Цифровые системы связи и передачи данных

Общая форма образующего полинома имеет вид:

g(x) = (x – ai)(x – ai+1)…(x – ai+1+2t),

а кодовое слово формируется с помощью операции:

c(x) = g(x) * i(x),

где g(x) является образующим полиномом, i(x) представляет собой информационный блок, c(x) — кодовое слово, называемое простым элементом поля.

Архитектура кодировщика. 2t символов четности в кодовом слове Рида — Соломона определяются из следующего соотношения:

p(x) = i(x) * xn−kmod g(x).

Ниже на рис. 3.30 показана схема реализации кодировщика для версии RS

(255,249).

Рис. 3.30. Схема кодировщика Р-С

Каждый из 6 регистров содержит в себе символ (8 бит). Арифметические операторы выполняют сложение или умножение на символ как на элемент конечного поля.

Архитектура декодера. Общая схема декодирования кодов Рида — Соломона показана ниже на рис. 3.31.

Обозначения:

–r(x) — Полученное кодовое слово;

–Si — Синдромы;

–L(x) — Полином локации ошибок;

–Xi — Положения ошибок;

133

–Yi — Значения ошибок;

–c(x) — Восстановленное кодовое слово;

–v — Число ошибок.

Рис. 3.31. Схема работы с кодами Рида — Соломона

Полученное кодовое слово r(x) представляет собой исходное (переданное) кодовое слово c(x) плюс ошибки:

r(x) = c(x) + e(x).

Декодер Рида — Соломона пытается определить позицию и значение ошибки для t ошибок (или 2t потерь) и исправить ошибки и потери.

Вычисление синдрома. Вычисление синдрома похоже на вычисление четности. Кодовое слово Рида — Соломона имеет 2t синдромов, это зависит только от ошибок (а не передаваемых кодовых слов). Синдромы могут быть вычислены путем подстановки 2t корней образующего полинома g(x) в r(x).

Нахождение позиций символьных ошибок. Это делается путем решения системы уравнений с t неизвестными. Существует несколько быстрых алгоритмов для решения этой задачи. Эти алгоритмы используют особенности структуры матрицы кодов Рида — Соломона и сильно сокращают необходимую вычислительную мощность. Делается это в два этапа.

1.Определение полинома локации ошибок. Это может быть сделано с помощью алгоритма Berlekamp — Massey или алгоритма Эвклида. Алгоритм Эвклида используется чаще на практике, так как его легче реализовать, однако алгоритм Berlekamp — Massey позволяет получить более эффективную реализацию оборудования и программ.

2.Нахождение корней этого полинома. Это делается с привлечением алгоритма поиска Chien.

134

Нахождение значений символьных ошибок. Здесь также нужно решить систему уравнений с t неизвестными. Для решения используется быстрый алго-

ритм Forney.

Реализация кодировщика и декодера Рида — Соломона. Аппаратная реализация. Существует несколько коммерческих аппаратных реализаций. Имеется много разработанных интегральных схем, предназначенных для кодирования и декодирования кодов Рида — Соломона. Эти ИС допускают определенный уровень программирования (например, RS (255, k), где t может принимать значения от 1 до 16).

Программная реализация. До недавнего времени программные реализации в «реальном времени» требовали слишком большой вычислительной мощности практически для всех кодов Рида — Соломона. Главной трудностью в программной реализации кодов Рида — Соломона являлось то, что процессоры общего назначения не поддерживают арифметические операции для поля Галуа. Однако оптимальное составление программ в сочетании с возросшей вычислительной мощностью позволяют получить вполне приемлемые результаты для относительно высоких скоростей передачи данных.

Практическая часть исследования

На данном этапе необходимо реализовать и проанализировать описанные выше алгоритмы кодирования на практике в программной среде Matlab 15. Необходимо построить соответствующие схемы, которые будут в себя включать источник сообщения, кодер, декодер, канал передачи, анализатор ошибок и соответственно устройства визуализации полученных результатов. Также необходимо сравнить ошибки передачи с линией, которая не будет никак преобразовывать передаваемую информацию, а просто передавать ее по каналу связи и при увеличении вероятности ошибки в канале до 0,3. Коды, которые подлежат реализации, — код Хэмминга (7,4), код БЧХ (15,7) и код Рида — Соломона (255,223). Всю задачу выполнить в среде Matlab 15. Представить проделанную работу в отчете.

Для начала необходимо запустить саму программу (рис. 3.32).

