Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Электромагнитные поля и волны.-4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

173

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Метод разделения переменных в ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ

Два очень длинных электрода, изолированных друг от друга тонким слоем диэлектрика, находятся под потенциалами U1 и U2. Пространство между электродами частично заполнено средой – диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε2 область II); для остальной среды (область I) диэлектрическая проницаемость равна ε1I= ε0. Геометрия электродов показана на рисунке. Определить потенциал в любой точке внутри

области, охватываемой электродами.

Решение В задаче в пространстве между электродами заряды отсутствуют (ρ= 0), поэтому для определения потенциала в любой точке используется уравнение Лапласа ϕ = 0 . (П2.I)

∙Так как по условию электроды бесконечны вдоль оси z, то отыски-

ваемое поле не зависит от координаты z , т.е. ∂ = 0 .

∂z

∙Так как пространство внутри электродов заполнено двумя средами

-ε2 и ε0, то для решения уравнения (П2.I), разбиваем его на I и II области, в ко-

торых параметр среды εi=const.

∙ Геометрия электродов определяет выбор прямоугольной системы координат для уравнения Лапласа, для нашего случая

∂2ϕ	+	∂2ϕ	= 0 .	(П2.2)
∂x2		∂y2

174

Уравнение (П2.2) дифференциальное второго порядка в частных производных решается методом разделения переменных, основные этапы которого следующие:

1. Ищем решения в виде ϕ( x, y ) = X ( x )Y ( y ) .

(П2.3)

2.Подставляем (П2.3) в (П2.2) и полученное выражение делим на

(П2.3), тогда	1	∂2 X	+	1	∂2Y	= 0 .
	X	∂x2
				Y ∂y2

Каждое из слагаемых зависит от одной переменной - x или y, и при любых x и y сумма всегда равна 0. Это возможно в случае, когда каждое из слагаемых равно const. Пусть

1 ∂ 2 X		= −λ2 ,	1 ∂ 2 Υ		= λ2 .	(П2.4)
	∂x 2			∂y2
X			Υ

3. В выражениях (П2.4можно перейти от частных производных к пол-

ным

d 2 Χ

+ λ2 Χ = 0,

d 2 Υ

− λ2

Υ = 0.

(П2.5)

dx 2

dy 2

Характеристическое уравнение для X в

p 2

+ λ 2

= 0

p = ±iλ;

(П2.5)

, откуда

а решение можно записать в виде

X = Aeiλx

+ Be−iλx

или

Χ=A cosλx+B sinλx.

(П2.6)

Если λ=0,

то

d 2 Χ

= 0 и решение Χ

= A x + B

(П2.7)

dx 2

Аналогично решается для Y в

(П2.5). Характеристическое

уравнение

p2 − λ2 = 0,

p = ±λ,

Тогда

Υ = C

eλy + D e−λy

для всех

λ кроме 0.

(П2.8)

Для

λ=0,

d 2Y

= 0 , откуда

Y = C y + D .

(П2.9)

dy 2

4. Запишем решение уравнения (П2.2), подставив (П2.6÷ П2.9),

ϕ(x, y) = ( A x + B )(C

y + D ) + ( A cosλx + B sin λx)(C

eλy

+ D e−λy )

(П2.10)

175

5. В уравнение Лапласа не входят в явном виде диэлектрические постоянные ε0 и ε2, поэтому решения по форме в обеих областях должны быть идентичными. Однако постоянные Aλ, Bλ, Сλ и Dλ для каждой области должны быть свои. В самом деле, граничные условия для обеих областей разные, а постоянные как раз должны определяться, исходя из этих условий. Что-

бы различать выражение для φ						в различных областях, наделим индексом I
потенциал и постоянные первой области, и индексом II –										величины, относя-
щиеся ко второй области.					Тогда
ϕ	I	= ( AI	x+ B I )(C I y+ D I ) + ( AI				cos λx+ B I	sin λx) × (CI	eλy + DI e−λy ) ;		(П2.11)
	I	0	o	0	o	λ	λ	λ		λ
ϕ	II	= ( AII x+ BII )(C II y+ DII ) + ( AII cosλx+ BII sin λx) × (CII e								λy + DII e−λy ).	(П2.12)
	II	0	0	0	0		λ	λ	λ	λ

6. Для того чтобы потенциал был полностью определен, необходимо выполнить все условия теоремы единственности:

∙Δφ = 0 во всякой точке, не принадлежащей границе и не содержащей сосредоточенных зарядов. Это условие выполнено;

∙потенциал φ должен быть конечен, однозначен, непрерывен в любой межэлектродной точке;

∙	на поверхности металлических тел должно быть φ = const;
∙	должны быть заданы либо потенциалы тел проводящих φ1, φ2,

φ3 , либо заряды q1, q2, q3 …

Из перечисленных условий мы, кроме первого, полагаем заданными, но не

использованными, называемыми граничными условиями.

