![](/user_photo/_userpic.png)
Математика
..pdf![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L411x1.jpg)
Краткая формула для запоминания:
F , dl Pdx Qdy Rdz |
|
L |
L |
.
Здесь видно |
скалярное произведение |
||
которых по |
3 координаты: |
(P, Q, R) |
|
|
|
|
|
можно записать в виде (x (t), y (t), z (t))
двух векторов, у каждого из
и |
(dx, dy, dz) , который также |
dt . |
|
Более подробно для вычислений на практике:
1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве
правая |
часть |
формулы |
пример |
такой |
длинный |
вид: |
b |
|
|
|
|
|
|
P(x(t), y(t), z(t)) x (t) Q(x(t), y(t), z(t)) y (t) R(x(t), y(t), z(t)) z (t) dt |
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
На самом деле, ничего просто в функциях P, Q,
особо сложного R все переменные
в
x,
вычислениях y, z выразить
нет, через
надо t по
тем формулам, которые задают параметрически кривую в пространстве. После этого всё сводится к определённому интегралу от одной переменной t .
2) Для параметрически заданной кривой в плоскости:
F , dl L
b P(x(t), y(t)) x (t) Q(x(t), y(t))
a
y (t) dt
.
3) Для явно заданной кривой в плоскости |
x |
|
|
поэтому вместо x (t) будет 1. |
|
b |
|
F , dl P(x, f (x)) Q(x, f (x)) f (x) dx |
.
отождествляется с
t
,
L |
a |
Пример. Точка движется по полуокружности радиуса 1 в верхней
полуплоскости, и на неё действует сила |
F ( y, x) . Найти работу |
силы.
Решение. Так как все точки расположены на окружности, то задаём
параметрически: |
x cos t , |
y sin t , |
t [0, ]. |
При этом x sin t ,
y cos t
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, dl |
|
sin t) ( sin t) cos t cos t dt = sin 2 t cos2 t dt = |
dt = . |
||
F |
|
||||||
L |
0 |
0 |
0 |
|
11
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L412x1.jpg)
Поверхностные интегралы 2 рода определяются несколько иначе, чем криволинейные. Это связано с тем, что для поверхности, в отличие от кривой, направление касательной в любой точке не единственно: их бесконечно много и они образуют касательную плоскость. Напротив, нормаль соответствует некоторому единственному направлению, перпендикулярному касательной плоскости. Именно по этой причине приняли решение использовать нормаль для построения данных интегралов. Причём нормаль не единичную а такую, чтобы она по длине была равна площади соответствующего участка поверхности. Вспомним определитель, который мы использовали при выводе формулы площади поверхности:
e |
e |
2 |
e |
3 |
1 |
|
|
||
1 |
0 |
f |
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
1 |
f |
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
f x ,
f
y
,1
, но теперь мы не будем считать модуль
этого вектора, а будем на него скалярно домножать вектор-функцию
|
|
,1 |
|
|
|
F (P,Q, R) . Обозначим dS f x |
, f y |
|
|
|
|
Определение. Пусть дана некоторая поверхность в пространстве |
R |
3 |
. |
||
|
|||||
|
|
Во всех точках пространства (и в частности, на поверхности) задана ограниченная и непрерывная векторная функция F (x, y, z) . Введём разбиение поверхности на n частей двумя семействами линий, возьмём на каждой из этих частей по одной точке M i . Рассмотрим
|
|
|
|
|
|
|
n |
интегральную сумму: |
|
F (M i ), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
n |
называется |
|
|
поверхностным |
|||
векторной функции). |
|
|
|
|
|
. |
|
Обозначается так: |
|
|
|
||||
F |
, dS |
S
dS . Предел таких сумм при
интегралом 2-го рода (от
Физический смысл в данном случае не работа силы, а поток
векторного |
поля |
через поверхность. Чем меньше угол |
между |
|||
F (P,Q, R) |
и нормалью, тем больше энергии каких-либо лучей |
|||||
|
|
|
|
|||
проходит через участок поверхности, |
а к примеру, если F направлен |
|||||
по касательной (и |
перпендикулярен |
нормали при этом), |
то лучи |
12
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L413x1.jpg)
скользят вдоль поверхности. Это например, как вблизи полюса лучи солнца почти перпендикулярны нормали к земной поверхности, а вблизи экватора наоборот, близки к нормали.
