Электромагнитные поля и волны.-4

каких фазовых соотношениях находятся W и W

М

? Исходя из равенства

Э

2π 2

μ0ε0

ω2 =

, доказать, что WЭ=Wм при длине волны λ = 1,41π × а .

λ

напряжение E =

U

cosω t .

Электрическая энергия равна:

d

ε

E 2

ε U

2

π a 2 d ×cos2

ω t =

ε

π × a 2

2

cos 2 ω t ,Дж.

WЭ =

0

V =

0 0

0

U 0

(1.38)

2

2d 2

2d

Магнитную энергию определим по формуле:

WМ = ∫ μ0 H 2

dV .

(1.39)

V

2

Напряжённость магнитного поля определим из закона полного тока (1.1)

r r

¶ D

r

2

¶ E

r ωU

∫ Hd l = H

× 2pr =

∫

¶t

dS

=pr

e

,

H = -e

sin wt .

L

S

0

¶ t

0

2d

Подставив значение напряжённости магнитного поля в (1.39), получим:

m0

e

0 wU0

2

2

a 2π

3

W

=

× sin

wt × d

∫ ∫ r

dr × da)

=

м

2

2d

0 0

m

0

e wU

0

2 а4

2p × d

2

1 m e2w2 p

U a 2

2

2

=

0

sin

wt =

0

0

0

sin

w t , Дж.

(1.40)

2d

4

2

4d

2

2

Ток в среде распределен с плотностью j0 (рис.

1.11) и опыт показывает, что с приложением посто-

янного магнитного поля H= , появляется дополнитель-

ная составляющая плотности тока, определяемая ра-

Рис.1.11

r

= σ E . Примем H направленным вдоль оси z.

Решение. Известна формула jпр

Напряженность электрического поля запишем по составляющим

E =

E

r

r

r

x

× x0 + E

y

× y0 + E

z

× z0

Плотность тока в произвольной точке образца будет равна

j = j′ + j0 ,

r

j = σE + k[EH= ]= σE + kH= [E,z°].

Это эквивалентно трем скалярным уравнениям

jx

= σE x + kH = E y ;

jy = σE y

+ (−k H = E x ) ;

jz = σEz . Откуда удель-

ная проводимость среды,

при

эффекте Холла, выражается

тензором:

¬¾®

σ

kH =

0

= − kH =

0 .

σ

σ

0

0

σ

r

¬¾®

Плотность тока и напряженность поля не параллельны, т.е.

jпр

= σ

.

E

1.4 Задачи для самостоятельного решения

1.1. Может ли вектор

B = B

r

r

быть вектором магнитной ин-

0

(x 0 5x

+ y0 y)

Ответ: Н =

I

.

π a

1.5.

Вектор электрического смещения задан

в пространстве в

виде

r

x

2

r

D =

x 0

Чему равен заряд в кубе с ребром а, если начало координат совмеще-

2

но с вершиной куба, а оси х, у ,z совпадают с его ребрами?

Ответ: q =

a4

Кл

2

1.6.

При

каких

условиях выполняется равенство

r

, где

div[r × H]= 0

r - радиус вектор, H вектор напряженности магнитного поля?

Ответ:

когда j пол =0.

1.7.

Вектор

напряженности

электрического

поля

задан

E = E

r

r

0

(x0 y − y0 x) cos ωt . Является ли заданный вектор E вектором электро-

магнитного поля? Определить вектор магнитной индукции.

Ответ: B =0

1.8. В сферическом объёме радиуса R

равномерно распределён гармони-

чески изменяющийся заряд с объёмной плотностью

ρ=1cosω t. Чему будет

равен ток проводимости, связанный с этим зарядом?

37

нат х и у

компоненты напряженности магнитного поля H x

и H y максималь-

ны?

Ответ:

ξ = Dz = ε 0 Ez ,

jz = H x

при у = 0, и в , jz

= H y

при х = 0, и a.

1.13. В некотором объеме свободного пространства имеются: электри-

r

r

0 (А/ м) . Заряд q=10−9 (Кл)

ческое поле E = 10y

0 (В/ м) и магнитное поле H = 15x

r

Определить силу, дейст-

влетает в этот объем со скоростью V = z 0106 ( м/ с) .