		Область II					Область I

a) ϕII	= U I	при x=0,	0<y<d1;	(П2.13)	a)	ϕI	= U I	при	x=0,	d1<y<d;
					(П2.16)

б) ϕII	= U I	при y=0,	0<x<L;	(П2.14)			б) ϕI	= U I	при x=L, d1<y<d;
										(П2.17)

в) ϕII	= U I	при x=L, 0<y<d1.		(П2.15)	в) ϕI	= U I	при y=d, 0<x<L. (П2.18)

176

Подставим в решение (П2.12) граничные условия (П2.13÷ П2.15). Сначала на решение (П2.12) налагаем граничное условие (П2.13), получим

U1 = B0II (C0II y + D0II ) + AλII (CλII eλy + DλII e −λy .

В этом уравнении правая часть есть функция от y, тогда как левая часть постоянная. Удовлетворить этому равенству можно, если положить:

U	1	= B II D II	(*)
	1	o o
0 = B0II C0II y+ AλII (CλII eλy + DλII e−λy )			(**)

Чтобы уравнение (**) выполнялось, достаточно потребовать, чтобы каждое слагаемое равнялось 0. Если в дальнейшем окажется, что затребовано очень много и задача не решается, мы пересмотрим это требование. Поэтому

	B0II C0II y = 0,		(***)
AII (C II eλy + D II e−λy ) = 0.			(****)
λ	λ	λ
Из уравнения (*) и		(***) следует, что
C0II	= 0 .		(П2.19)
Из уравнения (****)		имеем 2 выражения:
либо		AλII = 0 ,	(П2.20а)
либо		CλII eλy + DλII e−λy = 0 .	(П2.20б)

В (ПБ.20б) обе константы одновременно не могут быть равны 0, так как тогда обращается в 0 второе слагаемое в (ПБ.12). Остается принять, что

AII = 0 .		(П2.21)
λ
Найденные A II , C II	подставим в	(П2.12),
λ 0

ϕ II = U1 + A0II D0II x + BλII sin λx(CλII eλy + DλII e−λy ).

(П2.22)

177

Определим, какие

ограничения

налагает на

потенциал граничное

условие

(П2.14):

при y = 0 ,

х - любом

φII = U1.

Используя это равенство, получим

= U

+ AII

D II x + B II sin λx(C II + D II )

или

A0II D0II x + BλII sin λx(CλII + DλII

)= 0 .

Для выполнения полученного соотношения достаточно потребовать

A0II D0II = 0, и CλII + DλII = 0 .

Откуда следует, что

D0II

= 0, и DλII = −CλII .

(П2.23)

Потенциал (П2.22) с учетом (П2.23) примет вид

ϕ II

= U1

+ bλII sin λx × shλy ,

(П2.24)

где b II

= 2B II C II .

Удовлетворим потенциал (П2.24) граничному условию (П2.15)

= U1 + bλ sin λL × shλy ,

откуда

bλ sin λL × shλy = 0 .

Это равенство выполняется если bλ = 0, но это невозможно, так как при

этом ϕII

≡ U1 ,

что противоречит другим условиям, либо при sin λL = 0.

От-

сюда

λL = πn,

где n = 1,2,3... ; или

λ = πn .

Постоянная величина λ имеет много значений, а это означает, что потен-

циал должен иметь сумму частных решений от 1 до ¥. Выражение для

φII

принимает теперь вид

∞

sin πn x × sh

nπ

ϕII

= U1 + ∑bnII

(П2.25)

n=1

Здесь нельзя сказать, что выражение для потенциала ϕI будет аналогич-

ным уравнению (П2.25), так как, хотя общая форма решения для φ (П2.11) будет подобна (П2.12), но граничные условия в этой области другие. Поэтому

178

(П2.11) следует удовлетворить граничным условиям (П2.16 ÷ П2.18). Проделаем соответствующие подстановки. Условие (П2.16) подставлено в (П2.11)

ϕ I = BoI (C0I y+ DoI ) + AλI (CλI eλy + DλI e−λy ) .

Откуда

B I D I

= U

;

B I C I y + AI

(C I eλy + D I e−λy ) = 0 .

Рассуждения аналогичные, вышеприведенным дают

C0I

= 0,

AλI

= 0.

