Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнитные поля и волны.-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Вданном разделе рассматриваются темы:

1.Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Материальные уравнения

2.Граничные условия. Основные следствия из уравнений Максвелла.

3.Связь между векторами электромагнитного поля.

4.Определение ЭДС в контуре. Расчет электромагнитной энергии.

1.1.Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной

формах

Закон полного тока (первое уравнение Максвелла)

r	= I ,
∫ Hdl	= I ,	(1.1)

где I = ∫ jdS - полный ток, пронизывающий площадку, опирающуюся на контур

L. Закон электромагнитной индукции

r r	= −	dФ
∫ Ed l			,	(1.2)

L		dt

где Ф = ∫ B dS - поток вектора магнитной индукции, пронизывающий пло-

щадку S. Тогда, второе уравнение Максвелла запишется в виде:

∫	r r		dt	∫	r r
∫			dt	∫
	Edl	= −	d		B dS .	(1.3)
L	Edl	= −		S	B dS .	(1.3)
L				S
Постулат Максвелла (третье уравнение Максвелла)
				r
			∫ DdS = q ,			(1.4)

где q – заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S. Закон непрерывности линий магнитной индукции (четвертое уравнение)

r
∫ BdS = 0 .	(1.5)

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

rot H	= j		(1.6а)
r	= −	∂ B
rotE			(1.6б)
rotE		∂ t

divD = ρ

divB = 0

(1.6в)

(1.6г)

Плотность полного тока представляет сумму плотностей четырех токов

,	(1.7)
j = jсм+ jпр + jпер+ jст

Выражения каждого из токов приведены в таблице ниже В каждой конкретной задаче присутствует один или несколько то-

ков, соответствующих условиям задачи.

1.2. Материальные уравнения, граничные условия и энергия ЭМП

Связь векторов поля в некоторой материальной среде представляется материальными уравнениями:

B = μ H = μ0 H + M ,

(1.8)

D = ε E = ε0 E + P .

(1.9)

χm H , Тл,

Здесь

M - вектор намагниченности,

M=μ0

(1.10)

- вектор поляризации среды,

P = ε

E , Кл/м2,

(1.11)

где χm=μr-1

магнитная восприимчивость и χэ=εr-1 – электрическая восприим-

jСМ

jПР

jПЕР

jСT

плотность тока

плотность сто-

смещения

проводимости

переноса

роннего тока

∂ D

jпр = σE

jпер = ρϑ

первичный ис-

jсм =

∂ t

точник поля

чивость.

Вектор плотности тока проводимости

связан с вектором напряженности

электрического поля законом Ома в дифференциальной форме

jПР = σ E .

(1.12)

Каждая среда характеризуется относительными проницаемостями – магнитной (mr) и электрической (er) и абсолютной удельной проводимостью s.

Материальные среды по своим свойствам делятся на однородные и неоднородные, линейные и нелинейные, изотропные и анизотропные.

Неоднородными являются среды, в которых параметры μ, ε, и σ являют-

ся функциями координат. Нелинейными являются среды, в которых параметры μ, ε, и σ являются функциями самих полей. Анизотропные среды отличаются от изотропных тем, что они в разных направлениях обнаруживают различные свойства. Для таких сред μ, ε, и σ могут быть представлены виде тензора.

Тензор представляет матрицу, состоящую из 9 независимых элементов. Материальные уравнения в этом случае приобретают вид:

D =

× E , B =

× H , JПР

× Е.

(1. 13)

Переход от уравнений Максвелла в интегральной форме к уравнениям в дифференциальной форме осуществляется с помощью теорем Остроградского - Гаусса (П1.19)

∫ AdS = ∫ divAdV		(1.14)
S	V
и Стокса (П1.26)
∫ Ad l = ∫ rotAdS ,		(1.15)
L	S

где вектором A может быть любой из 4 векторов E , D , B , H .

Уравнения Максвелла имеют единственное решение, соответствующее поставленной задаче, только в том случае, когда они подчинены граничным и начальным условиям. Граница может проходить между двумя диэлектриками: граница диэлектрик – диэлектрик (Д-Д) и между диэлектриком и металлом граница диэлектрик – металл (Д-М). Граничные условия непосредственно следуют из уравнений Максвелла и определяют поведение векторов поля на границе раздела двух сред.

таблице приведены

граничные условия в

векторной форме

и для

нормальных и тангенциальных к границам составляющих полей.