Чтобы получить формулу вычисления поверхностного интеграла 2 рода, мы должны под интегралом скалярно умножать такие векторы:
|
e |
|
1 |
F (P,Q, R) и |
1 |
|
0 |
P(x, y, f (x, y)) |
|
D |
|
Кратко: F , dS =
S
e2 0
1 f x
D
e |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
f x |
f x |
, f y ,1 . Получаем |
||
f |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Q(x, y, f (x, y)) f |
R(x, y, f ( |
|||
|
|
|
|
y |
|
|
Q |
|
|
P f x |
f y R dxdy . |
F , dS = S
x, y)) dxdy .
Вывод этой формулы (ДОК 1).
Здесь |
D |
- проекция поверхности на горизонтальную плоскость, т.е. |
||||
|
||||||
область определения параметров |
x, y . Также предполагается, |
что на |
||||
практике при вычислении надо выразить все |
z |
, которые |
||||
|
||||||
присутствовали в координатных |
функциях P, Q, R , |
через |
x, y , в |
соответствии с тем уравнением поверхность.
z
f
(x,
y)
,
которое задаёт
ЛЕКЦИЯ 2. |
12.09.2018 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример вычисления поверхностного интеграла 2 рода |
||||||||||||||||
Векторное |
поле |
F (x, y,3z) |
, |
поверхность - эллиптический |
||||||||||||
параболоид |
z x |
2 |
y |
2 |
, где |
|
z 1. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
,1 |
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Вектор нормали |
|
|
|
|
в данном случае 2x, 2y,1 . |
|||||||||||
|
f x , f y |
|||||||||||||||
x 2x y 2 y 3(x |
2 |
y |
2 |
) dxdy = |
|
x |
2 |
y |
2 |
dxdy . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D
D
где D - проекция этой части параболоида на плоскость Оху, это круг радиуса 1. Перейдём к полярным координатам.
x2 y 2 dxdy = |
2 |
1 |
= 02 |
|
4 1 |
||
d 2 d |
|
|
|||||
4 0 |
|||||||
D |
0 |
0 |
|
= 2 14 2 .
13
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L414x1.jpg)
Далее рассмотрим взаимосвязь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе (формула Грина). Вам давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей.
Определение. Работа векторного поля по перемещению точки по
замкнутой кривой называется циркуляцией.
Обозначение: F , dl или Pdx Qdy Rdz .
L
L
Для плоского векторного поля
F (P(x, y), Q(x, y))
верна такая
формула. Формула Грина:
Pdx Qdy
L
Q
x
D
Py
dxdy
.
Работа силы по границе области равна двойному интегралу от
|
Q |
|
P |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
по этой плоской области.
Доказательство (ДОК 2). Спроецируем область на ось Ох, обозначим
границы проекции: точки |
a, b . Сама граница области |
тогда условно |
подразделяется на две линии, снизу y1 (x) , а сверху |
y2 (x) . Чтобы |
движение по замкнутому контуру происходило против часовой
стрелки, надо по |
y1 (x) |
двигаться слева направо, а по |
y2 (x) |
справа |
налево. |
|
|
|
|
14
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L415x1.jpg)
Рассмотрим подробнее интеграл от функции P(x, y) по границе области. В соответствии со всем сказанным, он может быть записан
так:
b |
1 |
|
|
(x))dx |
|
|
P(x, y |
|
a |
|
|
a P(x,
b
y |
2 |
(x))dx |
|
|
. Но во втором интеграле можно
изменить
[b, a]
на
[a, b]
, сменив знак.
b |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
P(x, y |
(x))dx |
|
a |
|
|
|
b |
1 |
|
|
|
(x)) |
||
|
P(x, y |
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
P(x, y2 (x)) |
||
a |
|
|
P(x, y |
2 |
(x)) dx |
|
|
dx и их можно объединить |
|||
|
b |
P(x, y2 |
(x)) P(x, y1 (x)) dx |
= |
|
||
|
|||
|
a |
|
|
разность, которая внутри интеграла, является формулы Ньютона-Лейбница по переменной
|
|
b |
P(x, y) |
y |
( x) |
dx . |
|
запишем это в виде: |
|
|
|||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
( x) |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
результатом применения y :
Но если формула Ньютона-Лейбница применяется к |
P |
, значит, |
P |
это |
|
|
|||
первообразная по y , а она очевидно, является первообразной от своей |
производной |
P |
. То есть: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
b |
|
|
|
|
|
|
b |
|
y |
( x) |
P |
|
|
|
|
P(x, y) |
y2 |
( x) |
dx |
= |
|
|
dy |
dx |
а этой как раз и есть двойной |
||||||
y |
( x) |
|
y |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
интеграл по области D.
b y2 ( x) |
P |
|
|
|
|
|
|
|
y |
dy |
dx |
a y1 ( x) |
|
|
=
|
P |
|
|
D |
y |
|
dxdy
.
Аналогично можно спроецировать область D на ось Оу, допустим проекция займёт некоторый отрезок [c, d ] . Левую и правую линии,
составляющие замкнутый контур, обозначим x1 ( y) и здесь будет x2 ( y) (она дальше от оси Оу).
x |
2 |
( y) |
|
|
. Правая
15
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L416x1.jpg)
d
Тогда Q(x2 ( y),
c |
|
|
|
d |
|
|
|
Q(x2 ( y), y)dy |
|||
c |
|
|
|
d |
|
|
|
Q(x, y) |
x |
( y) |
dy |
x |
( y) |
||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
c |
|
|
|
c
y)dy Q(x1 ( y), y)dy =
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
Q(x1 ( y), y)dy |
= Q(x2 ( y), y) Q(x1 ( y), y) dy |
||||||||||
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d |
|
x |
( y) |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
= |
|
|
|
Q |
dx |
|
dy |
= |
|
dxdy . |
|
|
|
x |
|
x |
|||||||
c |
|
1 |
( y) |
|
|
|
|
D |
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
=
Сложим два полученных равенства и получается двойной интеграл
|
|
Q |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy . |
|
D |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
Пример вычисления работы по единичной окружности от поля F y, x без формулы Грина и по формуле Грина.
Способ 1. Параметрически: x cos t , y sin t , t [0,2 ] .
При этом
x
sin
t
, y cos t .
2 |
sin t) ( sin |
|
|
0 |
|
t) cos t cos t dt
=
2 |
|
|
sin |
2 |
t |
|
||
0 |
|
|
cos |
2 |
|
t dt
=
2
0
dt
= 2 .
16
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L417x1.jpg)
Способ 2.
Q |
|
P |
|
x |
y |
||
|
1 ( 1)
2
. Тогда
|
|
Q |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
|
D |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
D |
2dxdy
= |
2 |
|
|
||
|
|
D |
dxdy
где D - круг радиуса 1. Тогда интеграл от 1 это его
площадь.
2 dxdy D
= 2
12
=
2
.
§ 3. Элементы теории поля
Скалярное поле, или скалярная функция: U (x, y, z) . Векторная функция, которая отображает
(x, y, z) P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) называется векторным полем. Заметим, что градиент скалярной функции - это векторная функция:
|
|
|
R |
U x |
P , U y |
Q , Uz |
То есть, по скалярному полю всегда можно построить некоторое векторное.
Пример: U xyz . |
Тогда P,Q, R ( yz, xz, xy) . |
А вот обратная задача: если даны некоторые 3 скалярные функции, т.е. векторное поле, всегда ли они являются частными производными какой-то единой скалярной функции? Оказывается, нет.
Определение. Если существует такая скалярная функция |
U , что |
|||||
выполняется |
U |
P , |
U |
Q , |
U R , (то есть их |
общая |
|
x |
|
y |
|
z |
|
первообразная), то векторное поле называется потенциальным, а функция U называется потенциалом поля F P,Q, R .
Свойство. Если |
U |
Доказательство: |
(U |
(U C)z R 0 R .
- потенциал, то
C) |
P 0 P |
x |
|
U , (U
С - тоже потенциал. |
|
|
Q 0 Q , |
C)y |
Потенциал определяется с точностью до константы (точно так же как и первообразная). Именно поэтому в физике важна именно разность потенциалов, а не сам потенциал.
Примеры.
Пример не потенциального поля.
17
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L418x1.jpg)
F
(2xy |
2 |
, xy) |
|
. Первообразная от 1 компоненты по
x
это
x |
2 |
y |
2 |
|
|
,
однако первообразная по
xy |
2 |
|
, они не совпадают. |
||
2 |
||
|
y
от второй компоненты совсем другая:
Пример потенциального поля.
F (2xy |
2 |
,2x |
2 |
y) . Его потенциал: U x |
2 |
y |
2 |
. |
|
|
|
|
Далее нам надо научиться выяснять 2 вопроса:
1)выяснять, является ли поле потенциальным.