вующую на заряд, и её направление.

r

Ответ: F = F + F = 28,84 ×10−9 y°(Н) .

э

м

1.14.Задан вектор электрического поля

r

cos t sin x . Определить

E = z0 E

0

векторы B и H .

r

r

r

B

r

r

E

Ответ: B = y0 E0

cos x sin t;

H =

H = y0

0

cos x sin t .

μ

а

μ

а

1.15. Определить ЭДС, возбуждаемую в рамке потоком вектора

B = m0 H0 cos wt .

Направление вектора H показано на рис. 1.17. Среда-воздух.

Ответ: Э =

1

m H

sin wt × a 2 .

2

0

0

38

лярна проводам. Сторона треугольника равна а . Чему равно

магнитное поле в середине одной из сторон (например, точка

М)?

Рис. 1.18

Ответ:

2I

πa

3

1.19. В любой точке пространства, где существуют только токи прово-

димости и токи смещения

= gradψ (

, t) , где ψ-произвольная функция

и t.

H

r

r

Что можно сказать о векторе Е?

Ответ:

Е- экспоненциально убывает во времени

r

r 0

1.20.

Вычислить div[

,

], где

E

=

τ × r

-вектор напряженности электри-

E

r

2πε

× r

ческого поля, не зависит от времени , а r-радиус-вектор точки.

Ответ:

0

1.21. Какой вид имеет система уравнений электромагнитного поля, не

зависящего от времени в проводящей среде без сторонних токов и зарядов?

Ответ:

rotH

= δ пр;rotE = 0;divD = 0; divB = 0;

1.22.

На границе (плоскость XZ) раздела двух сред векторы

1

и

11

D

D

имеют вид

= ( 2

0 + 5

0 + 4

0 ) × ε

;

11 = (4

0 +5

0 +8

0 )×ε0 .

Опреде-

D

D 1

x

y

z

x

y

z

r

= (2

0 + 5

0 + 4

0 )

r

= (4

0 +5

0 +8

0 ). Обе среды анизотропные.

Ответ: E1

E2

x

y

z

x

y

z

Ответ: Нвнутр=ρ0V02r/2 ;

Нвне=ρ0V0a2/2r

1.26. В идеальном диэлектрике (σ=0) задано распределение вектора

=

0 sin y cos t .

H

Определить вектор

этого поля.

x

E

1 r

Ответ: E =

cos y ×sin t

z0

ε

1.27. К неоднородному диэлектрику с параметром

ε = ε 0 (1 + x) 2 прило-

жено электрическое поле

r

r

r

E = Ex x 0

+ Ez z 0 . Какое выражение будет у вектора

электрического смещения?

r

r

r

r

Ответ: ( E = E

x

x 0 + E

z 0 )·ε ·(1+х)2= D .

z

0

r

1.28. Определить циркуляцию вектора B по контуру с координатами (0,

0); (0, 1); (1, 1); (1, 0), если плотность тока проводимости

jпр = j0 xy ,

j0 ^ плXOY ; плотность тока смещения ¶

= 0 ; µ = 3µ0.

D

¶t

ческой индукции

r r

y sin xt

.

Ответ: 0,5 × cos t

D = D0

x

ортогональны, т.е.

^

. Считая j =

0 jz , показать, что

= j .

E

H

H

z

1.32. Сфера радиуса а имеет заряд

с объемной

плотностью

ρ = ρ

r 2

× sinθ . Найти полный заряд сферы Q.

Ответ: Q = ρπ 2 a3

0

a2

5

1.33. В однородном магнитном поле с напряженностью

вращается

H

Ответ: Э = -2πnNμ0 Haв sin 2πnt .

1.34. Напряженность поля в некоторой области меняется по закону

Ex

= Ea

a

; Ey = 0 ; Ez = 0 ;

x Î[a,b]. Найти объемную плотность заряда в данной

x

области, если εа = ε0.

Ответ: 4.9.

ρ = -

a

ε 0 E0 .

x 2

1.35. Задано поле вектора

:

D

κ

r

a ≤ r ≤ a,

3

при

D =

a

где r

- радиус-вектор.