нулю, либо когда сдвиг фаз между ними равен 0 или 1800. Круговая поляризация наблюдается при одновременном выполнении двух условий: равенстве амплитуд составляющих Ех и Еу и сдвиге фаз между

ними, равным ±900 . В остальных случаях поляризация волны будет

эллиптической. Учитывая, что сдвиг по фазе ±900									соответствует
значению фазового множителя
	e±i900		= ± j		,
					,
представим вектор E для волны с круговой поляризацией в виде:
R		R		R				&
&	&	R		R				&
&	&		0	± iy		0		− jkz	(5.15)
E(z) = E0		(x		± iy			)e	.	(5.15)

При этом знак ²-² соответствует правой круговой поляризации, при которой вектор E вращается с течением времени по часовой стрелке, если смотреть в направлении распространения волны.

Для аналитического представления полей E и H в плоских волнах, распространяющихся в произвольном направлении, используют понятие волнового вектора k , который по величине равен волновому числу k и направлен в сторону распространения

143

волны. Выражение для вектора E в этом случае можно представить в виде

− j (k

x+k

y +k

z )

e− jkr

E(x, y, z) = E

= E

(5.16)

где k x , k y , k z - проекции вектора k

на оси x, y, z

декартовой системы

координат.

5.1.2. Примеры решения задач

Задача 5.1 (волны в идеальном диэлектрике)

Плоская электромагнитная волна распространяется в свободном пространстве (вакууме). Задана комплексная амплитуда магнитного поля

R	R
&		−i ( ky+ϕ) ,
H ( y) = − z0 H 0 e

Где начальная фаза ϕ = 600 . Определить:

1)Комплексную амплитуду электрического поля,

2)Мгновенные значения векторов Е и Н ,

3) Определить амплитуды полей Е0 и Н0 , если при t = 0 в точке

y = 0 величина вектора Е равна 1 В/м,
4)	Определить величину векторов	Е и Н в момент времени
t = 10−6	c в точке с координатой y = 100 ,	если частота волны f = 1
МГц.

Решение:

Судя по зависимости Н от координаты « y», волна распространяется в

	z	R
	z

		П	y
		П	y
	R
x	E	R
x		R
		H

Рис.5.1. Правовинтовая система координат

144

положительном направлении оси « y», в эту же сторону направлен

вектор Пойнтинга. Изобразим систему координат (правовинтовую) и вектора H и П см. рис 5.1.

Так как П = [E × H ], то подберем такое направление вектора E ,

чтобы векторное произведение [E × H ] было направлено вдоль оси «y». Направление векторного произведения определяется по правилу буравчика, т.е. направлением движения правовинтового винта при его вращении от первого вектора ко второму по кратчайшему пути. Очевидно, что вектор E будет направлен по оси «x». Так как в идеальном диэлектрике вектора E и H синфазны, то комплексная амплитуда вектора E будет иметь вид

	R		R				0
&			R				0	) .
	E( y)		= x0 E0 e− j (ky +60					) .
Амплитуда Е0 определится через Н0 и волновое сопротивление
среды, поскольку

	E0		0	μ0		π Ом				Ом.
		= Z w =				π Ом			» 377	Ом.
	H 0	= Z w =		ε 0	=120				» 377
	H 0			ε 0
Таким образом, E0						= H 0 ×120π .

2) Мгновенные значения напряженностей Е и Н определяются

через комплексные амплитуды как

	&		R	0
R	R	× e jwt ]= Re x0 E0 × e j(wt-ky-60 )
E( y, t) = Re[E( y)		× e jwt ]= Re x0 E0 × e j(wt-ky-60 )

	R		R
Аналогично	&		R
Аналогично	H ( y,t) = -z0 H0 cos(ωt - ky - 600
3) Определим Е0			из условия задачи
Е( y = 0,t = 0)	= Е cos (-600 ) =1В / м.
		0

	R	cos(wt - ky - 600 ) .
	= x0 E0	cos(wt - ky - 600 ) .

) .

Отсюда

E0 = 2	В	и Н0	=	E0	=		2	= 5.305 ×10−3 A	.
				Zw0		120π
	м							м
4) Чтобы определить мгновенное значение векторов E или										R
										H

в заданной точке, подсчитаем значение фазы волны в этой точке для данного момента времени t . Для этого найдем значение волнового числа k . Поскольку фазовая скорость в вакууме равна с- скорости света, то

k = w	=	2p106	=	2p	10	−2 1	.

c	3 ×108		3			ì

e = e0er ,

145

Фаза волны в данной точке в заданный момент времени определится как

Ô = wt - ky - 600 = 2p ×106 ×10−6 - 2π 10−2 ×100 - 600 = 1800 . 3

Мгновенные значения векторов E и Н будут

cos1800

5.305 ×10−3

E = x0 E0

= -x0

H = -z0 H 0

= z0

Задача 5.2. (волны в средах с потерями)

Плоская электромагнитная волна с частотой f = 1МГц

распространяется в морской воде с параметрами e r	= 81, s = 1	1		.
			× ì
	Îì

Определить фазовую скорость, длину волны, коэффициент затухания и волновое сопротивление среды.

Решение:

Вначале определим tg , при этом учтем, что по условию задачи известна относительная диэлектрическая проницаемость ε r ,

а в формулы входит полная диэлектрическая проницаемость

где e0 =	1	10	− 9	Ô	. Кроме того, не задана магнитная проницаемость
	36p			ì

воды, но известно, что вода не является ферромагнитным
веществом и, поэтому m = m0 = 4p ×10−7							Ãí	. Согласно (5.5)

						ì
tgD =	s	=	36p ×109	=	2 ×103	» 2.22 ×102 .
			2p ×106 × 81
	we			9

Так как tg >> 1 , то на этой частоте морская вода ведет себя как проводник, т.е. амплитуда плотности тока проводимости много больше амплитуды плотности тока смещения. Определим k′ и k′′ по формулам (5.11).

