Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика.-1

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
05.02.2023
Размер:
2 Mб
Скачать

0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

 

(x

3

)

3

 

 

 

 

 

(x

3

)

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)dx =

 

 

(x

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... dx

=

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

5!

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5

 

 

 

 

 

 

x

9

 

 

x

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

1/ 2

 

 

 

x

10

 

1/ 2

 

x

16

 

1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... =

x

 

 

3!

 

5!

 

... dx

 

4

 

 

 

 

 

10

3!

 

16 5!

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

...очевидно, здесь 3 и последующие

 

 

 

 

 

 

24 4

210 10 6

216 16 120

слагаемые заведомо меньше 10 5 , и не повлияют на 4-й знак после запятой, поэтому приближѐнное значение

1

 

1

=

1

 

 

1

 

0,0156 0,000016 0,0156.

24 4

 

210 10 6

 

64

 

1024

60

Как видим, даже 2-е слагаемое можно было не рассматривать, т.к.

оно меньше, чем 10 4 .

4. Решение дифференциальных уравнений.

Можно представить неизвестную функцию y(x) в виде степенного ряда y a0 a1x a2 x2 ... и подставить его в дифференциальное

уравнение, тогда решение найдѐтся тоже в виде ряда, т.е. можно знать строение решения, его график и т.д. даже без аналитического выражения этой функции. .

Пример. y y решить с помощью степенных рядов. y a0 a1x a2 x2 ... тогда y a1 2a2 x 3a3 x2 ...

Из равенства a1 2a2 x 3a3 x2 ... = a0 a1x a2 x2 ... получаем: a1 a0 , 2a2 a1 , 3a3 a2 и так далее.

В этом случае все коэффициенты можно последовательно выразить

через a

 

. А именно, a

 

a

 

, a

 

 

a1

 

a0

, a

 

 

a2

 

a0

и т.д.

0

 

0

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

x

3

 

 

 

 

Тогда y a

a x a

 

x2 ... = a

 

1 x

 

 

 

 

 

 

...

здесь видно,

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что в скобках получилось разложение экспоненты. Итак, y a0ex .

131

Эту единственную константу можно переобозначить C и получится знакомый из вид общего решения такого уравнения: y Ce x .

Пример. Решить дифференциальное уравнение

 

y y с помощью

степенных рядов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y a

 

 

a x a

2

x2

...

 

y a

2a

2

x 3a x2 ...

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2a

2

3 2a x 4 3a x2

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим в уравнение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

2

3 2a x 4 3a

4

x2

 

... = a

 

 

a x a

2

x2

... тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2 a0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2a3 a1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 3a4 a2 ,

 

 

 

 

 

 

5 4a5 a3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 5a6 a4 ,

 

 

 

 

 

 

7 6a7 a5 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из этих двух групп равенств можно все чѐтные коэффициенты

выразить через a0 , а все нечѐтные через a1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

1

a

 

 

,

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

0

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

1

 

 

a

 

 

 

 

 

1

a

 

 

,

 

a

 

 

 

 

1

 

 

 

a

 

 

 

1

a , ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

4 3

 

2

 

 

 

 

 

4!

 

 

0

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

5

 

4

 

 

 

3

 

 

 

5!

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

аналогично,

 

a

 

 

 

 

 

1

a

 

,

a

 

 

 

1

a

,

 

a

 

 

1

 

a

 

, a

 

 

1

a ,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6!

 

0

 

 

5

 

 

 

 

7!

1

 

 

 

 

 

8

 

8!

 

0

 

 

9

 

9!

1

Тогда

 

 

y a

 

 

a x

a0

 

x2

a1

 

x3

a0

 

x4

a1

x5

... =

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4!

 

 

 

 

 

 

5!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

x

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y a

 

1

 

 

 

 

 

 

 

...

a

x

 

 

 

 

 

 

... =

 

a

 

cos x a sin x .

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3!