Далее необходимо нажать на вкладку «Simulink Library», которая находится на панели инструментов в открывшемся окне. Откроется следующее окно

(рис. 3.33).

135

Характеристики блоков выставить следующие (рис. 3.36–3.38).

Рис. 3.36. Bernoulli Binary Generator

Рис. 3.37. Binary Symmetric Channel

Рис. 3.38. Error Rate Calculation (анализатор ошибок) 138

Были рассмотрены особенности кода Рида — Соломона. Построили графики зависимости числа обнаруженных ошибок от вероятности ошибки для ко-

дов (255,223) и (7,3) (рис. 3.39–3.40).

Изучена структура кодера и декодера.

1.Код Рида — Соломона — код с 8-битными символами и проверкой на четность. В коде (255,223) 223 байта информационных символов, 32 байта проверки на четность.

2.Объем вычислительной мощности, необходимой для кодирования и декодирования кодов Рида — Соломона, зависит от числа символов четности. Большое значение t означает, что большее число ошибок может быть исправле-

139

но, но это потребует большей вычислительной мощности по сравнению с вариантом при меньшем t.

3.Код RS (255,223) может исправить до 16 ошибок в символах. В худшем случае могут иметь место 16 битовых ошибок в разных символах (байтах). В лучшем случае корректируются 16 полностью неверных байт, при этом исправляется 16 * 8 = 128 битовых ошибок.

4.В результате анализа графиков на рисунках 2.19–2.20 можно сделать вывод, что код с длинными последовательностями исправляет больше ошибок.

В разделе начало взяла аналитика выбора тех или иных параметров кодов, таких как выбор размерности кодов, вероятность ошибки в канале и т. д. Сначала были выполнен предварительный анализ, позволивший выбрать и обосновать структурные схемы кодов по исходным данным технического задания.

Путем проведения компьютерной симуляции была проверена достоверность расчетов. В программе Matlab 15 были собраны схемы:

1) кода Хэмминга;

2) кода БЧХ;

3) кода Рида — Соломона.

С помощью компьютерной симуляции была дана оценка ошибкам при передаче информации по каналу.

Ознакомились с различным программным обеспечением для построения различного вида схем.

Результаты исследования приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Результаты исследования кодов

140

Циклический избыточный код (англ. Cyclic redundancy code, CRC) —

алгоритм вычисления контрольной суммы, предназначенный для проверки целостности передаваемых данных. Алгоритм CRC обнаруживает все одиночные ошибки, двойные ошибки и ошибки в нечетном числе бит. Понятие циклических кодов достаточно широкое, однако на практике его обычно используют для обозначения только одной разновидности, использующей циклический контроль (проверку) избыточности.

Главная особенность значения CRC состоит в том, что оно однозначно идентифицирует исходную битовую последовательность и поэтому используется в различных протоколах связи, а также для проверки целостности блоков данных, передаваемых различными устройствами. Благодаря относительной простоте алгоритм вычисления CRC часто реализуется на аппаратном уровне.

При передаче пакетов по сетевому каналу могут возникнуть искажения исходной информации вследствие разных внешних воздействий: электрических наводок, плохих погодных условий и многих других. Сущность методики в том, что при хороших характеристиках контрольной суммы в подавляющем числе случаев ошибка в сообщении приведет к изменению его контрольной суммы. Если исходная и вычисленная суммы не равны между собой, принимается решение о недостоверности принятых данных, и можно запросить повторную передачу пакета.

Основная идея алгоритма CRC состоит в представлении сообщения в виде огромного двоичного числа, делении его на другое фиксированное двоичное число и использовании остатка этого деления в качестве контрольной суммы [2]. Получив сообщение, приемник может выполнить аналогичное действие и сравнить полученный остаток с «контрольной суммой».

На рис. 3.41–3.42 изображено графическое представление кодирования и декодирования CRC-кода.

Степенью CRC-полинома W называют позицию самого старшего единичного бита. Например, степень полинома 100112 равна 4.

Для вычисления CRC используют полиномиальную арифметику. Вместо представления делителя, делимого (сообщения), частного и остатка в виде положительных целых чисел, можно представить их в виде полиномов с двоичными коэффициентами или в виде строки бит, каждый из которых является коэффициентом полинома.

Например, десятичное число 23 в 16-ричной и 2-ичной системах будет иметь вид 2310 = 1716 = 101112, сообщение и делитель могут быть представлены в виде полиномов, с которыми можно выполнять любые арифметические действия без переносов.

142