Электромагнитные поля и волны.-5
.pdf
99
действуют 3 силы, результирующая сила - векторная сумма трех составляющих:
F = F1 + F2 + F3 ,
где |
F1 |
- сила |
|
взаимодействия между |
зарядами |
|
+q1 и q; |
|
|
|
|
|
|
F2 |
сила |
взаимодействия |
между зарядами −q2 и q ; |
F3 сила |
||
взаимодействия между зарядами −q3 и q . |
|
|||||
Находим расстояния r , r |
, r |
между зарядами |
|
|||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
r |
|
= 2a = 8см, |
|
|
|
|
2(−q 2 − + q) |
|
|
|
|
|
|
r1(+q1 - + q) = 
4а2 + 4в2 =10см,
r3 (−q3 − + q) = 2b = 6см
Представим силу F1 в виде проекций на оси х и у
R |
R |
R |
q |
2 |
|
|
q |
2 |
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
||||||
F = (x0 cosα + y0 sinα)× |
|
|
|
= |
|
|
|
(0.8x0 |
+ 0.6y0 ) |
||
4πεr |
|
4πεr |
|
||||||||
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||
Поскольку сила F2 направлена против оси х , то проекция результирующей силы на ось х будет равна
F |
= F |
- F = |
q 2 |
× 0.8 |
- |
q2 |
= - |
q |
2 |
0.0076 |
|
|
|
|
|
||||||
x = |
1x |
2 |
4πεr12 |
|
4πεr22 |
|
4πε |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично, определится проекция результирующего поля на ось у
F |
y = |
= F |
- F = |
q 2 |
× 0.6 |
- |
q 2 |
= - |
q |
2 |
0.0218 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
1y |
3 |
4πεεr12 |
|
4πεεr32 |
|
4πε |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Величина результирующей силы составит
|
|
|
= |
q2 |
|
||
Ответ: F = |
F 2 |
+ F |
2 |
0.0231 |
|||
y |
4πε |
||||||
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Задача № 13. Определение энергии Определите энергию электрического поля,
запасенную в объёме цилиндра радиуса R = 1м и длиной l = 1м. Ось цилиндра совпадает с осью OZ (см. рис. 3.10). Потенциал внутри цилиндра известен ϕ = x2 + y2 .
Решение:
Рис. 3. 10
100
Определим энергию электрического поля, запасенную в объёме |
||||
цилиндра по формуле (3.16), где плотность энергии равна wý = |
1 |
e Å 2 , |
||
|
||||
|
2 |
|
|
|
выразим потенциал ϕ = x2 + y2 = r 2 и |
элемент объема цилиндра |
в |
||
цилиндрической системе координат |
dV = rdrdαdz . Напряженность |
R |
||
E |
||||
и ϕ определим по формулам (3.14). Тогда, в общем виде, энергия бет представлена выражением
|
1 |
|
1 |
|
¶ r¶j |
1 |
R l 2π |
2 |
|
4 |
|
|||
WÝ = |
|
∫rjdV = |
|
∫ - er |
|
|
|
×rdV = - |
|
∫∫ ∫ |
4e × r |
r drdadz = -epR |
L . |
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
2 V |
2 V |
¶r |
¶r |
0 0 0 |
|
|
|
|
|||||
Ответ: π ×ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача № 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В сферическом конденсаторе с радиусами оболочек |
|
R1 и R 2 , |
||||||||||||
заполненном воздухом, |
на внешнюю оболочку подан потенциал U , |
|||||||||||||
внутренняя оболочка заземлена. Определить потенциал ϕ ,
напряженность электрического поля E , вектор электрического смещения D , заряд q , ёмкость C .
