Электромагнитные поля и волны.-4

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

×[E × H * ]}dS .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

4.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

133

6ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ВОЛНОВОДАХ

Вданном разделе рассматриваются темы:

1.Условия распространения волн основного (низшего) и высших типов;

2.Параметры распространяющейся волны;

3.Структура электромагнитного поля;

4.Особенности поляризации магнитного поля основной волны;

5.Передаваемая мощность и плотность потока мощности в волноводе;

6.Тепловые потери и затухание волны в волноводе;

6.1 Краткие теоретические сведения

Полая металлическая труба произвольного сечения, внутри которой распространяются электромагнитные волны, называется волноводом.

В однородных волноводах (форма поперечного сечения и параметры заполняющей среды постоянны вдоль координаты распространения волны) с идеально проводящими стенками могут распространяться волны электрического типа (Е), у которыхH z = 0 , а Ez ¹ 0 и волны магнитного типа (Н), у кото-

рыхEz = 0 , а H z ¹ 0 .

Из уравнений Максвелла получают инвариантные (справедливые для любой системы координат) соотношения, позволяющие определять поперечные составляющие полей через продольные для любого типа волны и волновода:

× grad H z ]

γ E = -iβ × grad Ez

+ iωμ ×[z

× grad Ez ] ,

γ H = -iβ × grad H z - iωε[z

где

0 Ey ,

∂

E = x

0 EX

+ y

H = x0 H X

+ y0 H y

grad = x

¶x

ного волновода,

			(6.1)
			(6.2)
r	0	∂	-для прямоуголь-
+ y	0
+ y		¶y
		¶y

∂

= r

0 E

+α

0 E

, H

= r

0 H

+α

0 H

и grad

= r

+α 0

-для случая кругло-

¶r

¶α

го волновода.

Основные параметры волн в волноводах

134

β = 2π = k λв Kd

k = 2π ε r μr λ0

- постоянная распространения волны;	(6.3)
- волновое число в среде, заполняющей волновод;	(6.4)

K =

- коэффициент дисперсии;

(6.5)

кр

2 π

поперечное волновое число.

(6.6)

кр

Конкретный тип волны в волноводе может распространяться только в том

случае, если

λ0

< λ ,

(6.7)

εr

кр

Критическая длина волны определяется размерами и формой поперечного сечения волновода, а так же типом волны Emn , H mn . Основным (низшим) типом волны считается тот, у которого λ кр наибольшая.

К параметрам волны, распространяющейся в волноведущих линиях, относятся

Длина волны в

Фазовая ско-

Групповая ско-

Характеристическое

волноводе

рость

сопротивление

λ =

λ0

(6.8)

V =

(6.9)

V =

c ×

(6.10)

(6.11)

εr Kd

ε r

гр

εr

= W0 × Kd (6.12)

где с- скорость света

W =

μ0

= 120π (6.13)

ε0

Средняя мощность, переносимая волной любого типа в любом волноводе, определяется интегрированием вектора Пойнтинга по поперечному сечению волновода

135

Коэффициент ослабления волны α равен сумме коэффициентов ослабления в металлических стенках α м и диэлектрике αд , т.е. α = α м + αд . Потери в ме-

Rs × ∫

талле

αm =

Hτ

(6.15)

. .

∫ Re[E× H * ]dS

где Rs

= ωμa

- поверхностное сопротивление металла, H τ

- составляющая

2σ

магнитного поля, тангенциальная к поверхности стенок волновода.

Потери в диэлектрике определяются с помощью выражения

α д

π ×ε × tg Dε

(6.16)

λ ×

1 -

кр

Для конкретного типа волны подстановкой решения для продольных компонент (ниже) в уравнения (6.1) и (6.2), получают выражения для составляющих векторов напряженностей электрического и магнитного полей.

