Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Вторая сопряжѐнная, т.к. только таким спосбом можно корректно ввести понятие нормы функции. Если по этому правилу умножать

		b

одну и ту же функцию, то ( f , f ) f (x) f			(x)dx =
		a
b	b
( f1	if2 )( f1 if2 )dx = ( f12 f 2	2 )dx 0 . Таким образом, существует
a	a

корень квадратный из этой величины,

( f , f ) .

in x

i x

i2 x

т.е. ...,e

Рассмотрим систему функций

,1, e l , e

l ,...

n Z

причѐм при n = 0 получается именно e0

1 , т.е. константа

автоматически находится в составе такой системы функций.

in x

Докажем ортогональность системы

и вычислим

квадраты норм всех этих функций.

in x

im x

in x

im x

i(n m) x

dx = e

dx , что при n m означает

, e l

ik x

k x

dx = cos

dx i sin

dx 0 0i так как на отрезке [l, l]

будет целое количество полных периодов этих тригонметрических функций.

Если вычислять это скалярное произведение при одном и том же номере n ,то мы получим этим самым квадраты норм этих функций.

in x

l in x

in x

l 0i x

e l

, e

l dx =

dx = e0 dx = 1dx =

2l . Квадраты норм равны 2l .

151

in x

Комплексный ряд Фурье.

f (x) c0

cn e

in x

Где c

f (x)dx ,

f (x)e

dx .

Пример. Найти комплексный ряд Фурье для функции:

x ( 1,0)

f (x)

x ( 01)

1 e in x dx =

e in x 1 = e in

1 dx 1 . cn

2 0

2in

cosn i sin n 1

cosn 1

( 1)n 1

1 ( 1)n

2in

( 1)

Ответ.

f (x)

ein x

2in

Кстати, если дальше преобразовать экспоненту в комплексной степени, то можно свести к обычному тригонометрическому ряду Фурье. Сделаем это. Объединим пары слагаемых при номерах n, n .

f (x)

1 ( 1)n

in x

1 ( 1)

in x

2(n)

n 0

1 ( 1)

in x

)

2in

n 0

1 ( 1)n

ein x

e in x

n 0

2(1 ( 1)

)

sin n x .

n 0

152

ЛЕКЦИЯ № 15. 30.05.2017

Если записать подробнее комплексный ряд Фурье, т.е. внутри суммы подробно представить коэффициент, то получим:

	1	l	in x			in x
	1		l			l
f (x) c0		f (x)e		dx	e		.
f (x) c0	2l	f (x)e		dx	e		.
n		l

Обозначим частоту		n	. Приразение частоты от предыдущего к
Обозначим частоту	n	l	. Приразение частоты от предыдущего к
	n

следующему номеру:	n n 1 n			(n 1)	n	.
следующему номеру:	n n 1 n					.
				l	l	l

Разложение в ряд Фурье существует для функции на [l, l] для любого

сколь угодно большого l . При этом период увеличивается, а частота уменьшается. Если представить что l то вся действительная ось

представляет собой один большой период, при этом n		0 .
	l

Очевидно, что можно рассматривать тригонометрические функции с любым действительным коэффициентом, т.е. может ьыть не лискретный, а непрерывный набор частот синуса и косинуса.

Предельным переходом при n 0 сумма превращается в интеграл (как интегральные суммы в прошлых темах).

		1
	f (x)	1		i u		i x	d
Интеграл Фурье			f (u)e		du e
Интеграл Фурье		2	f (u)e		du e
		2

Промежуточная переменная u во внутренней части этого двойного интеграла пишется для того, чтобы отличать еѐ от внешней переменной x . Но ведь можно коэффициент поделить поровну между внешним и внутренним интегралом,

	1	1		i u		i x
	1	1		i u		i x
			f (u)e
f (x)					du e		d . Та функция от	,
f (x)	2	2			du e		d . Та функция от	,
	2	2

которая здесь в скобке, называется преобразованием Фурье:

153

	1
Преобразование Фурье F ( )	1	f (x)e i x dx

	2
	2

Когда мы не рассматриваем еѐ в двойном интеграле, то можно x не заменять на новую переменную u .