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
В |
уравнении |
Лапласа |
(3.5,а) |
Ñ2ϕ = 0 |
|
|
для |
сферического |
|||||||
конденсатора, обладающего |
угловой симметрией |
производные |
|||||||||||||||||||
|
∂ |
|
|
∂ |
0 , |
поэтому |
оно |
записывается |
1 |
|
d |
|
|
dϕ |
) = 0 . Откуда |
||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
(r 2 |
|
|
|||||||
|
¶θ |
|
¶α |
r 2 |
|
dr |
dr |
||||||||||||||
r2 |
dϕ |
= А |
. |
Интегрируя , |
получим |
выражение |
для потенциала |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ = ∫ |
|
A |
dr = - A/r + B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для определения констант А и В используем граничные условия
При r = R1 |
ϕ = 0 , откуда B = |
A |
|
|
R1 |
||||
|
|
|||
При r = R2 |
ϕ = U A = UR1R2 /(R2 − R1 ) |
|||
101
Следовательно: ϕ = UR1 R2 × r − R1 .
R2 - R1 R1r
Легко убедиться, что граничные условия удовлетворены.
ϕ = U при r = R 2 и ϕ = 0 при r = R1.
Напряженность электрического поля внутри конденсатора
Еr = - |
dϕ |
= - |
UR1 R2 |
1 |
, |
|||
dr |
R |
2 |
- R |
|
r 2 |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
а вектор электрического смещения
Dr = ε0 Er = −ε |
|
UR1R2 1 |
||||
0 |
|
|
|
. |
||
R − R |
r2 |
|||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
Поверхностная плотность заряда на внутренней оболочке
ξ = D |
|
= -ε |
|
UR2 |
× |
1 |
. |
||
r |
0 R |
|
- R |
|
|||||
|
|
2 |
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
Заряд конденсатора q = ξ 4π R12 ,
ёмкость
C = |
q |
= ε |
|
4πR2 R1 |
. |
||
|
|
||||||
U |
0 R |
2 |
- R |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3.3. Задачи для самостоятельного решения
3.3.1. Краевые задачи электростатики
Задача№1 Расчет емкостей
Определить емкость плоского двухслойного конденсатора, размеры которого показаны на
рис. 3.11. |
Рис. |
|
102
Ответ: c = |
|
|
e 1×e 2 S |
|
. |
||
|
ε |
2 |
d +ε (d |
2 |
−d ) |
||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
||
Задача № 2
Цилиндрический электронный поток радиуса R и величиной I0
движется со скоростью v0 . Прямым интегрированием уравнения для потенциала найти потенциал и напряженность радиального
электрического поля |
Er |
на границе, которая действует на пучок и |
||||||||
способствует его расфокусировке. |
|
|
|
|
||||||
Ответ: j= -( |
I 0 |
|
+ |
C |
Er = -( |
I 0 |
+ |
C |
) . |
|
|
|
|
), |
|
|
|||||
2e a v0 R 2 |
|
e a v0 R3 |
R 2 |
|||||||
|
|
R |
|
|
|
|||||
Задача № 3 Определить напряженность электрического поля на
прямой, являющегося осью симметрии равномерно заряженного кольца (рис. 3.12) пренебрежимо малой толщины, если его радиус есть r , а полный заряд кольца
равен q . |
|
|
|
Рис. |
|
Ez = |
q × z |
|
|
|
|
|||
Ответ: |
|
. |
|
|
4π ε 0(z 2 + r 2 )3 2 |
||||
Задача № 4 Найти выражение электростатической энергии
для сферического конденсатора, изображенного на рис. 3.13.
Ответ: W Ý = q 2 (R2 - R1 ) .
Задача № 5 Используя условия теоремы единственности,
произведите выбор произвольных постоянных в
выражении |
|
для |
потенциала |
|
||||
j = (C |
λ |
× 1 |
λ |
+ D × r |
λ )× (A × cos l × a + B ×sin l × a) |
в области |
|
|
|
r |
λ |
λ |
λ |
|
|
||
2
2 |
Рис. 3.13
V . Изображенной на рис. 3.14. |
Рис. 3.14 |
|
: Ответ: Cλ = Aλ |
= 0 , λ = n . |
|
Задача № 6 |
|
|
Определите энергию электростатического поля, запасенную в |
||
объёме цилиндра |
радиуса R = 1 и длиной |
l = 1. Ось цилиндра |
103
совпадает |
с осью |
OZ . Потенциал |
внутри |
цилиндра известен |
||
ϕ = x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1 |
×π ×ε . |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 7 |
|
|
|
|
||
Найти распределение потенциала |
ϕ |
и |
|
|||
напряженности поля между электродами, |
|
|||||
изображенными на рис. 3.15. Пластины при |
Рис. 3. 15 |
|||||
r = 0 изолированы |
друг от друга |
и |
|
|||
бесконечны в направлении r . При решении
учесть, что ϕ зависит только от цилиндрической координаты α .
