Дополнительные главы математики

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

( p 1)(2 p 3)

2( p 1)( p 2)

( p 1)( p 2)

( p 1)( p 2)

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Задача 79. Найти общее решение дифференциального уравнения

y	y 0	с помощью преобразования Лапласа.

Решение.		До сих пор мы находили методом преобразования Лапласа

только частное решение. Логично поставить вопрос: а можно ли найти общее решение? Чтобы найти общее решение, зададим не конкретные числа, а произвольные параметры для условий Коши:

	b .
y(0) a, y (0)

После преобразования правой и левой части:

p( pY ( p) y(0)) y (0) Y ( p) 0
p( pY ( p) a) b Y ( p) 0		( p2 1)Y ( p)
( p2 1)Y ( p) pa b	Y ( p)		pa b			=
			p	2	1		( p

Ищем обратное преобразование Лапласа.

pa b 0

pa b1)( p 1)

Re s	( pa b)e				pt


( p 1)( p 1)
(a b)e	t		( a b)e

2				2

C et C		e t		, где		a

1	2
Ответ.	C1e		t	C2e		t	.

	( pa b)e					pt
=	( pa b)e
=		p 1
		p 1
t		a b			t
=		a b		e

		2
		2
b	C1 ,		a b
2	C1 ,				2
2					2

p 1

ab 2

(

pa b)e		pt
pa b)e		=
	p 1	=
	p 1	p 1
		p 1
t	, что можно записать в виде
	, что можно записать в виде

Задача 80.		Решить систему дифференциальных уравнений
x	x y	, условия Коши:	x(0) 2
		, условия Коши:		.
y 6x 4 y
y 6x 4 y			y(0) 5
Решение. Преобразуем левую и правую часть.
pX ( p) x(0) X ( p) Y ( p)
		6X ( p) 4Y ( p)
pY ( p) y(0)		6X ( p) 4Y ( p)

учитывая условия Коши,

	pX ( p) 2 X ( p) Y ( p)

pY ( p) 5 6X ( p) 4Y ( p)

От системы дифференциальных уравнений мы перешли к системе

алгебраических уравнений.
Из 1-го выразим Y ( p) через	X ( p) :

Y ( p) pX ( p) 2 X ( p) = Y ( p) ( p 1) X ( p) 2					,
и подставим во 2-е:
p ( p 1)X ( p) 2 5 6X ( p) 4 ( p 1)X ( p) 2
Приведём подобные,
( p	2	p) X ( p) 2 p 5 6X ( p) (4 p 4) X ( p) 8

( p	2	p) X ( p) 6 X ( p) (4 p 4) X ( p) 2 p 3

( p	2	3 p 2) X ( p) 2 p 3 X ( p)		2 p 3

			2	3 p 2
		p

Теперь вспомним о том, что Y ( p) ( p 1) X ( p) 2

=	2 p 3
=	( p 1)( p 2)
	( p 1)( p 2)
, и выразим		Y (

Y ( p)
(2 p	2




( p 1)(2 p 3)			2
( p 1)( p	2)

p 3) 2( p	2	3 p

( p 1)( p 2)

Итак,

X ( p)

2 p 3 ( p 1)( p 2)

, Y ( p)	5 p 7
		.
	( p 1)( p 2)

Теперь наддём их обратные преобразования Лапласа.

	x(t) Re s	(2 p 3)e pt
	x(t) Re s	( p 1)( p 2)
		( p 1)( p 2)

= (2 p 3)e pt p 2

	(2 p 3)e pt	=
	p 1
p 1		p 2

( 1)e

= e

y(t) Re s

(5 p 7)e

1)( p 2)

( p

( 2)e

x(t) e

y(t)

форме:

Ответ.

	(5 p 7)e	pt	(5 p 7)e	pt
=				=
	p 2		p 1
		p 1		p 2

3e	2t	, что можно записать также в векторной

1			2t		.
		e	2t		.

	3
2		1		2t		.
2		e		2t		.

		3

3.3. Решение интегральных уравнений уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Вспомним определение свёртки:

f ( )g(t )d

и её основное свойство: L( f g) F ( p)G( p) .

Задача 81. Найти свёртку t et .

Решение. Существует 2 способа: 1) по определению 2) с помощью основногосвойства, т.е. через обратное преобразование Лапласа.

Сравним применение обоих способов.

		t		t	t
Способ 1.		(t )e	d	= t e	d
Способ 1.		(t )e	d	= t e	d
		0		0	0
интегрирование по частям.

u
	v e

u 1	v
	v	e

e		d

, во 2-м применим

t e

= t

t e

(t e

Способ 2. L(t e

)

Re s

Лапласа.

( p 1)

= e

( p 1)

p 0

t 1.

Ответ. t e

t e

t 1.

, затем найдём обратное преобразование

e pt

p 1

p 0

t 1

t 1.

( 1)

Задача 82. Найти свёртку

sin t cost

Решение. Способ 1.

sin( t ) cos( )d 0

sin( t) cos( ) cos(t) sin( ) cos( )d =

t
sin( t) cos	2	( )d
sin( t) cos		( )d
0

tcos(t) sin( ) cos( )d

В 1-м применим формулу понижения степени, во 2-м подведение под знак дифференциала.