Волноводы прямоугольного сечения

Волны типа Emn

β π m

π m x

π n y − i β z

E x

= -i

× E 0

× co s

× sin

β π n

π m x

π ny − i β z

E у

= -i

× E

0 × sin

× co s

= E 0 × s i n

π m x × s i n π n y e − i β z

H x

H y

H z

= iωε

π m

π mx

π ny

− iβ z

(6.17)

× E0 × sin

× cos

= -iωε

π m

× E0

× cos π mx

×sin π ny e−iβ z

= 0 .

Волны типа Нmn

136

E x

E y

E z

H x

H y

= iωμ

π m

× H0 ×cos π mx

×sin π ny e−iβ z

γ b

= -iωμ

π m

× H0

×sin π mx

×cos π ny e−iβ z

γ a

= 0

= i

βπ m

× H

π mx

π ny

−iβ z

(6.18)

×sin

×cos

= i

βπ m

× H

π mx

π ny

−iβ z

×cos

×sin

.	π mx		π ny			−iβ z	,
H z = H0	cos		×cos	b	e		,
		a		b

где	2	π × m 2		π × n 2
где	γ =		+		- поперечное волновое число; m,n – целые положи-
		a		b

тельные числа; a,b – поперечные размеры широкой и узкой стенок волно-

вода соответственно;

E0 , H 0 - амплитуды волны, зависящие от пе-

редаваемой мощности;

λкр =

- критическая длина волны .

(6.19)

n 2

Основной волной в прямоугольном волноводе при a>b является волна Н10, ее критическая длина волны будет максимальной и , согласно (6.19), равна

λкрН = 2a	(6.20)
10

Передача энергии осуществляется на основном типе волны, пока выполняется условие (6.7), другие типы волн в волноводе не возбуждаются.

Средняя мощность (6.14), переносимая волной Н10 в прямоугольном волноводе определяется соотношением

PсрH 10	=	abE	02	,	(6.21)

		4 Z H

Для волны Н10 коэффициент затухания в прямоугольном медном волноводе рассчитывается по формуле

137

λ 2 2b

εr

Нп

αm =

];..или..αm

ε r

λ 2

W0 ×b ×

λ 2

0,104 × εr

дб

] .

(6.22)

λ ×

ε r

b ×

Волноводы круглого сечения

Для волноводов круглого сечения, работающих на волнах типа Hmn, критическая длина волны равна

			λ кр =	2πa	,	(6.23)
				μ
				mn
где μmn - n –			й корень производной функции Бесселя Jm / (z) = 0 , а – радиус вол-
новода. Для волн типа Emn						критическая длина волны равна
λ кр =	2 π a		,			(6.24) где ν mn - n –

ν		mn

й корень функции Бесселя Jm (z) = 0 . Значение корней μmn и ν mn						приведены в
таблице 6.1.
	Таблица 6.1. Значения корней νmn функции Бесселя Jm (z)

	m			n

		1	2		3		4
		1	2		3		4

	0	2,405	5,520		8,654		11,792

	1	3,832	7,016		10,173		13,324

	2	5,136	8,417		11,620		14,796

	3	6,380	9,761		13,015		16,223

	Значения корней µmn производных функции Бесселя J m / (x)

	m			n
	m
		1		2		3

	0	3,832		7,016		10,174

	1	1,841		5,331		8,536

	2	3,054		6,705		9,965

	3	4,200		8,017		1,.403

138

Максимальная λкр в круглом волноводе у волны типа Н11

λ крH	11	= 3 .41a ,	(6.25)
	11
а ближайшим к ней типом волны является Е01, для которой
λ крE		= 2 .61 a .	(6.26)
		01

Выражения для составляющих векторов поля в круглом волноводе имеют вид

волны типа Нmn

E r = i ωμ m × H × J

(γ r) ×sin(mϕ )e−iβ z

2 r

Eϕ = i ωμ × H0 × J / m (γ

r) ×cos(mϕ )e−iβ z

(6.27)

E z = 0

× J / m (γ r) ×cos(mϕ )e−iβ z

H r = -i

× H0

β m

(γ

r) ×sin(mϕ )e−iβ z

H ϕ = i

× H

× J

2 r

H z = H0 × Jm (γ r) ×cos(mϕ )e−iβ z

Волны типа Emn

(γ

r) ×cos(mϕ )e−iβ z

E r = -i

× E × J

β m

(γ

r) ×sin(mϕ )e−iβ z

Eϕ = i

× E

× J

2 r

× J

(γ

r) ×cos(mϕ )e−iβ z

(6.28)

E z = E

(γ r) ×sin(mϕ)e−iβ z

H r = -i ωε

× m × E × J

2 r

H ϕ = -i ωε

× E × J / ×(γ

r) ×cos(mϕ )e−iβ z .

