Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дополнительные главы математики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

X ( p)	1
	2
( p 1)		( p 2)

кратности больше 1.

отличие в том, что здесь возникает полюс

e2t

		e		pt
Re s
		( p 1)	2		( p


	te pt ( p 2) e
		( p 2)				2

p 1

e	pt
e
( p 1)		2
( p 1)
= e	2t
= e




p 2
te	t	( 1)
te		( 1)
			1

e	pt




2
2	p 1
	p 1
= e		2t
= e

e	t

tet

Ответ.

x(t) e	2t	e	t

te	t

Задача 70.

уравнение

Решить линейное неоднородное дифференциальное

	1.
x x cost с условиями Коши x(0) 2, x (0)

Решение.

p pX ( p)

p pX ( p) x(0) x (0)
2 1 X ( p)	p
	2	1
p

( p)
( p	2



	p
p	2

1) X (


1
p)	p		2 p 1
p)	2	1	2 p 1
p	2
p

X ( p)			p		2 p 1			. Обратное преобразование Лапласа можно
	( p	2	1)	2	p	2	1

найти отдельно для каждого слагаемого (вследствие линейности).

Для 1-го: Re s

Re s

( p i)

p i

( p i)

2 e

( p

p i

  

1( p i)

2( p

i) p

( p i)

1( p i)

2( p

i) p

( p i)

(2i)

2(2i)i

(2i)

4 4

(2i)

p
		te	pt	+
( p i)	2	te		+
( p i)				p i
				p i

( p i)

p i

( 2i)

2( 2i

( 2i)

( 4) 4

( 2i)

)(i)			it	i			it
		e	it			te	it
		e			2	te
				( 2i)	2
				( 2i)

	=
	=

i teit

i	te	it

4

1	te	it

4i

1	te	it

4i

t	e	it	e

2			2i

	t	sin t
	2	sin t
	2

Для 2-го:

(2 p 1)e p i

Re s

p i

(2 p 1)e		pt
(2 p 1)e
( p i)( p i)
	(2 p 1)e		pt
	(2 p 1)e
	p i
	p i

Re s	(
p i
=
i

(2 p 1)e		pt

p i)( p i)
(2i 1)e	it

2i

( 2i 1)e2i

2ieit

Ответ.

Задача

2ie

= 2cost

= 2

x(t)

2 cos t sin t

sin t .

71. Решить линейное неоднородное дифференциальное

sin

уравнение x 2x 2x 10e2t с условиями Коши

x(0)

0 ,

x (0)

Решение. Преобразуем левую и правую часть.
p pX ( p) x(0) x (0) 2 pX ( p) x(0) 2X ( p)	10

	p 2

p	2	2 p 2 X ( p)	10

			p 2

X ( p)	p		10
		2	2 p 2 ( p 2)

Первый множитель знаменателя не имеет действительных корней.

D 4

X ( p)

8 4 , корни	p	2 2i	1 i
8 4 , корни	p	2	1 i
		2
	10
( p ( 1 i))( p ( 1 i))( p 2)

Найдём обратное преобразование с помощью суммы вычетов.

Re s			p				10e
Re s					2	2 p
					2

		10e	pt
		10e
p	2	2 p		2
	2
							p 2
							p 2

pt
=
2 ( p 2)
10e	pt

( p ( 1 i))( p 2)

	10e	pt
	10e
	( p ( 1 i))( p 2)
p 1 i	( p ( 1 i))( p 2)
p 1 i

p 1 i

10e

2i( 3 i)

( 2i)( 3 i)

( 3 i)10e

2i( 3 i)( 3 i)

( 3 i)10e

2i 10

= e

e t 3sin t cost .

Ответ.

e2t e t 3sin t cost .

Задача 72. Решить линейное неоднородное дифференциальное

уравнение 3 порядка		x		e	t	с условиями Коши
	x

x(0) 0, x (0) 0, x (0) 0 .
Решение. Так как условия Коши нулевые, то сразу запишем
p	3	p	2	X ( p)	1	X ( p)			1			=			1
	3		2
					p 1		( p	3	p	2	)( p 1)		p	2	( p 1)	2
					p 1

Обратное преобразование:

Re s			e	pt
			e
	p	2	( p 1)		2
		2			2

e	pt
e	pt

( p 1)		2
( p 1)

p 0

e		pt
e		pt
			2
	p		2
	p

p 1

( p 1)

2( p 1)e

2 pe

( p 1)

p 0

p 1

t 2( 1)	te	t		2e	t

1			1

t 2 tet

2et

Ответ.

x(t) t 2 te	t

2e	t

Задача 73.

уравнение

Решение.

p pX ( p)

Решить линейное неоднородное дифференциальное

x x e	3t	с условиями Коши x(0)	3, x (0)	1 .

p pX ( p) x(0) x (0) X ( p)					1

					p 3
3 1 X ( p)	1	p	2	1 X ( p) 3 p 1		1

	p 3					p 3

p	2	1 X ( p)	1	3 p 1

			p 3

X ( p)	1			3 p 1
	( p 3)( p	2	1)	p	2	1

Обратное преобразование можно найти для каждого слагаемого по отдельности, и затем сложить результаты.