Симметричность формул прямого и обратного преобразования Фурье:

			1												1
	F ( )		1				f (x)e i x dx и			f (x)					1			F( ) ei x d

				2													2
				2													2

Пример. Найти преобразование Фурье для функции
	f (x)		0				x ( ,0)
	f (x)		e 3x				x (0, )

Решение. Здесь на левой части действительной оси функция
тождественно 0, так что интеграл только по правой части:
			1							1										1	1
	F ()		1				e 3x e i x dx =			1			e (3 i ) x dx =							1	1	e (3 i ) x
	F ()						e 3x e i x dx =						e (3 i ) x dx =								3 i	e (3 i ) x
				2		0				2		0								2	3 i		0
1			1		(0 1)				1		. Можно ещѐ и домножить на
					(0 1)						. Можно ещѐ и домножить на
		2 3 i						2 (3 i )
сопряжѐнное, чтобы в знаменателе получить действительное
выражение, тогда ответ:									F ()						3 i				.

																(9 2 )
														2		(9 2 )

Дополнение.

Гиперкомплексные системы. Кватернионы. (краткий обзор).

154

Приложение 1. Вопросы на доказательства (для билетов).

Лекция № 1 1. Докажите формулу интегрирования по частям. Лекция № 2

1. Доказать, что замена t r x , где r = НОК (r1,...,rk) сводит интегралf (x, r1x,...,rkx )dx к интегралу от рациональной дроби.

Доказать, что замена замена t r

ax b

сводит интеграл вида

cx d

ax b

f r

к интегралу от рациональной дроби.

cx d

Вывести формулы преобразования синуса и косинуса

sin x

cos x

1 t 2

для универсальной тригонометрической

t 2

замены t tg

Доказать, что в случае, когда функция нечѐтна относительно

косинуса, замена t sin x сводит интеграл к рациональной дроби.

Доказать, что в случае, когда f (sin x, cosx) f (sin x, cosx)

замена: t tgx сводит интеграл к рациональной дроби.

Доказать, что для интеграла вида f x,

dx замена

a 2 x2

x asin t своит интеграл к рациональной дроби.

Доказать формулу

dx arcsin

a 2 x 2

dx замена

Доказать, что для интеграла вида f x,

a 2

своит интеграл к рациональной дроби.

sin t

dx замена

Доказать, что для интеграла вида f x,

a 2

x atgt сводит интеграл к рациональной дроби.

155

Лекция № 3

Доказать, что функция (x) f (t)dt

является первообразной от

функции f (x) .

Доказать формулу НьютонаЛейбница: f (x)dx F (b) F (a) .

Доказать формулу длины явно заданной кривой:

L 1 ( f (x))2 dx .

Доказать формулу длины кривой, заданной в полярных

координатах L (r ( ))2 (r( ))2 d

Лекция № 4

Докажите теорему:

сходится a 1 ,

сходится a 1.

Лекция № 5

Вывести (доказать) формулу площади явно заданной поверхности

dxdy .

1 f x 2 f y 2

x cos

2. Вывод формул перехода к полярным координатам .y sin

3. Вывод определителя Якоби полярных координат I . 4. Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам

	x cos

	y sin .
		z z
		z z

5.Вывод определителя Якоби цилиндрических координат I .

6.Вывод формул перехода к сферическим координатам:

156

	x sin cos

	y sin sin .
		z cos
		z cos

Лекция № 6

1. Доказать, что замена u xy сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

2.Вывести общий вид решения линейного однородного уравнения.

3.Вывести общий вид решения линейного неоднородного уравнения методом Лагранжа.

4. Доказать, что замена z	1	сводит уравнение Бернулли к

	y n 1
	y n 1
линейному уравнению.

Лекция № 7.

1.Доказать, что замена z y (k ) понижает на k порядок уравнения

F (x, y (k ) ,..., y (n 1) , y (n) ) 0 .

2.Доказать, что замена y p( y) понижает на единицу порядок уравнения F ( y, y ..., y (n) ) 0 .

3.Доказать теорему: Функция erx является решением линейного однородного дифференциального уравнения r есть характеристический корень.

4.Доказать теорему о том, что линейная комбинация решений линейного однородного дифф. уравнения тоже есть его решение.