Нz=0

Средняя мощность (6.14), переносимая волной Н11 в круглом волноводе

PсрH 1 1 =	π a 2	E 2	,	(6.29)
		0

	4, 2 8 × Z H

139

в (6.29) величина Е0 - максимальная амплитуда напряженности электрического поля для волны Н11.

Мощность, переносимая волной Е01 в круглом волноводе, определяется [2]

PсрE01

π × E2

0 × β012

×a4 × J1 (ν 01 )2

или

РcpE01 =

0, 778 × E 2πωεβ

(6.30)

2 × Z

×ν 2

Из соотношений (6.29),(6.30) находится амплитуда E0

электрического по-

ля соответствующего типа волны. Например, для волны Е01 она равна

2P × Z

×ν 2

E0 E

ср

(6.31)

π × β012 × a4 × J1 (ν 01 )2

Средняя мощность, переносимая волной Н01

определяется соотношением

H 2π a 2 Z

РcpH

(6.32)

кр

Постоянные затухания (

нп

) для волн в круглом волноводе [2] имеют вид

α мЕ0 1

R S

λ в

(6.33а)

W 0 λ

(6.33б)

a W

1.8412

кр

m 2

(6.33в)

a W

- m 2

m n

кр

Электрические поля любого типа волн в волноводах можно использовать для нагрева, сушки или сублимации диэлектриков, имеющих конечную удельную проводимость σ . Для этого следует поместить тонкий слой диэлектрика, чтобы не изменилось первоначальное поле, в электрическое поле волны волновода и определить мощность тепловых потерь РТ в нем.

PТ = ∫ σ ×

2 dV [Вт ] или PТ =ωεд ×tgD× ∫

2dV

(6.34)

V д

Vд

где, например, для цилиндрического волновода

E r2 + E α2 + E z2

а для прямоугольного

= E x2

+ E y2

+ E z2 .

140

Мощность тепловых потерь расходуется на нагрев диэлектрика. Процесс сопровождается повышением температуры диэлектрика и возгонкой влаги. Чтобы нагреть образец весом m кг на T градусов (от Тн - начальной до Тк - конечной температуры, т.е. T = Тк - Тн) при его удельной теплоемкости

γДж

, необходимо затратить [6] энергии

кг× К

W = 4.1868 × m ×γ × DT [ Дж] ,

(6.35)

которая связана с СВЧ мощностью и временем t = tk − tн нагрева выражением

PТ	=	W	[Вт]	(6.36,а)
		t

Подставляя (6.36) в (6.36а), получаем соотношение, связывающее параметры

диэлектрика с величиной мощности,			требующейся для его нагрева
P =	4.1868×m×γ ×DT	[Вт]	(6.36,б)

Т	t

Можно определить из (5.36,б) температуру или время разогрева, если что-то одно будет известно.

DT =	PТ	Dt [0 С],KилиKt =	4.1868 × m ×γ × DT	[с] .	(6.37)
	4.1868 × m ×γ
			P
			Т

6.2 Примеры решения типовых задач Задача №1 ( Построение структуры поля)

В прямоугольном волноводе возбуждена волна типа Н11. Размеры поперечного сечения a и b ( рис. 6.1).

Требуется получить уравнение силовых линий электрического поля.