 

 

5!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Впрочем, константы можно переобозначить через C1 ,C2

и записать

решение в привычном виде

 

 

y C1 cos x C2 sin x .

 

 

 

 

 

132

Ряды ЛОРАНА.

Ряд вида an (z z0 )n , то есть содержащий как положительные, так

n

и отрицательные целые степени, называется рядом Лорана. Совокупность слагаемых с нулевой и положительной степенью называется его правильной частью, а отрицательных - главной частью.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

an (z z0 )n

правильная часть,

an (z z0 )n

главная часть, еѐ

n 0

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a n

 

 

 

также можно переписать в виде:

 

 

 

.

 

 

 

 

z0 )n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 (z

 

 

 

...

a 2

 

 

a 1

a0 a1 (z

z0 ) a2 (z z0 )

2

...

(z z0 )2

 

z z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 1. Область сходимости ряда Лорана есть кольцо вида r z z0 R .

Доказательство. Распишем по отдельности на главную и

 

 

 

a n

 

правильную часть: an (z z0 )

n

+

.

 

(z z0 )n

n 0

 

n 1

 

1. Для правильной части верна теорема Абеля, ведь это обычный степенной ряд. Правильная часть абсолютно сходится в некотором

круге z z0 R .

 

a n

 

2. Рассмотрим главную часть ряда Лорана

.

(z z0 )n

n 1

 

Сделаем в ней замену с целью представить через положительные

1

 

степени и применить теорему Абеля. w

 

. тогда для новой

z z0

переменной w ряд принимает такой вид: a n wn . Это степенной

n 1

133

ряд, его круг сходимости с центром в 0. То есть,

 

w

 

r1

 

 

 

1

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z0

 

 

, обозначим

r , вот и получили

 

 

 

z z0

 

r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, область сходимости есть r

 

z z0

 

R , это кольцо.

 

 

Крайние случаи:

Если r 0 : круг с выколотой точкой 0 z z0 R .

Это происходит, если в главной части лишь конечное количество слагаемых. Их значение не существует только в самой точке z0 , а в

любой точке из еѐ окрестности - существует. Поэтому из области сходимости исключается лишь одна точка.

Если R : внешняя часть некоторого круга r

 

 

z z0

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(z 1)n

 

 

 

 

 

1

 

 

Пример. Найти кольцо сх ряда Лорана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

5

n

2

n

(z 1)

n

n 0

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдѐм отдельно по радикальному признаку Коши область сходимости правильной и главной части.

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Для

(z 1)

 

получается

 

 

 

 

1, т.е.

 

z 1

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

n 0

5n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2.

Для

 

получается

 

 

 

 

 

1, т.е.

 

z 1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2n (z 1)n

2

z 1

 

 

2

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. Кольцо сходимости:

1

 

 

 

 

z 1

 

5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

134

3
(z 2)( z 3)
1

ЛЕКЦИЯ № 13. 16.05.2017

Разложение в ряд Лорана с помощью геометрической прогрессии.

Пример. Разложить функцию :

а) в ряд Лорана в кольце 2 z б) во внешней области z 3 в) в ряд Тейлора в круге z 2.

Во-первых, если центр кольца 0, а точки разрыва z 2 и z 3, то

есть 3 области: D1 z 2 ,

D2 2 z 3 ,

D3 z 3 .

Чертѐж:

D2 2 z 3 кольцо, расположенное между двумя точками

разрыва, так, чтобы ни одна из низ не была внутри кольца.

Разложим на простейшие дроби. Это действие необходимо в любом случае, независимо от того, в каком множестве надо получать разложение в ряд.

1

=

A

 

 

 

B

 

=

A(z 3) B(z 2)

 

 

(z 2)( z 3)

 

z

2

 

z 3

 

(z 2)( z 3)

 

 

 

( A B)z (3A 2B) 0z 1

 

 

A B 0

 

система:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3A 2B 1

 

A 1, B 1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

f (z) =

 

 

.