Векторная форма

Д-Д

(1.16)

Д-М

(1.17)

граничных условий

− D ) =ξ

;

D1n − D2 n = ξ S;

D = о;

) = 0;

0 (E

−E

= E

;

Eτ = 0;

1τ

2 τ

B1n = 0;

(B1− B2) = 0;

B = B

;

Hτ = js;

0 (H1

−H 2 ) = J

H1τ − H2 τ = j S

Примечание. Векторы электромагнитного поля могут быть выражены друг через друга только в том случае, если каждое из них в отдельности удов-

летворяет системе уравнений Максвелла.

Удельная энергия электрического или магнитного поля определяются со-

отношениями

		μ μ	0 Н 2		В2		. wE =	ε ×ε 0 E 2	D 2		.
wн	=			=				=
wн	=		2	=	2μ μ			=	2ε ×ε
			2		2μ μ	0		2	2ε ×ε	0

Интегрирование по объему дает полную энергию электрического или

магнитного поля	WE = ∫ wE dV ,	WH = ∫ wнdV .
	V	V

1.3 Примеры решения типовых задач

Задача №1

По прямолинейному круглому проводнику радиуса R протекает ток силою I. Найти выражения, определяющие напряженность магнитного поля внутри проводника (область 1, 0 ≤ r ≤ R) и вне проводника (область 2: - R ≤ r ≤ ∞ ) .

Построить график зависимости Н(r). Определить значения Н при следующих данных: радиус проводника R=1см, величина тока I = 1А, r1 = 0,5 см и r2 = 1м.

Рис.1.1

Решение. Для решения этой задачи используется первое уравнение Максвелла в интегральной форме, т.е. закон полного тока (1.1).

Формулировка этого закона утверждает, что циркуляции вектора H

по контуру L определяется	величиной полного тока,						охватываемого этим
замкнутым контуром, как показано на рис. 1.1.						Так как элемент длины контура
					r	v
в цилиндрической системе координат равен dla						v	то
в цилиндрической системе координат равен dla						= α 0 r d α ,	то
∫	r r		2π
∫	Hd l =		∫ Hα rdα = Hα × 2π r = I ,
L			0
В области 2 контур L2 охватывает полный ток I, поэтому
	H		=	I	;		(1.18)
	H		=		;		(1.18)
		α 2		2πr
		α 2

Определим величину тока в области 1 (внутри проводника), охватываемой контуром L1, исходя из постоянства плотности тока по сечению. Приравнивая значение плотности полного тока в пределах всей площади πR2, равное

j =		I	, и плотности тока на любом сечении с радиусом проводника r
j =	πR 2		, и плотности тока на любом сечении с радиусом проводника r
	πR 2
( j =		I1	), получим значение тока в любой точке для первой области I				=	Ir2	.
		πr 2				1		R2
		πr 2						R2
Напряженность магнитного поля в первой области будет равна
			Hα1 =	Ir
					.		(1.19)
				2πR 2	.		(1.19)

График зависимости Н(r) представлен на рис. 1.2.

Результат численного расчёта дает: Н1 = 8 А/м, Н2 = 0,16 А/м. Решение этой задачи позволяет получить решения для следующих вариантов:

1.Если направление тока в проводе заменить на противоположное, чему равна напряженность магнитного поля?

2. Как изменится величина напряженности магнитного поля во внеш-

ней области, если провод заменить

Рис.1.2

полым цилиндром с внутренним радиусом равным R/2, а ток оставить неизменным? Чему будет в этом случае напряженность магнитного поля в области

0¸R/2?

Задача №2

Между	полюсами электромагнита,			Рис.1.3
создающего	в	зазоре	индукцию

= v ω , помещена круглая рамка, площадь которой S (S = ×а2, где а – ра-

B B0 cos t 1 1 π

диус рамки) много меньше площади полюсов электромагнита S и L– периметр рамки (рис. 1.3). Определить напряженность электрического поля, циркулирующую вдоль рамки и электродвижущую силу Э, наведённую в контуре, если частота генератора f =400 Гц, амплитуда напряженности переменного магнит-