Решение
Электромагнитное поле является век-		Рис. 6.1
торным полем и графически представляется		Рис. 6.1
торным полем и графически представляется
r r	r	в прямоугольной
линиями векторов E и H . Выражение векторной линии E		в прямоугольной

системе координат имеет вид

141

dx	=	dy	=	dz	.	(6.38)

Ex Ey Ez

Для решаемой задачи проекции векторов электрического поля из (6.1)

равны	Еx	= −	jω μ	∂H z ,	Еy =	jω μ	∂H z , Еz=0.

			χ 2 ∂y			χ 2 ∂x

(6.39)

Из (6.38), согласно (6.39), уравнение векторной линии электрического поля волны Н11 записывается в виде

	Ey dx − Ex dy = 0 .				(6.40)
Подставляя в (6.40) компоненты из (6.39), получим
	∂Hz	∂Hz		= 0 .	(6.41)
	dx +	∂y	dy	= 0 .	(6.41)
	∂x	∂y

Уравнение (6.41) представляет полный дифференциал, т.е. dHz=0 , решение которого с учетом (6.18) для волны Н11 должно иметь вид

H z

= H0

= const = C

(6.42а)

cos

x cos

или cos

x cos

	x =	a		C
или			arc cos			(6.42б)
или		π	arc cos	π		(6.42б)
				cos	y
				b

Уравнение (6.42б) являться уравнением линии вектора E волны Н11, лежащей в плоскости z=const, т.к. оно получается из уравнения силовых линий.

Как должно производиться построение силовых линий вектора E ? Силовая линия соответствует любому определенному значению постоянной С, которое может принимать, согласно (6.42а), величину в пределах

−1 ≤ C ≤ 1.

Каждому значению С, взятому в этих пределах, соответствует одна силовая линия электрического поля волны Н11.

Найдем линии вектора E при некоторых значениях С.

I. Пусть С=0. Что представляет собой силовая линия вектора E при C = 0?

142

Физически – отсутствие поля Е на этой линии, а местоположение точек этого случая находится из

(6.42а).

Если C = 0, то

cos

x cos

y = 0

что имеет место только при

Рис. 6.2

а).

cos πx = 0 , т.е. при

x =

; а

y → любое зна-

чение в интервале от 0−b ,

б). cos

π y

= 0 , т.е. y =

; а x → любое

значение в интер-

вале от 0−

а.

Вывод: Если С=0,

то векторными линиями будут две взаимно ортогональ-

ные линии, проходящие через координаты x =

и y =

(рис. 6.2).

II. Пусть C = ±1.

Что представляет собой силовая линия поля при C = ±1?

Как следует из (6.42а) при

С =1 :

x = 0,

y = 0

x=a, y=b;

С = -1:

x =0,

y = b

x=a, y=0.

Таким образом, при C = ±1 силовые линии поля вырождаются в точки

(рис.6.2).
III. Пусть значение С будет любым.			Например, C = ±0,2.
Тогда из (6.42б) имеем	x =	a	arc cos	±0, 2

		π		π
				cos	y
				b

Изменяя координату y в пределах	0 ≤ y ≤ b , получим координаты точек
х,	соответствующие заданной кон-
станте С.
	Семейство силовых линий поля

Е волны Н11 на поперечном сечении прямоугольного волновода для этого случая изображено на рис. 6.3.

Рис. 6.3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023118.93 Кб0Электромагнитная экология.-3.pdf
#
05.02.2023196.13 Кб3Электромагнитная экология..pdf
#
05.02.2023652.23 Кб17Электромагнитные поля и волны.-1.pdf
#
05.02.20231.87 Mб13Электромагнитные поля и волны.-2.pdf
#
05.02.20232.38 Mб45Электромагнитные поля и волны.-3.pdf
#
05.02.20234.03 Mб18Электромагнитные поля и волны.-4.pdf
#
05.02.20233.52 Mб37Электромагнитные поля и волны.-5.pdf
#
05.02.20234.03 Mб41Электромагнитные поля и волны.-6.pdf
#
05.02.20234.17 Mб50Электромагнитные поля и волны..pdf
#
05.02.20233.12 Mб25Электроника 1. Физические основы электроники-1.pdf
#
05.02.20231.01 Mб10Электроника 1. Физические основы электроники.pdf