Ответ: j = |
U 2 − U1 |
× a + U1 |
, Eα = - |
U 2 −U1 |
. |
|
|
||||
|
a0 |
|
r ×a0 |
||
Задача № 8 Во сколько раз увеличится ёмкость 
двухслойного конденсатора (рис. 3.16), если 
толщину первого слоя сделать равной нулю. 
ε 2 = 2 ×ε1 . Рис.
Ответ: В 13 раза.
Задача № 9 Грозовая туча, имеющая площадь 8км2 ,находится на высоте 1,5
км от поверхности Земли. Между тучей и Землей образуется постоянное электрическое поле с напряженностью всех точках. Оцените энергию поля
Ответ: 4,78 ×109 Дж .
Задача № 10 При проведении испытаний на электрический пробой
коаксиальной линии передачи, образованной двумя цилиндрами с радиусами ( R 2 > R1 ) было получено, что пробой наступает при разности потенциалов U0 . Затем радиус внутреннего цилиндра был сокращён вдвое.
Определите для новой системы пробивную разность потенциалов.
Ответ: U = U 0 [1 + ln2 / ln(R2 / R1 )].
Задача №11
104
Заряженный металлический шар, радиусом 3 см находится в воздухе. Известно, что при напряжённости поля 30 КВ/см в воздухе
происходит пробой. |
|
|
|
|
Определите |
предельно |
допустимый |
заряд |
шара, |
обеспечивающий отсутствие пробоя. |
|
|
||
Ответ: 6,857 ×10−9 |
Кл. |
|
|
|
Задача №12 |
|
|
|
|
Бесконечная металлическая плоскость 6,6 ×10−12 Кл/м2. |
Найдите |
|||
величину полей |
Е и D в пространстве вблизи |
поверхности, |
||
предполагая проницаемость ε а |
= ε 0 . |
|
|
|
Ответ: Е = 0,373 В/м; D = ±3,3 ´10−12 Кл/м3. |
|
|
||
Задача № 13 Два бесконечно длинных коаксиальных цилиндра с радиусами
R1 =1 см, R 2 = 2 см, выполненные из металла образуют конденсатор.
Пространство между цилиндрами заполнено воздухом. Определите ёмкость конденсатора на единицу длины.
Ответ: |
0,08 ×10−9 Ф / м = 0,08 пФ / м. |
Задача |
№ 14 Задан потенциал j = 2 × r 2 - 4 , где r - |
цилиндрическая координата. Определить объёмную плотность
заряда, создающее это поле, (считать ε = ε 0 ).
ϕ1
Ответ: - 8 × e0 .
Задача №.15 Исходя из условия теоремы единственности, произведите выбор произвольных постоянных в выражении для потенциала в области V, для координатной системы, показанной на рис. 3.17.
(r,α)
V
ϕ=0
Рис. 3.17
j = (C |
λ |
× 1 |
+ D × r λ )×(A ×cos(l ×a) + B ×sin(l ×a)) |
q |
|||
|
r λ |
λ |
λ |
λ |
|
||
Ответ: Cλ = Aλ = 0 . |
|
|
a |
||||
|
|
M |
|||||
Задача №.16 Над положительно заряженной, |
2a |
||||||
|
|||||||
металлической |
плоскостью |
с |
поверхностной |
Рис. 3.18 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
105
плотностью заряда ξ помещен точечный заряд + q . На какой высоте h сила, действующая на заряд равна нулю?
h = |
1 |
× |
q |
|
4 |
π ×ξ |
|
||
Ответ: |
|
|
|
|
Задача №.17 |
Каков потенциал ϕ в точке M , создаваемый |
|||
точечным зарядом q , расположенным над идеально проводящей
плоскостью, как показано 3.18? Ответ: j = - .
