Математика

тоже, и хотя они не прямо пропорциональны, но минимальное значение одной из этих величин достигается при тех же условиях, что и у другой.

Пример. Найти максимальное, среднее и среднеквадратичное отклонение для функций f (x) x , g(x) x 2 на [0,1] .

1) Максимум модуля разности ищем с помощью производной. Учитывая, что на рассматриваемом отрезке x x2 , можно записать и

111

ЛЕКЦИЯ 13. 28.11.2018

Если домножить функции из ортогональной системы системы на какие-то коэффициенты, то получится выражение

Но от двойной суммы где (n+1)2 слагаемых, фактически остаётся только (n+1) так как при несовпадении номера, скалярные произведения 0, ведь это ортогональная система.

112

Это выражение минимально, когда разность (ai ci ) равна 0, то есть в точности, когда ai ci что и требовалось доказать.

Даже если третье слагаемое равно 0, то 2 первых в любом случае остаются, вспомним, что ( f Pn , f Pn ) 0 т.к. это произведение одной и той же функции. Отсюда следует неравенство Бесселя:

Аналоги в векторных пространствах: если рассмотреть неполную сумму квадратов координат какого-то вектора, то очевидно, она меньше, чем квадрат его модуля. Так, для вектора из 3 координат

113

Для понимания, приведём аналог полной и неполной систем в векторных пространствах. Множество из 2 неколлинеарных векторов в пространстве не является полной системой, т.к. существует элемент, ортогональный этим двум векторам. А множество из 3 некомпланарных векторов - полная система.

Теорема 2. Замкнутая система является полной.

функция - тождественно нулевая.

С помощью скалярных произведений и норм можно доказать аналог теоремы Пифагора для систем функций.

Теорема 3. Если x(t), y(t) ортогональные функции, то

для векторов такое равенство означало,что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

114

§ 2. Тригонометрический ряд Фурье Основная тригонометрическая система

Рассмотрим подробнее, какие у них периоды. Известно, что при умножении на коэффициент частота увеличивается, а соответственно период уменьшается.

тригонометрических функций (не считая константы, конечно) на этом промежутке укладывается ровно одна волна, а для последующих - кратное число колебаний.

Докажем (ДОК 42) её ортогональность и вычислим квадраты норм всех составляющих её функций.

Константа ортогональна любой из функций этой системы, так как

которой целое количество периодов на данном отрезке, и такой интеграл равен 0.

Ортогональность всех остальных функций доказывается по формулам тригонометрии:

sin sin 12 cos( ) cos( ) cos cos 12 cos( ) cos( )

115

есть разность интегралов, каждый из которых 0 в силу того, что там периодическая функция, у которой на промежутке укладывается целое число полных периодов.

А если умножать не разные функции, а одну и ту же, то получится квадрат нормы. Посчитаем квадраты норм всех функций:

116

Ряд Фурье с помощью синусов и косинусов разных частот осуществляет наилучшее приближении графика функции, в том смысле, что наименьшее среднеквадратичное отклонение. Для частичных сумм ряда, чем больше взято частот, тем более мелкие особенности графика будут учтены, и огибающая пройдёт ближе.

117

Свойства чётности и нечётности.

функция чётная, а синус нечётный, произведение нечётное. Интеграл от нечётной функции по симметричному отрезку равен 0. Аналогично,

получается от нечётной, по симметричному промежутку, и он равен 0.

Ряд Фурье более подробно учитывает поведение функции на всём протяжении промежутка, в отличие от ряда Тейлора, который учитывает производные только в одной точке.

Пример. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию f (x) x на (-1,1).

Решение. Так как функция нечётная, то все коэффициенты a0 и an

1 1

bn 1 1x sin n xdx . Вычисляем интеграл по частям.

118

Пример. Разложить в триг. ряд Фурье f (x) 2x 3 на (-1,1) Решение. Заметим, что функция f (x) 3 2x нечётная. То есть, f это сумма нечётной и константы. Таким образом, коэффициенты an здесь тоже окажутся равны 0. Для поиска коэффициентов bn можно воспользоваться результатом, полученным в прошлой задаче.

119

ЛЕКЦИЯ 14. 05.12.2018

120