Основы научно-исследовательской деятельности

эффективности его осуществления и др. В зависимости от поставленных в исследованиях задач применяют различные виды планов.

Теория математического эксперимента содержит ряд концепций, которые обеспечивают успешную реализацию задач исследования. К ним относятся концепции рандомизации, последовательного эксперимента, математического моделирования, оптимального использования факторного пространства и ряд других.

Принцип рандомизации заключается в том, что в план эксперимента вводят элемент случайности. Для этого план эксперимента составляется таким образом, чтобы те систематические факторы, которые трудно поддаются контролю, учитывались статистически и затем исключались в исследованиях как систематические ошибки.

При последовательном проведении эксперимент выполняется не одновременно, а поэтапно, с тем, чтобы результаты каждого этапа анализировать и принимать решение о целесообразности проведения дальнейших исследований (рисунок 3.1).

В результате эксперимента получают уравнение регрессии, которое часто называют моделью процесса. Для конкретных случаев математическая модель создается исходя из целевой направленности процесса и задач исследования, с учетом требуемой точности решения и достоверности исходных данных.

Под моделью понимают не абсолютно точное описание явления (подобно закону), а приближенное выражение неизвестного закона, которое удовлетворительно характеризует явление в некоторой локальной области факторного пространства. Для приближенного описания одного и того же явления можно предложить несколько моделей, оценка которых обычно производится по критерию Фишера. Так как степень полинома, адекватно описывающего процесс, предсказать невозможно, то сначала пытаются описать явление линейной моделью, а затем (если она неадекватна) повышают степень полинома, т.е. проводят эксперимент поэтапно.

Одна из существенных концепций в теории планирования эксперимента – оптимальное использование факторного пространства. Она заключается в том, что состояние объекта в каждом опыте определяется по результату одновременного оптимального варьирования n факторов в n-мерном пространстве. Это позволяет добиться значительного увеличения точности расчета коэффициентов полученной модели и уменьшить трудоемкость эксперимента.

Наиболее изучены, а потому и широко применяются планы экстремального эксперимента, которые позволяют описать исследуемый процесс и выполнить его оптимизацию. Эти планы представляют собой систему опытов, содержащую возможные неповторяющиеся комбинации выбранных факторов при заданных уровнях их варьирования. Данный метод позволяет одновременно изучать влияние многих факторов на исследуемый процесс и дает возможность получить полином k-й степени (функцию отклика) для математического описания исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащего в окрестности выбранной точки с

координатами (z01, z02, …, z0n). Полученную функцию отклика можно использовать также для оптимизации процесса, т.е. определять параметры, при которых явление или процесс будет протекать наиболее эффективно.

61

Выходной параметр (переменная состояния объекта) должен иметь количественную характеристику, т.е. измеряться с достаточной степенью точности и однозначно характеризовать объект исследования, что обеспечивает корректную постановку задачи.

Входные параметры zi должны иметь границы изменения (zimax – zimin), причем при различных комбинациях факторов zi переменная состояния объекта y не должна выходить из области допустимых значений; между факторами zi и значением y необходимо однозначное соответствие; факторы zi между собой взаимно независимы. В исследованиях (в целях упрощения вычислений) удобно пользоваться относительными (кодированными) переменными хi:

zimax, zimin – наибольшее и наименьшее значения (верхний и нижний уровень) факторов zi; z0i – средний (нулевой) уровень факторов zi; значениям zimax и zimin соответствует xi max = 1,

xi min = –1. Очевидно, что если при значениях хimax и хimin или кратным им ставятся эксперименты, то вычисления упрощаются. Значение фактора, которое фиксируется при

проведении эксперимента, называется его уровнем.

Среди планов экстремального эксперимента наиболее простыми являются планы полного факторного эксперимента (ПФЭ), в случае реализации которых определяется значение параметров состояния объекта y при всех возможных сочетаниях уровней

варьирования их факторов zi. Если мы имеем дело с n факторами, каждый из которых устанавливается на q уровнях, то для того, чтобы осуществить полный факторный эксперимент, необходимо поставить m = qn опытов. Наибольшее распространение получили планы экспериментов типа 2n. С увеличением q резко возрастает количество опытов, поэтому если q > 2, планы ПФЭ редко используются.