ного поля В 0 =1Тл, а=0,5см? Справка: Э = Еl L .
	Как изменятся E и Э, если		рамку повернуть на угол α=60 0 относительно
первоначального положения? Диэлектрик - воздух.
	Решение. Для решения этой задачи используется закон электромагнитной
индукции.( второе уравнение Максвелла в интегральной форме (1.3)).
	По условиям задачи, поток вектора индукции, пронизывающий рамку,
можно считать однородным и			определяемым в виде			Ф = ∫ BdS = Bn S1 cosα .
						S1
Здесь B n		- проекция вектора B на нормаль n к поверхности S1. Согласно зако-
ну	электромагнитной индукции, циркуляция вектора E					по замкнутому конту-
ру	равна	скорости изменения этого потока ∂Ф/ ∂t , пронизывающего площад-
ку S1,. Запишем эти утверждения
		r r	2π a = - ¶(В0π a	2	cosω t) = B0π a2ω ×sin ω t .
		Э = ∫ Ed l = Еl × L = El					(1.20)
		L	¶ t

При перпендикулярной ориентации рамки по отношению к вектору

B , т.е. когда угол α=0, наведённая Э в контуре определяется выражением

Э = π a 2 B 0 ω sin (ω t ) .

Подставив заданные величины, получим

Э = 1 × (3,14 ) × (0,5 ×10 −2 )2 400 sin (2π 400 t ) = 0,0314 sin (2π × 400 t ) B .

	Откуда максимальная (амплитудная) величина Э равна				Эмак=3,14×10 -2 В
	Напряженность электрического поля, циркулирующая вдоль рамки Еe,
равна отношению Э к периметру рамки L
El	= Э / L = Э / 2πa = 1× (3,14) × (0,5 ×10−2 )2 400 sin(2π 400 t )/(2π × 0,5 ×10−2 ) = 0,25 ×10−2 sin(ωt ), B / м
	При повороте плоскости рамки на угол α относительно магнитного по-
ля,	E и Э уменьшаются в cosα раз.
	Ответ: 1)	Максимальная Э, наводимая в контуре при перпендикулярной
ориентации рамки к вектору B0 и напряженность электрического поля соответ-
ственно равны		Эмак1=3,14×10-2 В	и	Eмак l = 0,25 ×10−2 В/м.
	2) при повороте рамки на угол α максимальная Э и напряженность элек-
трического поля Эмак2=1,57×10-2 В,			Емак2= 1,25 мВ/м.
	Задача №3
	Положительный заряд с объёмной плотностью ρ =10 −3 Кл/м3 равномерно
распределён в сферическом объёме				радиуса R=1см. (Рис. 1.4) Найти вектор
электрического смещения D и вектор напряженности электрического поля E в
областях: 1. (0 ≤ r ≤ R) и 2. (R ≤ r ≤ ∞ ).				Диэлектрик-воздух.	Построить график

зависимости D(r) . Дать численный результат при: г1=0,2см, r2=1м.

Рис.1.4

Рис.1.5

≤ r ≤ R?

Решение. Исходной формулой для решения этой задачи является третье

уравнение Максвелла (1.4). Так как вектор D распределен по поверхности рав-

= q . Следовательно:

номерно, то ∫ DdS = D

1. Для первой области (0 ≤ r ≤ R)

при S =4πr2

получим q= ρ

π r 3 ,

Dr1=

r =2/3×10

−6 ,Кл/м2,

E =

Dr1

(1.21)

2.Для второй области (R ≤ r ≤ ∞ )

q= ρ

πR3 .

ρ R 3

-9

Dr 2 =

=1/3×10

Кл/м ,

Er 2

r 2

(1.22)

3 r

ε0

Меняя r в пределах 0 ≤ r ≤ ¥, построим график зависимости

D(r) , пока-

занный на рис. 1.5.

Самостоятельно можно ответить на вопросы :

1.Что произойдет с векторами

E2 и D2 ,

если в объёме, вместо распре-

делённого заряда будет находиться сосредоточенный заряд q , причём в произвольной точке?

2. Чему будут равны вектора E1 , D1 в точке r=0, если объёмный заряд распределён в слое 0,5R

Задача №4

	Доказать,	что	вектор	магнитной индукции
r	r 0 m0 I	удовлетворяет 4-му уравнению Мак-			z
	r 0 m0 I				z
B = a
	2pr				I
свелла в интегральной форме (1.5), т.е. линии век-
	r				S1
тора B непрерывны			(рис 1.6).		S1
тора B непрерывны			(рис 1.6).
Решение. Решение этой задачи сводится к вычис-					Sбок
			r r		Sбок
			r r		B
лению интеграла			∫ B dS = 0	по поверхности сим-	B
лению интеграла			∫ B dS = 0	по поверхности сим-
			s

