Электромагнитные поля и волны.-5

89

Задача №4 Между пластинами плоского конденсатора расположены два

слоя диэлектрика с проницаемостями ε1 и ε 2 . Размеры слоев показаны на рисунке. 3.3. Определить потенциал, напряженность поля и емкость конденсатора.

Решение:

Пространство между пластинами разбиваем на две области: область Ι с диэлектриком, имеющую диэлектрическую проницаемость ε1 и область ΙΙ, имеющую диэлектрическую проницаемость ε 2 . Для каждой из областей запишем уравнение Лапласа, т.к. ρ = 0 и его решение.

Для первой области

d 2 ϕ1 = 0 , ϕ1 = Ay + B . dy 2

Для второй области

Для определения четырех неизвестных констант А, В, С, D нужно использовать четыре граничных условия:

При

В результате будет получена система:

0 = A × 0 + B

Решение системы этих уравнений даёт определение констант

А, В, С, D

B = 0 , A = (ε 2 / ε1 ){U / d (ε 2 / ε 1 − 1) + b} , C = U /{d (ε 2 / ε1 − 1) + b} ,

D = (U (ε 2 / ε 1 − 1)d ) /{d (ε 2 / ε1 − 1) + b} .

Потенциалы в областях имеют вид и удовлетворяют граничным условиям:

91

Общее решение этого уравнения будет иметь вид ϕ = A ln r + B и

для областей 1 и 2 запишется в виде:

ϕ1 = A1 ln r + B1 ; R1 ≤ r ≤ R2 (3.22) ϕ2 = A2 ln r + B2 ; R2 ≤ r ≤ R3 (3.23)

Для определения потенциала в данной, конкретной задаче необходимо определить неизвестные постоянные: A1 , A2 , B1 , B2 .

Для этого надо воспользоваться четырьмя граничными

поверхности проводника конденсатора. Используем первое граничное условие:

ϕ2 = A2 ln R3 + B2 = 0

откуда получим

− A2 ln R3 = B2

и, следовательно,

92

ϕ2 = − A2 ln R3 . r

Из второго граничного условия

93

Из их сравнения следует, что потенциал непрерывен на границе раздела диэлектрик – диэлектрик при r = R 2 Далее запишем выражения для Еr1 , Еr 2 ,Dr1, Dr 2 .

Задача №6. (Электростатические поля, создаваемые заряженными телами. Определение объемных зарядов по заданному потенциалу ϕ )

В цилиндрическом объёме задан потенциал j = 2 × r 2 - 4 . Определить объёмную плотность заряда, создающего это поле.

Решение:

Чтобы по заданному закону распределения потенциала в пространстве

ϕ(r,a, z) найти объёмный заряд, создающий это поле,

необходимо использовать уравнение Пуассона (3.5).

В нашем случае поле зависит только от r , поэтому в уравнении Пуассона записанного в цилиндрической системе координат оставляем слагаемое, зависящее только от координаты r .

выражение для объемной плотности заряда

94

Примером применения уравнения Пуассона является хорошо известная в электронике задача о нахождении распределения объёмного заряда между катодом и анодом электроннолучевой

здесь k –const ( рис. 3.5).

Определить распределение объёмного заряда между электродами и поверхностный заряд на электродах.

Решение:

Для определения объемной плотности зарядов ρ в области между электродами следует использовать уравнение Пуассона.

Потенциал зависит только от координаты х. (краевыми эффектами пренебрегаем). Поэтому получим

r(x) = -e ¶2 j = - 4 k × e × x − 2 3 . ¶x 2 9

Плотность поверхностных зарядов на катоде и на аноде определяется . граничными условиями (3.9) В нашем случае нормалью к катоду будет ось х. Поэтому поверхностная плотность заряда на катоде будет

Аналогично нормаль к аноду противоположна по направлению оси x. Поэтому для анода

95

Попробуем разобраться, почему при x → 0 объемная плотность заряда ρ ( х) → ∞ ?

Движение электронов от катода к аноду приводит к появлению

тока переноса R , величина которого в любом сечении,

jпер

параллельном плоскостям катода и анода, должна быть, неизменной и равна

δïåð = ρϑ = const , (3.28)

где ϑ – скорость движения заряда. Отсюда ρ ~ 1/ ϑ . Вылетевший из катода электрон имеет скорость ϑ , близкую к

нулевой. Поэтому вблизи катода ρ → ∞ . По мере удаления от катода электрон разгоняется, ϑ растет и ρ непрерывно падает. Так как энергия движущейся частицы

нахождения электрона с учетом влияния пространственного заряда.

Просчитайте, как изменятся потенциал и напряженность поля, если этот заряд будет находиться в воздухе?

Задача №9 Метод зеркальных отображений.

96

Получите выражение в точке М для потенциала ϕ , создаваемого точечным зарядом q , расположенным над идеально проводящей плоскостью на высоте h (рис. 3.6).

Решение: Для решения следует использовать метод зеркального отображения и принцип суперпозиции. Метод зеркального отображения заключается в том, что металлическая поверхность заменяется зеркально отображенным зарядом – q .

Используя этот метод и принцип суперпозиции, записываем выражение для потенциала в точке М .

Электрическое поле и потенциал в точках, удаленных на расстояние r от заряженной нити, определяются формулами:

Задача №10 Определить напряженность электрического поля и потенциал в

точке М , расположенной в свободном пространстве, создаваемые тонкой нитью, на которой находится заряд с линейной плотностью τ = 0,01 Кл/м. Расстояние от нити до точки М равно 1м.

Решение:

Для нити Е иϕ получены в предыдущей задаче. Тогда

Потенциал можно однозначно определить, задав точку, в которой он равен нулю, например при r = r1 ,ϕ = 0

Задача №11. Метод зеркальных отображений.

97

Над проводящей плоскостью, имеющей положительный поверхностный заряд ξ , на высоте h , параллельно ей подвешен заряженный провод с погонной плотностью заряда + τ (рис. 3.7). На какой высоте должен быть расположен провод, чтобы сила, действующая на него, равнялась

нулю? Рис. 3.7 Решение:

При решении используем метод зеркального отображения без учета заряда на плоскости и принцип суперпозиции потенциалов.

где

R1 = (h − z)2 + r 2

а

R2 = (h + z)2 + r 2 ,

При r = 0

Поверхностный заряд, наводимый заряженной нитью на проводящей поверхности при z = 0 равен

откуда высота подвеса должна быть равна

τ

h= πξ .

98

На основании этого закона, в следующей задаче находится сила, с которой проводящие плоскости действуют на точечный заряд.

Задача №12

Найти силу, действующую на точечный заряд q, помещенный на расстояниях a = 4 см и b = 3 см от двух проводящих полуплоскостей, образующих между собой прямой угол (рис. 3.8).

Решение:

Рис.

Применяем метод зеркальных изображений. Отобразим зеркально

заряд +q в проводящих плоскостях. Получим дополнительные заряды r = 1 (−q2 ), (−q3 ) , как показано на рис. 3.9а, там же нарисованы электрические поля системы. Определяем силу, действующую на заряд q со стороны трех зарядов q1, q2 , q3

(направление силы от положительного заряда к отрицательному, рис. 3.9,б). Согласно принципу суперпозиции на заданный заряд

Рис.