2)вычислять потенциал, если оно потенциально.
Теорема 1. Криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути циркуляция по замкнутому контуру равна 0.
Доказательство (ДОК 3).
Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А,В. Возьмём какой-нибудь замкнутый контур, разобьём его какиминибудь случайно взятыми точками. Докажем, что циркуляция равна 0.
(F, dl) (F, dl) |
|
|
|
L |
L |
1 |
2 |
(F, dl) (F, dl) |
||
|
|
|
L |
L |
2 |
1 |
|
(F, dl) (F, dl) |
||
|
|
|
L |
L |
2 |
1 |
|
0
.
Но так как объединение 2 частей в замкнутый контур это то получается: (F, dl) (F, dl) (F, dl) 0 .
L |
L |
L |
1 |
2 |
|
|
|
L |
L |
1 |
1 |
L
,
Достаточность.
18
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L419x1.jpg)
Пусть для любого замкнутого контура
(F, dl) L
0
. Если даны какие-
то точки А,В, и какие-то две различные линии, соединяющие их, то эти две линии можно объединить в единый замкнутый контур.
(F, dl) (F, dl) 0 |
||
|
|
|
L |
L |
2 |
1 |
|
(F, dl) (F, dl) |
||
|
|
|
L |
L |
2 |
1 |
|
(F, dl)
L 1
(F, dl)
L 2
,
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути, причём тогда потенциал в любой точке
A R |
3 |
|
A
вычисляется в виде F , dl где A0 - некоторая начальная
А0
точка, как правило (0,0,0).
Доказательство (ДОК 4).
Необходимость. Если поле потенциально то
U x
P
,
U y
Q
,
U R z
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
а тогда в интеграле Pdx Qdy Rdz получится |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
В |
U dx |
|
U dy |
|
U dz |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
dt а по формуле полного дифференциала |
|||||
А |
|
dt |
|
y dt |
|
z dt |
|
|
||
|
|
В |
dU |
|
|
|
|
|
|
|
это |
|
dt |
но ведь первообразная от производной - это сама функция |
|||||||
dt |
||||||||||
|
||||||||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
В |
B |
|
|
U, тогда работа поля Pdx Qdy Rdz в итоге равна U (t) |
= |
|||||||||
A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
U (B) U ( A) то есть зависит только от начальной и конечной точки. |
Достаточность.
Если криволинейный интеграл для поля (P,Q,R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0,0,0). Введём
19
![](/html/65386/276/html_GoKNpyRBeO.L2nA/htmlconvd-p4I9L420x1.jpg)
некоторую скалярную функцию U(x,y,z) равную работе поля от
(0,0,0) до точки А(x,y,z). То есть
( x, y, z )Pdx Qdy Rdz
.
(0,0,0)
А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом. Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А1 равен U(А1).
Координаты точек: А (x,y,z) и А1 (x+∆x,y,z) .
Тогда
( x x, y, z ) |
( x, y, z ) |
( x x, y, z ) |
Pdx Qdy Rdz |
Pdx Qdy Rdz |
Pdx Qdy Rdz |
|
(0,0,0) |
|
(0,0,0) |
|
|
( x x, y, z ) |
|
= |
U ( A1 ) U ( A) |
|
Pdx Qdy Rdz |
|
|||
|
|
( x, y, z ) |
( x, y, z )
но в интеграле по отрезку АА1
меняется только x, при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0.
1 |
x x |
|
|
P(x, y, z)dx P(c) x |
|
U ( A ) U ( A) |
|
|
|
x |
|
для некоторой промежуточной
точки с, где достигается среднее значение.
Тогда |
P(c) x U(A1) U(A) , следовательно, |
||||||
P(c) |
U ( A1 ) U ( A) |
= |
U (x x, y, z) U (x, y, z) |
||||
|
|
x |
x |
||||
|
|
|
|
||||
Но точка с тоже стремится к х при ∆x →0. |
|||||||
То есть U |
lim |
U (x x, y, z) U (x, y, z) |
P( |
||||
|
|||||||
|
|
x |
x 0 |
|
x |
||
|
|
|
|
. |
|
x) . Итак, U |
P . |
x |
|
Аналогично, рассматривая точку А1 с координатами А1 (x,y+∆y,z)
получили бы |
U |
Q , а если то А1 (x,y,z+∆z) то |
U R . Итак, поле |
|
y |
|
z |
20