1 cos(2 )

sin( t)

d cos(t) sin( )d (sin( )) =

sin( 2 )

sin

( )

cos(t)

sin( t)

sin t sin t

sin( 2t)

cos(t)

sin 2 (t)

sin t

2 sin t cos t

cos t

sin t sin t

, можно заметить, что 2

последних слагаемых сокращаются, и ответ

sin

Способ 2. L(sin t cos t)

( p

Далее ищем обратное преобразование Лапласа.

t .
1)	2
1)

Re s				pe		pt
				pe
				2	1)
	( p			2
	( p
	p
	p
			e		pt
					pt
	( p i)	2
	( p i)
	( p i)2		2( p

	( p i)						4
	( p i)

= Re s

( p i)

( p

2 e

( p i)

p i

i) p

( p i)

i)	2

p i

(2 полюса 2-го порядка)

( p i)

2( p i) p

( p i)

p i

  

 

(2i)	2	2(2i)i
(2i)		2(2i)i		e	it
					it
	(2i)		4
			4

4 4	e	it	i

16			4

		i
		(2i)	2
			2

	it
te	it	+
te		+

te
te	it

		( 2i)		2	2( 2i
		( 2i)			2( 2i
+
+					( 2i)			4
								4

4	e		it	i		te	it
	e			4		te
				4

)(i)	e	it

		i
		( 2i)	2
			2

te	it

  

	i			it
0			te
0			te
		4

Ответ. sin t

			i
	0

			4
cost		=

te it

	t	sin t
	2	sin t
	2

1	te	it

4i

1	te	it

4i

teit e it

2 2i

	t	sin
	2	sin
	2

Задача 83. Решить интегральное уравнение

(t) e	t

t sin( ) (t )d

Решение. Заметим, что в интеграле одна функция зависит

другая от

t . То есть, это свёртка двух оригиналов.

преобразование Лапласа переводит его в произведение, а

интегральное уравнение становится алгебраическим,а

интегральным. Преобразуем левую и правую часть:

от ,

Тогда

само

не

( p)	1		1		( p)
	p 1	p	2	1

		1			1
1				( p)
1		2		( p)
	p	2	1		p 1
	p		1		p 1

	p	2	1
		( p)
	2		p 1
p		1

преобразование Лапласа.


	p		2	1
( p)	p			1
( p)	2	( p 1)
p	2
p

, далее ищем обратное

(t) Re s

( p

1)e

( p

1)e

( p 1)

p 1

2 p( p 1) ( p

( p 1)

p 1

p 0

0 1

1 t

= 2e

Ответ. (t) 2e

Задача 84. Решить интегральное уравнение

1
1	e
	e	pt
1
1

p 0

t(t) cost sin( ) (t )d

Решение. Преобразуем левую и правую часть.

( p)

p 2

( p) p

( p)

p 2 1

( p)

, обратное преобразование:

Ответ.

(t) 1 .

	1
	2
p		1

Re s e pt

p 0 p

( p)

= e	pt

	p
	2	1

	p

= e	0
= e
p 0

Примечание. Проверка.

t 1 cos t sin( )d

	1 cos t cos( )	t
	1 cos t cos( )	0
		0

1 cost cost 1

1 = 1.

Задача 85. Решить интегральное уравнение

t
	(t )d
(t) t e	(t )d

Решение. Преобразуем левую и правую часть.

( p)

p 1

p 2

( p)

p 1

, далее обратное

p 1

( p 2)

Re s

( p

1)e

преобразование Лапласа,

( p 2)

( p 1)e

p 1

p 2

p 0

e2t

( p 2) ( p 1)

p 1

e2t

e pt

te pt

( p

p 2

( p 2)

p 0

e2t

Ответ.

(t)

Задача 86. Решить интегральное уравнение

t(t) sin t

(t )d

	0
Решение. После преобразования Лапласа левой и правой части,
получается:	( p)	1		1		( p) , далее переносим в левую часть
		2	1		2
	p			p

всё, что содержит функцию Ф(р)

p	2	1			1
			( p)				( p)
	p	2		p	2	1



			1


	p		2
	p
( p	2	1)		2
( p		1)

1				1
	2	( p)		2
p			p		1

Теперь ищем обратное преобразование Лапласа.

Re s
	(
	p2

	( p i)	2
	( p i)
	2 p( p



	2 p( p

= Re s

( p

2 e

p i

2( p i) p

( p i)

2( p i) p

( p i)

(оба полюса 2 порядка)

p i

 

2i( 4) 2(2i)( 1)	e	it		1		te	it
	e			4		te
16				4
2(i)( 4) 2( 2i)( 1)			e		it		1
					it
16							4
16							4

te	it
te

8i 4i

1 e

sin t

cost .

Ответ.

(t)

sin t

cost .

																				t
Задача 87. Решить интегральное уравнение (t) 1																					(t )d
Задача 87. Решить интегральное уравнение (t) 1																					(t )d
																				0
						1		1								1			1
Решение.				( p)		1		1		( p)						1		( p)	1
Решение.				( p)						( p)								( p)
						p		p	2							p	2		p
						p


p	2	1			1								p
p		1	( p)		1		( p)						p		, обратное преобразование:
	p	2	( p)		p		( p)				p	2		1	, обратное преобразование:
		2										2

Re s

Ответ.

pe	pt

( p 1)( p 1)

(t) = et e

pe	pt		pe	pt
pe			pe
p 1			p 1
p 1		p 1	p 1		p 1
		p 1			p 1

= ch(t) .

e	t	1e	t

2		2

e	t	e	t
e		e
		2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб8Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб2Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб2Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб1Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб2Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf
#
05.02.2023290.82 Кб2Жанровая организация PR-текста..pdf