Задача № 18 Определите энергию электростатического поля, запасную в объёме цилиндра радиуса R = 1 и длиной l = 1. Ось
цилиндра совпадает с осью OZ. Потенциал j = x 2 + y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: ε ×π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 19 Металлический шар радиусом а помещен в поле |
||||||||||||||
Е |
заданное |
уравнением |
j(r ) = E |
(a3 |
|
2 - r )cos q . |
Определить |
||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхностную плотность заряда |
ζ на шаре, если ∂ϕ = En . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶n |
|
|
|
|
|
|
Ответ: z = 3 × e × E0 cosq. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача № 20 Во сколько раз увеличится ёмкость двухслойного |
|||||||||||||||
конденсатора рис. 3.19, |
если толщину первого |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
нулю. |
ε 2 = 2 ×ε1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
слоя |
сделать |
равной |
|
при |
ε1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
сохранении расстояния между пластинами равно |
ε2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
2d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: В 3/2 раза |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.19 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача № |
21 Диэлектрическая проницаемость |
среды равна |
|||||||||||||
e = x × e0 . Найти выражение для напряженности поля E1 , полагая, что объёмные заряды отсутствуют. Какой из ответов верен ( поле зависит только от x, A − const )?
Ответ: EX = A x .
106
Задача № 22 Над землёй на высоте h подвешен провод с зарядом τ на единицу длины. Как изменится электрическая сила, действующая на провод, если его опустить до высоты
Ответ: Сила увеличится в 2 раза.
Задача № 23 При x > 0 диэлектрическая проницаемость зависит
от |
x по закону e = |
e0 |
1 + x |
. Определить потенциал ϕ полагая, что он
зависит только от x и объемные заряды отсутствуют.
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
Ответ: j = C1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
× x + |
2 |
+ C2 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Задача № |
24 |
Вектор напряженности электрического поля |
|||||||
|
= 3 × x 2 ×i + 3 × y 2 × |
|
. |
Найти разность потенциалов между точками |
||||||
E |
j |
|||||||||
M1 (1,1,0) и M 2 (0,0,0) ϕ (M |
) − ϕ (M |
2 |
) . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Ответ: -2
Задача № 25 Какое из приведенных выражений соответствует потенциалу изображенного на рисунке плоского конденсатора (см. рис 3.20?
ϕ = -U 0 |
x |
|
y |
|
d |
ϕ = 0 |
-x |
Ответ: j = - |
U 0 |
× x -U 0 . |
Рис. 3.20 |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 26 Какова сила, действующая на |
|
|
|
|
q |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
точечный заряд q , находящийся над идеально |
a |
|
|
|
||||||||
проводящей плоскостью (см. рис. 3.21)? |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
R |
|
|
|
i × q |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: F |
= - |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
16 × p × e × a2 |
|
|
Рис. 3.21 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача № 27 Чему равен потенциал поля, если вектор напряженности электрического поля равен E = A ×x0 ×sin(k × x) ?
Ответ: ϕ = A × cos(k × x) + B . k
Задача № 28 Разделить переменные в уравнении и записать частное решение, где D − const .