(П2.26)

Подставим (ПБ.26) в (ПБ.11), получим

ϕ I

= U1 + A0I D0I x + BλI sin λx(CλI eλy

+ DλI e −λy ) .

Обозначая

D I = a I

;

B I D I = b I ;

D I

B I

= d I ,

получим решение

λ y

−λ y

(П2.27)

ϕ1 = U1 + a0 x

+ sin λ x × bλ e

+ dλ e

Условие (П2.17) подставим в (П2.27)

= U

+ a I L + sin λL[b I eλy

+ d I e −λy ].

Откуда следует

a0I

= 0

sin λL[bλI eλy

+ dλI e−λy ]= 0 .

Это возможно только когда

sin λL=0 , а λL=nπ, где n=0, 1, 2…

∞.

С учетом полученных соотношений

∞

nπ

−

nπ

ϕI

= U1 + ∑sin

x bnI e L

+ dnI e

L .

(П2.28)

n=1

Условие (П2.18) дает

∞

nπ

−

nπ

− U1

= ∑ sin

+ dnI e

U 2

x bnI e L

L .

(П2.29)

n=1

Как видно, ни одна из констант

bnI ,

dnI

из этого выражения не опре-

деляется сразу. Оставим пока (П2.29) в запасе.

Хотя граничные условия на металлических поверхностях использованы полностью, часть констант осталась не определенной. Но осталось еще не использованным требование теоремы единственности о том, что потенциал дол-

179

жен быть непрерывной функцией координат. Используем условия, налагаемые на потенциал на границе 2-х диэлектриков.

ϕ I = ϕ II при y=d1; 0 < x< L , ε 2		∂ϕ I	= ε 1	∂ϕ II	при	y=d1, 0 < x< L, (П2.30)
		∂n		∂n
r	r	производная по нормали к границе эквива-
причем в данном случае n0	= y0 -
лентна производной по y. Потенциалы			(П2.25)		и	(П2.28) подчиняем усло-
виям (П2.30).

				∞		πn
		U1 + ∑bnII sin
				n=1		L
∞	nπ			nπ	I	nπ	d1

ε 2 ∑			sin		x bn e L
				L
n=1		L

nπ

∞

nπ

−

nπ

1 + ∑sin

x × sh

d1 = U

x bnI e L

+ dnI e L

; (П2.31a)

n=1

−

nπ

∞

nπ

πn

- dnI e

L 1

= ε1

∑bnII

sin

xch

d1 .

(П2.31б)

n=1

Каждая из сумм равенств (П2.30) и (П2.31) представляет собой ряд Фурье

по функциям sin nπ x . Равенства утверждают, что соответствующие ряды рав-

ны. Это возможно, когда равны коэффициенты при одинаковых функциях

sin nπ x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему алгебраических

уравнений для величин b I

,b II , d I .

nπ

+ dnI e

−

nπ

= bnII sh

nπ

bnI e L

d1 ;

(П2.32)

nπ

−

nπ

ε1

bnI e L

− d nI e L

= ε 2 bnII ch

d1 .

(П2.33)

Если в (П2.32), (П2.33) зафиксировать какое-либо n, то получим систему

двух уравнений с тремя неизвестными bnI ,bnII , dnI . Одного уравнения не хватает.

Для получения этого уравнения следует использовать (П2.29), удовлетворив условиям на границе

∞

nπ

−

nπ

∑sin

x bnI e L

+ d nI e L

= U 2

− U1 ,

при 0<x<L;

y=d.

(П2.29а)

n=1

Для определения констант, стоящих под знаком суммы, следует восполь-

зоваться свойством ортогональности функций sin nπ x .

							180
L	np		kp				0,Kn ¹ k
∫ sin	np		kp
		x × sin		x dx = L
		x × sin		x dx = L
	L		L						,Kn = k
0	L		L					2	,Kn = k
								2
Помножим (П2.29а) на			sin		kπ	x	и проинтегрируем по x. Тогда для
Помножим (П2.29а) на			sin			x	и проинтегрируем по x. Тогда для
					L

правой части уравнения получим интеграл

L		kπ x			−U1 )
∫(U2	−U1 )sin	kπ x	(U	2	−U1 )
			dx =
		L	dx =
0		L			0
					0

при k нечетн kπ при k четн

Слева получается сумма интегралов, однако все слагаемые этой суммы

равны нулю при n ¹ k

в силу ортогональности функций. Отлично от нуля

[ bkI e

kπ

+ d kI e −

kπ

]×

лишь слагаемое, когда n = k , равное

В результате, из уравнения (ПБ.29а) получаем соотношения

nπ

−

nπ

− U1 )

bnI e

d + dnI e

при

n = 1,3,5...