5.Доказать теорему о наложении решений: Если y1 - решение

линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью b1 (x) , а y2 - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью b2 (x) , то сумма y1 y2 является решением уравнения с правой частью

b1 (x) b2 (x) .

157

Лекция № 8.

1. Доказать теорему о том, что система функций линейно-зависима

W (x) 0 .

2. Доказать теорему о том, что существует n линейно-независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n.

3. Доказать, что если 0 является корнем кратности k , то система решений, соответствующих этому корню, имеет вид 1, x,..., x k 1 .

Лекция № 9.

1.Доказать с помощью показательной формы, что при умножении комплексных чисел модули умножаются, а аргументы складываются.

2.Доказать формулу Муавра для степени n

z n n (cos(n ) i sin(n )) .

3. Доказать формулу корня порядка n комплексного числа

2 k

i sin

2 k

z n cos

4. Доказать, что sin z

eiz e iz

и cos z

eiz e iz

являются обобщениями синуса и косинуса, т.е. для действительных чисел по этим формулам получится синус (косинус).

5. Доказать формулу логарифма комплексного числа:

Ln(z) ln i( 2k) .

Лекция № 10

1.Доказать, что сходимость ряда эквивалентна сходимости его остатка.

2.Доказать расходимость гармонического ряда 1 12 13 ... 1n ...

3.Доказать на примере ряда 1 12 13 14 ...,что закон

коммутативности не выполняется в бесконечном случае.

4.Доказать необходимый признак сходимости.

5.Доказать интегральный признак Коши.

158

6.Доказать признак Даламбера в конечной форме.

7.Доказать признак Даламбера в предельной форме.

8.Доказать радикальный признак Коши в конечной форме.

Лекция № 11 1. Доказать признак Лейбница.

2. Доказать теорему Абеля. 1) Если ряд an zn сходится в точке z1 ,

n 0

то он сходится в любой точке z , для которой

, причѐм

абсолютно.

2) Если ряд

an zn

расходится в точке z1 то он расходится в любой

n 0

точке, для которой

3. Доказать формулы радиуса сходимости степенного ряда.

R lim

| an

и R

lim

n | an 1

n n | an |

Лекция № 12.

Доказать теорему: Область сходимости ряда Лорана есть кольцо вида r z z0 R .

Лекция № 13 1. Вывод формул коэффициента (Фурье) разложения по

ортогональной системе: с	( f ,n )		или с	( f , n )			.

n	(n	,n )	n		n	2

2. Доказать теорему: Среднеквадратичное отклонение между f и Pn минимально коэффициенты i ci (совпадают с коэффициентами

Фурье).

3. Доказать, что если x(t), y(t) ортогональные функции, то : x y 2 = x 2 y 2 .

159

Лекция № 14 1. Доказать ортогональность основной тригонометрической системы

1		x		x		n x		n x
	,sin		, cos		,...,sin		, cos		,...
	,sin		, cos		,...,sin		, cos		,...
2		l		l		l		l

и вычислить квадраты норм функций. 2. Доказать, что ряд Фурье имеет вид

n x

f (x)

an cos

bn sin

где его коэффициенты:

n 1

1 l

n x

1 l

n x

f (x)dx ,

f (x) cos

dx ,

f (x)sin

dx .

3. Вывести гармонический вид записи ряда Фурье:

n x

An cos

n 1

in x

4. Доказать ортогональность системы

e l

и вычислить

квадраты норм этих функций.

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20234.98 Mб6Математика для гуманитарных, экологических и экономико-юридических специальностей. Часть 2.pdf
#
05.02.202311.03 Mб10Математика-2-й семестр (курс лекций)..pdf
#
05.02.20234.95 Mб6Математика-3-й семестр(курс лекций)..pdf
#
05.02.20231.56 Mб4Математика. Дополнительные главы.pdf
#
05.02.2023984.92 Кб13Математика. Математический анализ.pdf
#
05.02.20232 Mб5Математика.-1.pdf
#
05.02.20232.61 Mб4Математика.-2.pdf
#
05.02.20232.05 Mб3Математика.-3.pdf
#
05.02.20232.49 Mб3Математика.-4.pdf
#
05.02.20233.03 Mб3Математика.-5.pdf
#
05.02.20232.78 Mб3Математика.-6.pdf