д2U + D × дU = 0 |
|
дx 2 |
дt |
107
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: U = Cλ × exp |
- |
|
|
|
× t |
× sin l × x . |
|
||||
D |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача № 29 Определите поле |
E2 , если |
||||||||||
поле E1 = 2 × z × i + 3 × y × |
|
+ |
|
. |
|
Какой из |
ответов |
||||
j |
k |
|
|||||||||
верен? На границе поверхности заряды
отсутствуют |
|
(см. |
рис. |
3.22). |
Ответ: |
||||
E2 = 2 × z ×i + 3 × y × |
|
+ e1 |
|
× |
|
. |
|
|
|
j |
e |
k |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
I |
ε1 |
|
II |
ε |
y |
2 |
||
x
Рис. 3.22
Задача № 30 На большом расстоянии от системы тел, расположенных вблизи начала координат, потенциал
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
. Определить полный заряд тел. |
|||
поля имеет вид j = |
|
|
|
|||||||||
2 × p × e × |
|
|
||||||||||
x 2 + y 2 + z 2 |
||||||||||||
|
|
Ответ: 10. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Задача № |
31 Дана напряженность |
электрического поля |
||||||||
|
|
= 2 × y × |
|
+ 2 × z × |
|
. |
Полагая, что в точке z = 0 , |
y = 0 потенциал равен |
||||
|
E |
j |
k |
|||||||||
нулю, найти ϕ в любой точке пространства. |
|
|||||||||||
|
|
Ответ: ϕ = −(z2 + y2 ) + c . |
|
|||||||||
Задача № 32 В поле точечного заряда перемещается заряд
(- 2 × q) из ∞ в точку, отстоящую от первого заряда q на расстоянии r . Чему равна работа поля при этом?
|
|
q 2 |
|
Ответ: |
A = |
|
. |
2 × p × e × r |
|||
Задача |
№ 33 Потенциал электростатического поля задан |
||
уравнением j = a × x3 + b × y 2 . Определить заряд, сосредоточенный в единичном кубе, рёбра которого совпадают с осями декартовых координат.
Ответ: q = -(6 × a + 2 ×b)×e .
Задача № 34 Поле в пространстве создается системой длинных, параллельных оси Z электродов, расположенных вблизи неё. Длина их столь велика, что поле, создаваемое ими, можно считать не зависящим от Z. Потенциал поля вдали от этой системы равен
|
|
cos α |
где α , r - цилиндрические координаты. Чему равен |
||
j = - |
|
|
, |
||
|
4 × p × e0 × r |
||||
полный заряд на единицу длины электродов? |
|||||
|
Ответ: + |
1 |
. |
||
|
|
|
|
2 |
|
108
Задача № 35 Плоский конденсатор образован двумя пластинами радиуса R , находящимися на расстоянии d одна от другой. Нижняя пластина заземлена. Заряд верхней пластины равен +q . Определить потенциал поля в плоскости d/2 . Краевыми эффектами пренебречь.
Ответ: j = q × d .
2 × p× e × R 2
Задача № 36 Как изменится ёмкость плоского конденсатора, если диэлектрическую проницаемость заполняющей его среды увеличить в 2 раза, а площадь обкладок уменьшить в 4 раза?
Ответ: Уменьшится в 2 раза.
Задача № 37 Какое из приведенных выражений соответствует потенциалу ϕ в точке О , создаваемому заряженной нитью с линейной
плотностью |
заряда |
τ , |
имеющей |
вид |
|
полуокружности (см. рис. 3.23)? |
|
|
|||
Ответ: j(0) = |
τ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 × e0 |
|
|
|
|
+ τ
4a
0
Рис. 3.23
Задача № 38 Какой из приведенных ниже векторов может быть вектором напряженности электростатического поля?
Ответ: A = y × x ×i + x × z × j + x × y × k .
Задача № 39 Определить напряженность поля E во второй области, если E1 = 3 × z × i + 5 × x × j + 2 × k . Граница в плоскости ZOX
см. рис. 3.24 .
Ответ: E 2 = 3 × z × i + e1 e2 × 5 × x × j + 2 × k
x |
|
ε 2 |
|
ε 1 |
z |
y |
|
Задача № 40 В области |
с равномерно |
Рис. 3.24 |
||||
распределенным |
объёмным |
зарядом |
с |
|
||
плотностью ρ |
0 |
, |
потенциал ϕ |
зависит |
только от |
x . Найти |
|
|
|
|
|
|
|
выражение для ϕ , где ϕ , A, B, C – const .