Электромагнитные поля и волны.-4

164

данной точке. Величина вектора (интенсивность векторного поля) обычно характеризуют густотой силовых линий.

Согласно определению силовой линии, элемент касательной к ней параллелен вектору a в каждой точке, У параллельных векторов проекции пропорциональны. Это приводит к следующим уравнениям для силовых линий

Каждое из этих уравнений распадается на систему из двух дифференциальных уравнений, интегрирование которых приводит к уравнению силовой линии.

Пример П1. 1. Найти векторную линию магнитного поля проводника с

r I r

током H = 2πr α0 , здесь r- расстояние от оси провода до точки М, I – ток в проводе. Выразим в цилиндрической системе координат орт α0 через орты по

Т.е. векторные линии в данном случае являются окружностями с центром на оси z. Конечно, эту задачу можно решить и в цилиндрической системе координат. Предлагается это сделать самостоятельно.

∙ Поток векторного поля. Потоком векторного поля a через поверхность S называется поверхностный интеграл по поверхности S от скалярно-

166

∙Дивергенция векторного поля. Под дивергенцией вектора a в

точке М понимают предел отношения потока вектора a через замкнутую поверхность вокруг т. М к объему, находящемуся внутри этой поверхности при стремлении объема к нулю

Точка М, в которой diva > 0 называется источником. Если diva < 0

167

div(ϕ a) = ϕ diva + a gradϕ

Используя третье выражение (П1.17), получим для заданного условия div(2xyzr) = 2xyz × divr + r × grad(2xyz) . И далее, решая каждое слагаемое, πпо-

Решение. Как следует из предыдущих примеров дивергенция радиуса – вектора равна 3. Поэтому интеграл в правой части (П1.19) будет равен 3V =3·πR2h, где

V – объем цилиндра. Как видно, вычисление потока с помощью теоремы Остроградского – Гаусса значительно упростило решение задачи. Этот вывод спра-

168

ведлив для большинства встречающихся задач вычисления потока, но, конечно,

При интегрировании по окружности угол ά изменяется от 0 до 2π. В результате получим Ц=2πR2.

· Ротор векторного поля. Теорема Стокса.

Ротором вектора a в точке М называется вектор равный пределу отношения следующего вида

На практике чаще определяют ротор как предел отношения циркуляции по контуру в окрестности точки М к площади контура, при стремлении площади к нулю. При этом определяется не сам ротор как вектор, а его проекция на нормаль к контуру.

169

Нормаль к контуру связана с направлением обхода контура правилом правого винта, когда нормаль направлена в сторону движения винта, если сам винт вращается в направлении обхода контура.

Выражения для ротора в различных системах координат обычно представляют в виде определителей

Раскрываются эти определители по первой строке, как показано в формуле П1.6.

Теорема Стокса утверждает, что циркуляция вектора по замкнутому контуру L равна потоку ротора от этого вектора через поверхность S опирающуюся на этот контур.

Как следует из теоремы Стокса модуль вектора rota является плотностью циркуляции.

(П1.27)

171

С формальной точки зрения это – вектор, компонентами которого являются символы производных. Применяя этот оператор к скалярной функции φ(х.у.z), по правилу умножения скаляра на вектор получим выражение

Легко также показать, что скалярное произведение наблы на вектор дает дивергенцию вектора, а их векторное произведение – ротор вектора.

Здесь использовано правило раскрытия двойного векторного произведения (П1.7). Появившийся при этом преобразовании оператор Ñ2 называется оператором Лапласа и играет важную роль в электродинамике и вообще физике. Применительно к скалярной функции координат он выражается следующим образом

1) Оператор аналогичный оператору Ñ не может быть введен в цилиндрической или сферической системах координат. в этом нетрудно убедиться, ес-

2) Как отмечалось выше такие характеристики скалярных и векторных полей, как градиент, дивергенция и ротор являются инвариантными к выбору системы координат и поэтому соотношения, полученные с помощью оператора

172

Ñ в прямоугольной системе остаются справедливыми и в другой, но записан-

ные через ротор, дивергенцию и градиент, т. е. без оператора Ñ.

3)Оператор Лапласа (иногда он обозначается символом ) в криволинейных координатах применительно к скалярным функциям определяется как

Ñ2ϕ = div(gradϕ ) , (П1.33)

а к векторным - из соотношение (П1.30)

· Некоторые тождества векторного анализа. Приведем основные тождества векторного анализа. В их справедливости можно убедиться либо непосредственным вычислением, либо с помощью оператора набла.

Если выполняется условие diva = 0 во всех точек внутри некоторой области, то поле в ней называется соленоидальным. Скалярные поля, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими..