Математика.-1

x

Теорема 1. Функция (x) f (t)dt является первообразной от

a

функции f (x) .

Доказательство. Нужно доказать, что (x) f (x) .

Рассмотрим подробнее производную функции (x) . По определению,

интегралов, а именно, по [a, x] и [x, x x] . Чертѐж:

При этом интеграл по [a, x] там в разности есть ещѐ и со знаком «минус», то есть он в итоге сокращается.

x x

31

отличается на какую-то константу C от той первообразной, которую мы рассматривали в теореме 1. То есть F(x) (x) C , что означает

внутри функции и на верхнем пределе интеграла. Теперь, когда перешли к фиксированным границам в интеграле, можно сделать

32

тривиальную замену x t и запись примет вид

b

f (x)dx F (b) F (a) , что и требовалось доказать.

a

Примеры

Пример. Найти интеграл cos xdx .

0

33

Вид формулы интегрирования по частям для определѐнного

Особенности замены переменной в определѐнном интеграле (пересчѐт пределов интегрирования, и можно не возвращаться к старой переменной, то есть не делать обратную замену).

Решение. При замене t x мы адаптируем границы к новой переменной, то есть, если x [0,4] , то t [0, 4 ] = [0,2] .

Конечно, старые границы могут остаться прежними, например, при такой замене [0,1] отобразится в [0,1] . Но, как правило, при замене верхний и нижний предел интегрирования тоже изменяются.

Замена в определѐнном интеграле должна задаваться взаимнооднозначной функцией t (x) , то есть монотонной функцией. Иначе

промежутку [0,0] , и он был бы в любом случае равен 0. Чтобы

34

Приложения определѐнных интегралов.

Пункт 1. Вычисление площадей фигур.

Так как площадь криволинейной трапеции связана с интегралом, то это приложение очевидно. Но есть особенности, связанные со строением геометрической фигуры, в некоторых случаях надо разбить фигуру на несколько частей.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

y 0, y x3 , y 2 x .

Решение. Построим чертѐж:

Так как верхняя граница после точки 1 переходит с одной кривой на другую, то придѐтся разбить на сумму двух вычислений по каждой

Пункт 2. Вычисление объѐмов тел вращения.

Если график функции вращать вокруг оси 0x, то получится так называемое тело вращения. Каждое сечение плоскостью,

паерпендикулярной оси 0x , это круг, его площадь равна f 2 (x) , так как f (x) это как раз и есть радиус (равно удалению вращающейся

b

точки от оси вращения). В итоге, V f 2 (x)dx .

a

35

Пример. Вывести этим методом формулу объѐма шара V 34 R3 .

Решение. Чтобы получить шар, достаточно вращать верхнюю полуокружность, которая задаѐтся такой функцией: f (x) R2 x2 .

Пункт 3. Вычисление длины дуги кривой.

b

Формула для явно заданной кривой: L 1 ( f (x))2 dx .

a

Доказательство. Разобьѐм область определения на n частей, рассмотрим подробнее одну часть графика.

Длина фрагмента кривой приближѐнно равна гипотенузе. При этом, тангенс угла наклона равен производной. Поэтому, если горизонтальный катет x то вертикальный равен f (x) x . Но в этом случае гипотенуза, по теореме Пифагора, равна:

li = (x)2 ( f (x) x)2 = x1 ( f (x))2 .

b

При переходе к пределу при n , получится L 1 ( f (x))2 dx .

a

36

Чем круче наклон фрагмента графика, тем больше величина ( f (x)) 2 ,

и тем больше корень 1 ( f (x))2 и соответственно, длина части этой кривой. Напротив, если график горизонтальный (функция = константа) то 1 ( f (x))2 = 1 02 1. Длина такой кривой просто равна длине отрезка в области определения, то есть b a .

Для параметрически заданной в плоскости формула принимает такой

b

вид: L (x (t))2 ( y (t))2 dt .

a

b

В трѐхмерном пространстве: L (x (t))2 ( y (t))2 (z (t))2 dt .

a

Длина кривой в полярной системе координат. Пусть кривая задана формулой r r( ) .

b

Тогда: L (r ( ))2 (r( ))2 d .

a

Доказательство этой формулы. Рассмотрим формулы взаимосвязи между полярными и декартовыми координатами:

x r cosy r sin

Теперь применим параметр таким же образом, как в прошлой

формуле был параметр t .

x() r() cos , y() r() sin .

Найдѐм производные:

x ( ) r ( ) cos r( ) sin y ( ) r ( ) sin r( ) cos

b

Их надо подставить в формулу: L (x ())2 ( y ())2 d .

a

37

b

L (r () cos r() sin )2 (r () sin r() cos)2 d

a

применим формулу сокращѐнного умножения в каждом квадрате под корнем. Там получатся квадраты и удвоенные произведения, которые, впрочем, сократятся, ведь они будут разного знака. Выражение под корнем преобразуется так:

(r ( ) cos r( ) sin )2 (r ( ) sin r( ) cos )2 = (r ( )) 2 cos2 (r( )) 2 sin 2 2r ( )r( ) sin cos + (r ( )) 2 sin 2 (r( )) 2 cos2 2r ( )r( ) sin cos = (r ( )) 2 (cos 2 sin 2 ) (r( )) 2 (cos 2 sin 2 ) =

(r ( )) 2 (r( )) 2 .

b

Поэтому и получается в итоге: L (r ( ))2 (r( ))2 d .

a

ЛЕКЦИЯ № 4. 07.03.2017

§5. Несобственный интеграл.

Если криволинейная трапеция бесконечно вытянута вправо или вверх, то может быть конечная площадь. Примеры:

Но ведь область значений E(f) не является ограниченной. При вычислении мы даже и не заметили, что функция неограниченная в

ограниченная, и в неѐ можно просто подставить x 0 и x 1. Вот

1

график этой функции : 2 x

38

a

Аналогично с помощью предела можно определить и несобственный интеграл 2 рода. Так, если функция имеет бесконечный предел на

b

обозначается f (x)dx .

a

Итак, если неограниченная D(f), то интеграл называется

несобственным интегралом 1-го рода, а если E(f) то несобственным

интегралом 2-го рода.

Если предел существует и является конечным числом, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется

расходящимся.

Кстати, для сравнения, геометрическая прогрессия также бывает сходящейся либо расходящейся. Если площадь такой бесконечно вытянутой криволинейной трапеции разбить на части по целым числам, например от 1 до 2, от 2 до 3 и так далее, то если они образуют сходящуюся прогрессию, и в сумме равны некоторой константе, то интеграл сходится.

Примеры расходящихся несобственных интегралов.

40