			2π ×106	× 4π ×10− 7 ×1
k ¢ » k¢¢ »	ωμσ				1
		=			=1.987		.
	2			2		м

Совершаемая при этом ошибка по отношению к точным формулам (5.7) не превышает 4 ×10−3 . Таким образом, коэффициент

затухания равен k¢¢ =1.987 1 .

Определим фазовую скорость и длину волны

146

vф

2π ×106

= 3.162 ×10

6 м

λ =

2π

= 3.162м.

k¢

1.987

k¢

1.987

Сравним эти значения с фазовой скоростью в пустоте (а) и в

дистиллированной воде с параметрами εr

= 81, σ = 0

(б).

vф = с = 3 ×108

;

λ0

= 300м;

б) vф =

3 ×108

= 3.333 ×10

λ =

vф

= 33.33

;

м.

ε r

Определим волновое сопротивление среды

× cos D

Z w =

× e

Поскольку tg

≈ 222 >> 1то cos D =

D » 900 .

tgD

1 + tg 2 D

4π ×10− 7 × 36π ×109

μ0

i450

×e

» 2.811× e

Ом .

Z w

ε0ε r tgD

81× 222

Задача 5.3 (вектор Пойнтинга в поглощающей среде)

Плоская

электромагнитная

волна

частотой

f = 108 Гц

распространяется в среде с параметрами εr

= 2.25,

= 0.4, μr = 1.

Амплитуда электрического поля в плоскости

z = 0 равна 100 В/м.

Определить

среднюю

плотность

потока

мощности

плоскости

z = 1м и ослабление волны на этом расстоянии.

Решение:

Найдем угол потерь D = arctg0.4 » 0.38 рад = 21.770 .

Определим волновое сопротивление среды

i 2

μ × cos D

= 120π

cos 0.38

i0.19

Z w =

= 242.2e

Ом .

2.25

Определим среднюю величину вектора Пойнтига в плоскости

z=0 по формуле (5.11)

−i0.19

= 20.27 Вт .

Пср(0) =

cos(0.19)

242.2

2 ×

242.2

Определим коэффициент затухания по формуле (5.7)

						147
				=	2π108
	1							1	(-1 +		) = 6.1656 ×10−1 1
k¢¢ = k0		(-1 +	1 + tg 2D)							1 + 0.42			.
						2.25
						2.25	2
2			3 ×108				2					м
На расстоянии 1 м затухание вектора Пойнтинга составит
e2k¢¢×1 = 3.432			или L = 10 lg(e2k¢¢×1 ) = 5.355 дБ.

Задача 5.4 (произвольное направление распространения волны)

Плоская волна распространяется в вакууме. Магнитное поле описывается выражением:

R R

H (x, y, z,t) = H0 cos(vt - px - py + p 2z) .

1.Записать комплексную амплитуду напряженности магнитного

поля.

2.Определить частоту и направление распространения волны.

3.Установить связь волнового вектора с векторами E и Н .

Решение:

1. Заменим в выражении для H функцию cos на экспоненту от мнимого аргумента. Полученное выражение называется комплексом вектора H

i(ωt −πx−πy+π 2z)

iωt

H (x, y, z, t) = H 0 × e

- j(px+py-p 2z)

= H (x, y, t) × e

- комплексная амплитуда

где H (x, y, z)

H 0

× e

магнитного поля.

Аналогично запишется комплексная амплитуда вектора E

- j(px+py-p 2z)

E(x, y, z) = E0 × e

2. Сравнивая выражение фазового множителя с формулой

(5.16) приходим к заключению, что проекции волнового вектора равны

kx = k y = π ; kz = −π 2 .

Величина волнового вектора определится как k = k x2 + k y2 + k z2 = π 2 + π 2 + 2π 2 = 2π .

Поскольку в вакууме k = ω = 2πf , то f = 3 ×108 Гц . c c

148

На рисунке 5.2 показана связь углов	a, β ,γ с вектором		k и
осями x, y, z .
Направление распространения волны		определяется углами
a, β ,γ , связанными с волновым вектором	k	и осями x, y, z	через

соотношения.

cos α = k x	= 1	; cos β = k y		= 1	;	cos γ = k z	= −	2	;
k	2		k	2		k		2
Отсюда α = β = 600 ;			γ = 1350 .

3. Получим формулу, связывающую волновой вектор и вектора поля при отсутствии токов проводимости Для общности рассмотрим случай магнитодиэлектрика, в том числе и анизотропного, не уточняя конкретной зависимости между

векторами

D и E, B и H . Воспользуемся

первым

уравнением

Максвелла в комплексной форме.

rotH = jwD

Представим rotH в виде определителя и учтем, что

∂

e− jkr

= - jkx

× e− jkr ;

e− jkr

= - jk y

×e

− jkr ;

e− jkr

= - jkz

× e− jkr

¶x

¶y

¶z

, y0 , z0

x0 ,

y0 ,

rotH (x, y, z) =

- jk x ,- jk y ,- jk z

= - j[k

× H ]=

jwD .

¶y

¶z

¶x

H x ,

H y , H z

H x , H y , H z

R R

Отсюда получаем соотношение между векторами k , H и D

R R

(5.17)

ωD = -[k × H ].

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2815 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023196.13 Кб1Электромагнитная экология..pdf
#
05.02.2023652.23 Кб9Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб6Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб29Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб7Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб24Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб30Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб33Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб16Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб9Электроника 1. Физические основы электроники.pdf
#
05.02.2023688.65 Кб7Электроника 2. Электронные приборы.pdf