Электромагнитные поля и волны.-4

74

полученная выше формула для проводимости получается заменой ε на σ в формуле для емкости.

Проведем численные расчеты. Определим вначале емкость конденсато-

ра. C = ε 0ε r S =0,707 пФ, G=2·10-8 Cм, Р=U2·G=2·10-4 Вт. d

Задача № 2 (шаговое напряжение)

Заземление представляет собой металлическую полусферу, погруженную в землю, как показано на рисунке. R – радиус заземления, r - расстояние от его центра до произвольной точки

внутри земли. σ – удельная проводимость земли. К заземлению подводится ток I, который растекается в толще земли к другому заземлению, которое находится достаточно далеко. Определить сопротивление заземления, пренебрегая собственным сопротивлением металла, и шаговое напряжение на расстоянии 2м от заземления. Принять R=20 см, σ=10-2 См/м, I=1000 А (ток короткого замыкания на линии передачи)

Решение.

Поскольку расстояние до второго заземления предполагается большим, то поле в земле можно считать зависящим только от расстояния r и не зависящим от угловых координат точки наблюдения. Плотность тока в земле на рас-

чить проще, воспользовавшись методом электростатической аналогии, т.е. формулой (3.9). При этом нужно принять емкость полусферы равной половине

77

Определить напряженность магнитного поля в точке М, создаваемую отрезком линейного провода с током I. (рис.3.6а).Точка М удалена от провода на расстояние b.Проводник на рисунке выделен более жирной линией.

Решение

Рис. 3.6

Поскольку проводник с током является линейным, то воспользуемся законом Био-Савара для линейных токов (формула 3.22).

Вектор dl направим по направлению тока, показанному стрелкой. Координату l будем отсчитывать от т. О – проекции т.М на проводник. Векторное произведе-

ние [ × r ] направлено к нам и равно × α Из dl r0 dl sin .

ОМР найдем OP = l = b × tg(1800 - α ) = -b × ttgα . Дифференцируя это соотно-

шение, получим

dl = - b × dα . Учтем также, что R = b × sin(1800 - α ) = b × sinα sin 2 α

В результате поле dH в точке М от элемента тока dl будет равно

dH = sinα × dα . Проинтегрируем это выражение от угла α1 до угла α2, под b

которыми концы отрезка видны из т. М рис.3.6б). В результате получим

78

Поскольку углы α1 и α2 не завися от положения т.О, то полученное соотношение является не зависящим от выбора системы координат. Если применить эту формулу к бесконечно длинному проводу, то α1→0, α1→π. В результате cosα1 − cosα2 = 2 и формула (3.38) переходит в формулу (3.37).

Задача № 6 (поле катушки Гельмгольца)

Для создания магнитного поля в некотором объеме используются катушки Гельмгольца, которые представляют собой два параллельных витка провода радиуса «а», находящиеся на расстоянии «b» друг от друга (рис. 3.7). По

проводам течет ток I в одном направлении. Определить напряженность поля на оси витков в точке P, расположенной на расстоянии z от центральной точки О системы.

Решение Для нахождения поля в точках на оси витка (в точке Р), используем

принцип суперпозиции. Напряженность поля Н определяется суммой полей H I и H 2 , созданных каждым витком в отдельности. Поле отдельного витка можно найти, используя закон Био-Савара в дифференциальной форме (3.23).

dЗ = dЗ r + dЗ z . Для вычисления полного поля Н надо выражение dH проинтегрировать по длине витка. При интегрировании радиальная часть поля окажется равной нулю, поэтому определим только dHz.

Η = ∫ (dΗ r + dΗ z )= ∫ dΗ z .

Рис. 3.7

Рис. 3.8

Интегрирование по длине витка сводится к замене dl на длину витка 2πа.

ной l и сплошного проводника с радиусом R2.

80

В данной задаче индуктивность проще определить через магнитную энер-

гию.

Поскольку магнитное поле существует внутри и снаружи проводника, то магнитную энергию и индуктивность можно разделить на внутреннюю и внешнюю. Определим в этой задаче только внутреннюю индуктивность, поскольку для решения внешней задачи не хватает данных – не задан внешний контур с током.

Определим I(r) и Н(r) в разных точках поперечного сечения рисунка 3.9. Для этого воспользуемся законом полного тока. ∫ Hdl = I , в котором I есть ток,

L

пронизывающий контур L. Согласно этому закону, магнитное поле внутри трубы (r<R1) будет равно нулю, поскольку нет тока, пронизывающего контур в этой области. Внутри проводника (R1≤r≤R2) контур радиуса r будет пронизываться частью полного тока.

Подставим полученное выражение в формулу для магнитной энергии (3.39) и будем интегрировать по объему проводника длиной l. Поскольку подынтегральная функция Н(r) зависит только от r, то элемент объема удобно представить в виде dV = l × 2π rdr .

Определим магнитную энергию поля внутри проводника трубы

Откуда получаем L в виде следующего соотношения:

Из этой формулы при R1=0 находится внутренняя индуктивность проводника длиной l

Задача № 8 (индуктивность тора)

Определить индуктивность катушки, состоящей из N витков, намотанных на тороидальный сердечник из магнитного материала с μr 1. В поперечном сечении сердечник тора имеет форму квадрата со сторонами, равными a , внутренний радиус тора - b, (рис. 3.10).

Определить также взаимную индуктивность тора и длинного прямолинейного провода, вытянутого вдоль оси симметрии тора.

Решение

Предположим, что по катушке течет ток I. Так как магнитная проницаемость сердечника велика, то потоком рассеяния магнитного поля можно пренебречь и считать, что магнитное поле отлично от нуля только внутри сердечника. Очевидно, что магнитные силовые линии представляют собой концентри-

ждая силовая линия пронизывается N витками катушки с током I в каждом витке. Таким образом, ток ,пронизывающий каждую силовую линию равен NI, и закон полного тока для контура в виде силовой линии имеет вид

82

∫ Hdl = 2π × rH = NI , где r- радиус силовой линии.. Отсюда напряженность маг-

L

нитного поля внутри тора будет равна Hα = NI / 2π r

Индуктивность катушки может быть вычислена либо через магнитный поток (формула (3.31)), либо через магнитную энергию (формула (3.32)) Определим ее в данной задаче через магнитный поток. Контур, который пронизывается магнитным полем является сложным, состоящим из N витков провода.

Пусть Ф1 – магнитный поток, пронизывающий один виток. Тогда

Рекомендуется получить эту формулу путем вычисления магнитной энергии в сердечнике.

Определим далее взаимную индуктивность катушки и провода, лежащего на оси тороида. В данном случае лучше задаться током в проводе – I2, поскольку поле от него выражается наиболее просто – формулой (3.37).

Магнитный поток, созданный проводом, через один виток равен