 

 

 

z 2

z 3

 

 

 

135

1) Для разложения в ряд Лорана в кольце, надо вынести за скобку иногда константу, а иногда z , чтобы всегда получалось что-то меньшее 1.

Из условия 2

 

z

 

3 следует

 

2

1

 

 

и

 

z

 

 

1, то есть в знаменателе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

можно получать

2

и

 

z

, но нельзя

 

 

z

 

 

и

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

=

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

=

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

z 2

z 3

 

 

 

 

2

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

3

теперь в каждом случае получено выражение вида

1

котрое и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

является суммой геометрической прогрессии, и его можно превратить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в бесконечную сумму по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

q n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

n

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

z

 

 

 

z n 0

 

 

z

 

 

 

 

 

 

3 n 0

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

1

 

 

1

 

z

 

z

2

 

( 1)n

 

 

( 1)n

 

 

 

 

=

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

n 1

 

3

n 1

 

 

z

3

 

 

 

z

2

 

 

 

3

2

3

3

n 0

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 3

 

 

 

 

 

2) Теперь разложим в ряд во внешней области, которую, впрочем,

можно также считать кольцом типа 3

 

z

 

.

 

Здесь

 

 

z

 

3 причѐм

 

 

 

 

 

автоматически выполнено также и

 

z

 

 

2 , т.е. надо получать в

 

 

знаменталелях выражения

 

2

 

и

 

3

 

, и в итоге в ответе будут только

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

отрицательные степени.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

=

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

=

 

z 2

z 3

 

2

 

 

 

3

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

z

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

136

1

 

 

 

2

n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z n 0

 

 

z

 

z

 

 

 

3

n

 

 

 

 

 

 

в данном случае их можно и объединить,

 

n 0

 

 

z

 

т.к. в каждом слагаемом есть одинаковые степени.

1

 

 

 

2

n

 

 

3

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z n 0

 

 

z

 

 

z

 

n

3

n

= ( 1)n

2

 

 

. В этом ряде Лорана есть

 

z n 1

 

n 0

 

 

только главная часть.

3) Если требуется разложить в ряд в круге, то это получится ряд Тейлора, там наоборот, в обеих дробях надо выносить константу,

чтобы было

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

z 3

 

1

 

 

 

z n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n 0

 

 

 

2

z

и

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 n 0

 

 

 

3

 

 

 

1

 

 

=

1

 

 

1

 

 

 

1

1

 

 

=

 

 

z

2

 

 

 

 

z

3

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

n

1

 

1

 

 

 

= ( 1)

 

n

 

 

 

 

z

 

.

 

 

 

n 0

2n 1

 

3n 1

 

 

 

Пример (со сдвигом центра)

Разложить функцию

1

в ряд Лорана по степеням

z 1.

 

(z 2)( z 3)

 

 

 

Решение. Центр в точке 1, тогда расстояние до ближайшей особой точки равно 3, а до второй 4. Получается, что кольцо, где будет ряд,

для этой задачи: 3 z 1 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

Разложение на простейшие дроби то же самое,

 

 

 

.

z 2

z 3

Но после этого надо отделить выражение z 1.

 

 

 

 

1

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

далее в соответствии с

 

z 2

z 3

(z 1) 3

(z 1) 4

неравенствами

 

z 1

 

4

 

 

z 1

 

3 надо вынести за скобку в одной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дроби константу, а в другой z 1.

137

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(z 1) 3

(z 1) 4

 

 

z 1 1

 

 

3

 

 

 

4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3 n

 

1

 

 

 

z 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1 n 0

 

 

 

z 1

 

4 n 0

 

 

4

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Объединить их нельзя, так как в одной части отрицательные степени, а в другой части положительные, это главная и правильная часть ряда соответственно.

§4. Ряды Фурье.

Скалярное произведение функций.

Вспомним скалярное произведение векторов (a, b) a1b1 ...anbn .