(П2.34)

nπ

−

nπ

= 0 .

при

n = 2,4,6.

b I e L

+ d I e

Уравнения (П2.32) ,

(П2.33)

(П2.34) – есть системы трех уравнений

для определения трех неизвестных.

nπ

−

nπ

b I e L

+ d I e L

− b II sh

= 0

;

nπ

ε1bnI e

d1 − ε1dnI e−

d1 − ε 2bnII ch

d1 = 0 ;

nπ

(U2 − U1 ) .

bnI e

d1 + dnI e−

d1 =

nπ

Составляем определитель и решаем

181

π n d1

−

nπ

-sh

nπ

e L

π n

nπ

-ε e−

nπ

D =

ε e L

-ε

×ch

(П2.35)

π n d

nπ

−

e L

nπ

- 2 ε 2 × sh

(d - d1 )× ch

d1 + ε

1 sh

d1ch

(d - d1 )

;

(U 2 - U1 )e

−

nπ

= -

ε 2 × ch

d1 +

1 sh

d1 ;

nπ

2 -U1 )e

nπ

ε 2 × ch

nπ

d1 - ε1 sh

;

nπ

= -

8ε1

2 - U1 ) ,

откуда

nπ

−

nπ

2(U 2 - U1 )e L

ε 2 × ch

d1 + ε1 sh

bnI

;

(П2.36)

nπ

nπ ε 2

(d - d1 )ch

d1 + ε1 sh

d1ch

(d - d1 )

- 2(U 2 - U1 )e

nπ

d1 ε 2 × ch

nπ

d1 - ε1 sh

nπ

d nI =

;

(П2.37)

nπ ε 2

nπ

(d - d1 )ch

nπ

d1 + ε1 sh

nπ

d1ch

nπ

(d - d1 )

b II =

4ε1 (U 2

− U1 )

(П2.38)

nπ

nπ ε 2

(d − d1 )ch

d1 + ε1

(d − d1 )

d1ch

Выражение для потенциала в каждой из сред с учетом (П2.36), (П2.37), (П2.38) можно записать в виде:

а) для (П2.28)

4(U -U

)ε2

× ch(

nπ

d )sh

nπ

(y - d

)+ε1sh(

nπ

d )ch

nπ

(y - d

)

= U +

∑

nπ

(d - d

)+ε1sh(

nπ

(d - d

)

n = 1, 3, 5...

nπ ×ε2

× ch(

d )sh

d )ch

L 1

nπ

sin(		x)	(П2.39)

	L

в области

d1<y<d

182

∞

4(U

−U

)ε sh(

nπ

= U +

∑

sin(

(П2.40)

nπ

n =1,3,5... nπ × ε2 × ch(

d )sh

(d - d

)+ ε1sh(

nπ

d )ch

(d - d

)

1 L

в области

0<y< d1

Можно проверить правильность решения, приравняв ϕ1 = ϕ11 при y=d1 . Как

видим равенство имеет место, граничное условие выполнено.

Частным случаем этого решения

является решение для

однородного ди-

электрика (ε1 = ε2

= ε ) и d =d1 . Для этого случая получаем

4(U 2 - U1)sh

nπ

ϕII = U1 +

∑

sin

(П2.41)

nπ

n = 1,3,5...

nπ × sh

Используя выражение (П2.41), можно найти распределение потенциала в

плоском конденсаторе. Для этого представим, что

L → ∞ .

Тогда

n π

nπ

s h

n π

s h

≈

y ,

→

d1 , а

≈

n π

s h

d 1

∞

4 U

− U

nπ

и, следовательно, ϕ

= U

∑

(

sin

x ,

n = 1,3,5... ,

nπ

d1 n = 1,3,5...

Граничные условия, очевидно, выполняются:

при у=0 ϕ11 =U1 ;	при у=d1	ϕ		= U + (U	2 − U1 )	∞	4		nπ	x1,
						∑		sin
			II
				1		n = 1,3,5... nπ			L

а так как сумма при n → ∞ стремится к 1, то ϕ II = U 2 .

В результате получается формула, позволяющая построить распределение потенциала в плоском конденсаторе при заданных потенциалах U1,U2 на электродах:

ϕII	= U1	+	y	(U 2 − U1 ) .	(П2.42)

			d1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 1918 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023118.93 Кб0Электромагнитная экология.-3.pdf
#
05.02.2023196.13 Кб3Электромагнитная экология..pdf
#
05.02.2023652.23 Кб17Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб13Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб45Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб18Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб37Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб41Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб50Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб25Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб10Электроника 1. Физические основы электроники.pdf