В соответствии с идеей последовательного поиска ПФЭ проводится в несколько этапов. Для упрощения изложения ограничимся полиномами первой и второй степени. В дальнейшем проанализируем только полный двухфакторный эксперимент, составляемый с целью описать поверхность отклика второго порядка (рисунок 3.2).

Допустим, что необходимо исследовать явление в зависимости от изменения двух факторов z1 и z2 методом полного двухфакторного эксперимента. Обычно в начале предполагают, что оно описывается линейным полиномом, т.е. поверхность отклика представляет собой плоскость, характеризуемую полиномом

y = a0 + a1x1 + a2x2.

Чтобы построить поверхности отклика в виде плоскости, достаточно провести четыре опыта. Наиболее удобно выбранные факторы варьировать на верхнем и нижнем

уровнях, что соответствует xi = +1, xi = –1. Для удобства планирования эксперимента составляют планы (рисунок 3.3) и матрицу (таблица 3.1) двухфакторного эксперимента, в соответствии с которыми и проводят исследования.

64

66

опытов, которые представляют собой часть матрицы полного факторного эксперимента (например, 1/2, 1/4 часть и т.д.). Так, чтобы найти коэффициенты регрессии уравнения

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3,

необходимо провести восемь опытов согласно матрице планирования полного трехфакторного эксперимента. Однако их можно найти и при уменьшении количества опытов до четырех, реализовать половину матрицы, поскольку план трехфакторного эксперимента представляется в форме куба, параметры которого полностью определены, если зафиксирована диагональная плоскость и вершины куба, лежащие на ней (рисунок 3.4). В этом случае основу матрицы планирования составляет матрица двухфакторного

эксперимента, варьирование третьего фактора соответствует произведению x1x2 (таблица 3.3). Это преобразование допустимо, если коэффициент регрессии a12 незначим или равен нулю.

Таблица 3.3 - Матрица планирования эксперимента

Такое планирование эксперимента, когда некоторые факторы приравнивают к произведению нескольких факторов, называется планированием со смешиванием. Его

обозначают 2n – p, где n – число факторов; р – число факторов, приравниваемых к произведениям. Например, описанное выше планирование (таблица 3.3) обозначают 23 – 1.

Использование метода ДФЭ или дробных реплик дает возможность в несколько раз уменьшить число опытов при исследовании линейных моделей. В таблице 3.4 приведена

матрица планирования 27 – 4, позволяющая при восьми опытах определить коэффициенты регрессии линейного полинома:

y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a7x7.

Здесь принято х4 = х1х2; х5 = х1х3; х6 = х2х3; х7 = х1х2х3. Такие равенства называют генерирующими соотношениями, их выбор произволен, однако повторение не

допускается. Широко используются планы 23 – 1, 25 – 2, 26 – 3, 27 – 3 и т.д., позволяющие уменьшить количество опытов в два и более раз.

Таблица 3.4 - Матрица планирования 27 – 4

Если же экспериментальные данные не согласуются с линейной моделью, то исследуемый процесс стремятся описать поверхностью второго порядка. Использование полинома второго порядка для описания объекта исследования на двух уровнях

68

Таблица 3.5 - Матрица планирования эксперимента

Коэффициенты a0, ai, aiu значимы, если выполняется условие (3.5). Адекватность полученного уравнения регрессии проверяется с помощью критерия Фишера. Для двух- и трехфакторного эксперимента вычисление коэффициентов регрессии можно производить вручную:

1 m

aiu с y j , (3.11) j 1

где с и - коэффициенты, которые приведены в таблицах 3.6 и 3.7. При проведении опытов с четырьмя и более факторами для вычисления коэффициентов полинома по формулам (3.7-3.10) необходимо использовать ЭВМ.

70