Для функций можно построить обобщение. Если заданы 2 функции f (x), g(x) , то очевидно, их можно умножить в каждой точке. Затем

все эти произведения надо проинтегрировать, так как точек на интервале бесконечное количество. Получается как бы бесконечное количество координат.

Итак, определим скалярное произведение пары функций на интервале

b

(a, b) по формуле: ( f , g) f (x)g(x)dx .

a

Можно считать, что это верно и на отрезке [a,b] , ведь две граничные точки не влияют на величину интеграла.

Пример. Найти скалярное произведение f (x) x и g(x) x 2 на интервале (0,1).

1

1

x

4

 

 

1

1

 

 

 

Решение. ( f , g) x x2 dx =

x3dx =

 

 

 

 

.

4

4

0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Свойства скалярного произведения, которые легко следуют из свойств линейности интеграла:

( f , g) (g, f )

138

( f g, h) ( f , h) (g, h) , ( f , g h) ( f , g) ( f , h) (cf , g) c( f , g) , ( f , cg) c( f , g)

Вспомним, что для векторов есть понятие модуля,

a a12 ...an 2 (a, a) . Аналогичное понятие для функций называется нормой функции:

 

 

 

b

b

f

 

 

f (x) f (x)dx

f 2 (x)dx

( f , f )

.

 

 

 

 

 

 

 

a

a

Очевидно, что этот квадратный корень существует, ведь f 2 (x) 0 , а

b

значит и f 2 (x)dx 0 .

a

Ортогональные функции.

Две функции называются ортогональными на интервале (a, b) , если

b

( f , g) 0 , то есть f (x)g(x)dx 0 .

a

Здесь нет такого простого геометрического смысла, как в случае перпендикулярных векторов, для функций ортогональность значит, что произведение функций где-то больше, а где-то меньше нуля так, чтобы эти части компенсировались и уничтожились при интегрировании.

Пример. Доказать, что функции f sin x , g cosx ортогональны на интервале (0, ) .

 

1

 

 

1

 

 

 

 

sin x cos xdx =

sin 2xdx

=

cos2x

 

2

4

0

0

0

 

 

 

 

 

 

= 14 (cos2 cos0) = 0.

Замечание. Если одна из функций в произведении тождественно равна 0, то интеграл очевидно, равен 0. Поэтому тождественный 0 это ортогональная всем функция.

Ортогональные системы. Если любая пара функций в системе ортогональна, то система называется ортогональной.

139

0 ,1 ,2 ,..., n , ,... ортогональна, если (i , j ) 0

для любых i j .

Система функций на отрезке [l, l]:

 

 

 

1

 

x

 

x

 

n x

 

n x

 

 

 

 

,sin

 

, cos

 

,...,sin

 

, cos

 

,...

 

 

 

 

 

 

 

2

 

l

 

l

 

l

 

l

 

 

ортогональна, еѐ подробно рассмотри позже, с помощью неѐ как раз и строятся тригонометрические ряды Фурье.

Формулы коэффициента (Фурье) разложения по ортогональной

системе: с

( f ,n )

или с

 

( f , n )

.

 

 

n

(n ,n )

n

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

Доказательство. Пусть функция f

представлена в виде суммы:

f c0 0 c1 1 ...cn n ...

найдѐм коэффициенты .

Можно скалярно домножить на n . Получим

( f ,n ) (c0 0 c1 1

...cn n ..., n ) =

c0 (0 ,n ) c1 (1 ,n ) ...cn (n ,n ) ...

среди этих слагаемых, лишь одно отлично от нуля, ведь система

ортогональна, и при i n будет

(i ,n ) 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда ( f ,

 

) c

 

(

 

,

 

) , тогда

с

 

( f ,n )

то есть

 

с

 

( f , n )

.

n

n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(n ,n )

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) n (x)dx

 

 

 

Можно записать и с помощью интегралов: с

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

n

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2 (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогичное равенство верно и для векторов:

a

(a, e1 )

 

 

a1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

e1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

140