метричной (относительно оси z) объёмной фигуры,	S2

построенной вокруг проводника с током и замкну-	Рис.1.6

той по координате α. Часть этой фигуры, в виде искривленного цилиндра, показана на рисунке 1.6. Полный поток вектора магнитной индукции через этот выделенный объём можно представить в виде трех потоков: через одно S2 и другое S1 сечение и боковую поверхность Sбок. Запишем вектор dS виде суммы

трех слагаемых: α

0 ds − α

0 ds

+ r 0 ds .Подставим в под интегральное выражение

бок

векторы

B иdS ,

получим:

r r

∫ B dS

= ∫α 0

= ∫

(α

0α

0 ds1 − α 0α 0ds2

+ α 0 r 0 dsбок ) = 0 .

2π r

= 0 , так как s1=s2, а нормали к площадкам проти-

Здесь α0

α0s

− α0 α0s

воположно направлены, и скалярное произведение двух ортогональных векто-

r	= 0 ). Поэтому для замкнутой фигуры получаем ∫ BdS = 0 .
ров равно нулю ( α0 r0	= 0 ). Поэтому для замкнутой фигуры получаем ∫ BdS = 0 .
									s
Задача №5
Определить rot H для магнитных полей,								полученных в первой зада-
че в виде формул (1.18) и (1.19). H			=	I	и H		=	Ir	. Решать в цилиндри-
че в виде формул (1.18) и (1.19). H		α 2	=	2πr	и H	α1	=	2πR 2	. Решать в цилиндри-
		α 2		2πr		α1		2πR 2

ческой системе координат.

Решение. Так как заданные магнитные поля имеют только составляющие по координате α, то в третьей строке определителя (П1.24) будет отличен от ноля только один член rHα. Подставим в определитель rotН1 задан-

r° a°

z°

r° a°

ное значение Нα1:

r¶

rotH1

¶ r

¶a

¶r

¶a

¶ z

rHα

r × r

1
			z°
r			z°
r		¶		× (I / 2pR 2 ) .



	¶z

	Раскрывая определитель, получаем (для области внутри проводника) толь-
ко	z	-	составляющую	плотности	тока,	т.е.

				r2 I
			∂
r			∂		2
r	1 r0		2π R			r0
	1 r0		2π R			r0
rotH1 =		z				= z
rotH1 =		z		∂ r		= z
	r			∂ r

I	r		A
	= z	0 j ,		.	Аналогично найдем rotН2,
π R2			м2

подставляя известное значение Нα2 для области вне проводника

r° a°

z°

r° a°

r¶

rotH

¶ r

¶a

¶r

¶a

¶ z

rHα

r ×

1
			z°
r			z°
r		¶		× (I / 2p) .



	¶z

Раскрывая этот определитель, получим все составляющие равными нулю,

т.е. rot H2 =0.

Вывод: Хотя магнитное поле существует как внутри проводника, так и вне его, но внутри проводника rot H1 ¹0, а вне - rot H2 =0. Почему? Попробуйте

объяснить сами.
Задача №6
Определить дивергенцию векторов D (в сферической системе координат),
полученных в задаче №3 в виде формул (1.21) и (1.22).
				r
Решение. Вектор электрической индукции D (задача №3) задан только
составляющей вдоль радиуса сферической системы координат:
• для первой области (0 ≤ r ≤ R),	Dr1=	ρ	r ,
• для первой области (0 ≤ r ≤ R),	Dr1=		r ,
	3
• для второй области (R ≤ r ≤ ∞ )	r	R 3		.
	Dr 2 = 3 r 2

Используем выражение дивергенции в сферической системе координат

(П1.17) и учитывая, что вектор D зависит только от координаты r, получим :

r	1	∂(Dr r	2	)
divD =					.
	r2	∂r

Подставляя известные выражения Dr и D2, будем иметь

d (

ρr

r 2 )

d (

ρr

)

d (

ρR3

r 2 )

3r 2

= ρ

=0.

divD1

divD2

r 2

Вывод: div D1 = r ,

div D2

= 0 .

Постарайтесь ответить на вопрос почему же дивергенция вектора D2

равна нулю, а дивергенция вектора D1 не равна 0?

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023118.93 Кб1Электромагнитная экология.-3.pdf
#
05.02.2023196.13 Кб3Электромагнитная экология..pdf
#
05.02.2023652.23 Кб18Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб14Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб46Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб20Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб38Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб41Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб50Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб26Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб10Электроника 1. Физические основы электроники.pdf