Электромагнитные поля и волны.-5

119

kn −

Фkn = M kn I n ,

(4.35)

где

Ô

магнитный

поток (потокосцепление), обусловленный

током контура Ln

и проходящий через поверхность, ограниченную

контуром Lk .

Формула (4.34) дает возможность вычислять в конкретных

случаях взаимные индуктивности по одному лишь взаимному

расположению контуров.

Как видно, взаимная индуктивность

контуров Lk и Ln

зависит только от параметров среды, взаимного расположения и

не изменяется при перестановке индексов (свойство взаимности):

M nk = M kn .

(4.36)

4.5. Примеры решения задач

Задача № 1

Определить поле

Н

прямого провода.

Прямолинейный ток

направлен по оси Z цилиндрической системы координат (рис. 4.3).

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами: Если проводник

бесконечен, то магнитные силовые

линии

являются

концентрическими

окружностями и поле определяется из

уравнения (4.5).

∫ Hdl = I

или

L

R

R

R

R

∫ (r0 H r + α

0 Hα + z0 H z

)α 0 rdα = I ;

l

2π

∫ Hα rdα = I ,

откуда

Hα r × 2π = I

0

R

=

I

R

; H

α 0 .

2π r

Рис. 4.3

Второй

способ

-

применениe

R

закона Био-Савара (4.13). Запишем R в цилиндрической системе

координат. Из рис. 4.3

R

R

R

R

R = r sin(π −θ )+ z cos(π −θ )= r sinθ − z cosθ ;

0

0

0

0

I

∞

[dz

,R ]

H =

−∫∞

.

и

4π

R2

R

R

, R] в цилиндрической системе

Векторное произведение [dz0

имеет решение

R

R

R

r0

α

0

z0

0dzsin(π − θ ) =

r

,

] =

0

0

α z

=

α

0 sin θdz =

α

α

0

dz.

R

[dz

sin θ

0

− cosθ

R

Определяем магнитное поле:

R

I ∞

r

R

I

+∞

r

H = α0

−∞∫

dz

= α0

−∞∫

dz

4π

R3

4π

(

)3/2

r2 + z2

rdz

=

d

z

Преобразуем

3/2

(

a2 + b2 )

rdz r2

+ z2

R

R I

z

Окончательно

H

= α

1∞∞

4π r

r 2 + z2

R

R

I

Ответ: H

= α 0

.

2π r

Задача № 2

При изготовлении пластмассовой пленки широкая тонкая

полоска

протягивается

со

скоростью

V

через

два

последовательно

расположенных

ролика (см. рис. 4.4). В процессе

протягивания пленка приобретает

Рис.

поверхностную

плотность

заряда

122

Отсюда получаем Η = η

или Η = ξυ .

2

2

Задача № 3

По двум параллельным, прямолинейным

I1

I2

проводникам

текут

токи

I1 = 2A

и

I 2

= 1A .

Расстояние между проводниками l (

рис.

4.6 ).

r

Где расположена линия, на которой магнитное

l

поле равно нулю?

Решение:

показывают,

Уравнения

Максвелла

что

Рис.4.6

напряженность магнитного поля на расстоянии

r от постоянного

прямолинейного

тока

I

определяется

из

R

= 2π rH ,

соотношения

∫ Hdl

а циркуляция

вектора Н, согласно

L

(4.30), равна току I. Следовательно, для первого и второго провода

запишем уравнения

H =

I1

;

H

2

=

I2

. (4.34)

1

2π r

2π (l −r)

I1

=

I2

;

2

=

1

;

2π r 2π (l −r)

2π r

2π(l −r)

Ответ: r = 2l / 3

Задача № 4

Постоянный ток I протекает по проводнику

квадратной формы (рис. 4.7). Определить

координаты точки, где магнитное поле,

возбужденное током, является максимальным.

M

используя

(4.34),

найдем поле

Н от каждой пары H M 1 =

I

;

2π x

H Ì 2

=

I

.

2π (a − x)

Аналогично

H M 3 =

I

;

H Ì

=

I

;

4

2π y

2π

(a − y)

Суммарное поле

4

I 1

1

1

1

H ∑ = ∑ H Mi =

+

+

+

.

i=1

2π x a − x

y a

− y

Ищем экстремум по Х

dH ∑

= 0 =

I

−

1

+

1

.

2

(a − x0 )

2

dx

2π

X 0

Отсюда

x02 = a 2 − 2ax02 + x02 ; 2x02 = a; x0 = a / 2 .

Аналогично, получаем

y0 = a / 2 .

Следовательно, внутри квадрата магнитное

поле будет

максимальным и равным.

Ответ: H макс = 4

I

=

4I

.

a

2π

π a

2

Задача № 5

По трубчатому проводнику с радиусами

R 2 > R1 (рис.

W M = μ

R

2

1

∫

H

dV =

I

2 L

2

2

124

внешнюю. Определим в этой задаче только внутреннюю

индуктивность, поскольку для решения внешней задачи не хватает

данных – не задан внешний контур с током.

Определим I (r) и Н(r) в разных точках поперечного сечения

рисунка 4.7.

Для

этого

воспользуемся

законом

полного

тока.

∫ HdL = I , в котором I

есть ток, пронизывающий контур L . Согласно

L

этому закону, магнитное поле внутри трубы

(r < R1 )

будет равно

нулю, поскольку нет тока, пронизывающего контур в этой области.

Внутри

проводника

(R1 ≤ r ≤ R2 )

контур

радиуса

r

будет

пронизываться частью полного тока.

I (r ) = π (r 2 - R2 ).

1

Очевидно, что величина I (R2 )

дает полный ток в трубе.

Магнитное поле внутри проводника определится как

H (r ) =

I (r )

=

j (r

2 − R 2 )

1

2π r

2 r

.

(4.36)

Подставим полученное выражение в формулу для магнитной

энергии (3.16) и будем интегрировать по объему проводника

длиной l. Поскольку подынтегральная функция Н(r) зависит

только

от r , то элемент

объема

удобно

представить

в

виде

dV = L × 2π rdr .

Определим магнитную энергию поля внутри проводника трубы

M

μ

j 2×l ×2π R2

r

2

2

2

μπ j2 ×l 1

4

1

4

2

2

4

4×

R2

1

2

W

=

×

(r

- R

)

dr =

R

-

R

- R

R

+ R

+ R

ln

=

I

L.

R∫ r2

2

4

1

4

4

2

4 1

1 2

1

1

R1

2

1

Откуда получаем L в виде следующего соотношения:

μ × l

1

3

R2

L =

R24 +

R14 - R12 R22

+ R14 ln

.

2π (R2 - R

2 )2

4

4

R1

2

1