Re s

Для 1-го:

3)( p i)( p i)

( p

( p 3)( p i)

( p 3)( p i

p 3

p i

(3 i)2i

(3 i)( 2i)

(3 i)e

(3 i)(3 i)2i

(3 i)(3

i)2i

10 2i

sin t

cos t .

Для 2-го: Re s

(3 p 1)e pt

( p i)( p i)

p i

	)	=
	)	p i
		p i

(3 i)e

10 2i

	(3 p 1)e pt	=
	p i
p i		p i

( 1 3i)eit			( 1 3i)e it
	2i				2i

	eit e it	3		eit	e it	=
	2i				2

= eit

sin t

	e it	3ieit	3ie	it
	2i		2i		=

		2i
3cost .

			e	3t
В сумме,			e
В сумме,			10
			10
1	e	3t	7	sin t
		3t
10
10			10

Ответ. x(t) 101

3		sin t			1
		sin t
10					10
		29	cos t .
	10		cos t .
	10
e 3t				7	sin
e 3t					sin
			10

cos t

t 1029

sin t

cos t

3cost

Задача 74. Решить линейное однородное дифференциальное

уравнение

y 10 y 9 y 0

с условиями Коши

y(0)

1, y (0)

Решение. Найдём преобразование Лапласа левой и правой части.

p( pY ( p) y(0)) y (0) 10( pY ( p) y(0)) 9Y ( p) 0

p( pY ( p) 1) 7 10( pY ( p) 1) 9Y ( p) 0

p 2 10 p 9 Y ( p) p 7 10 0

p 2 10 p 9 Y ( p) 17 p

Y ( p)

17 p

. Обратное преобразование:

10 p 9

( p 1)( p 9)

Re s

(17 p)e pt

это суммы вычетов в полюсах

p 1

и p 9 .

( p 1)( p 9)

(17 p)e pt

16e pt

8e pt

= 2e

p 1

p 9

Ответ.

y e

Задача 75. Решить линейное однородное дифференциальное

уравнение

2 y

с условиями Коши

5 .

y(0) 4, y (0)

3, y (0)

Решение.

p p( pY( p) y(0)) y (0) y (0) 3 p( pY ( p) y(0)) y (0) 2( pY( p) y(0)) 0

p p( pY ( p) 4) 3 5 3 p( pY ( p) 4) 3 2( pY ( p) 4) 0

( p

3 p

2 p)Y ( p) 4 p

3 p 5 12 p 9

8 0

( p3 3 p 2 2 p)Y ( p) 4 p 2 9 p 4

4 p

9 p 4

4 p

9 p 4

4 p

9 p 4

Y ( p)

3 p

2 p

p( p

3 p 2)

p( p 1)( p 2)

обратное преобразование:

Re s	(4 p	2	9 p 4)e	pt

	p( p 1)( p 2)

(4 p

9 p 4)e

(4 p

9 p 4)e

(4 p

9 p 4)e

( p 1)( p 2)

p( p 2)

p( p 1)

p 0

p 1

p 2

4 9 4

16 18 4

= 2 e

1( 1)

( 1)( 2)

Ответ.

y 2 e

Задача 76. Решить линейное однородное дифференциальное

уравнение

y 9 y 0

с условиями Коши y(0) 2, y (0) 0 .

Решение. p( pY ( p) y(0)) y (0) 9Y ( p) 0

p( Y (

pY ( p) 2) 9Y ( p)

p)	2 p		.
	( p 3)( p
			3)
	2 pe	pt
Re s
	( p 3)( p		3)

( p

9)Y ( p) 2 p

Обратное преобразование:

2 pe

p 3

e	3t

e	3t

. Ответ. y e3t e 3t .

Задача 76-Б. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение y 9 y et с условиями Коши y(0) 0, y (0) 0 .

Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь есть функция в правой части, но нулевые условия Коши. Посмотрим, как это отразится на

решении.

	p( pY ( p) y(0)) y (0) 9Y ( p)	1
	p( pY ( p) y(0)) y (0) 9Y ( p)	p 1
		p 1

( p	2	9)Y ( p)	1

			p 1

	Y ( p)	1
	Y ( p)	( p 1)( p 3)( p 3)
		( p 1)( p 3)( p 3)

Re s						e	pt
						e
				( p	1)( p 3)(
				( p	1)( p 3)(
	e	pt					e	pt
	e						e
p	2	9				( p 1)( p
	2
				p 1
				p 1
et			e3t			e 3t
8			2	6		( 4)( 6)
8			2	6		( 4)( 6)

	=
p 3)
					e	pt
					e
3)			( p		1)( p 3)
3)	p 3		( p		1)( p 3)				p 3
	p 3								p 3
=	1	et		1	e3t		1	e 3t .
=	8	et	12		e3t		24	e 3t .
	8		12				24

Ответ. y 18 et 121 e3t 241 e 3t .

Задача 77.

уравнение

Решение.

Решить линейное однородное дифференциальное

y	2 y	y 0	с условиями Коши
				y(0) 2, y (0)
p( pY ( p) y(0)) y (0) 2( pY ( p) y(0)) Y ( p) 0

p( pY ( p) 2) 1 2( pY ( p) 2) Y ( p) 0

( p	2	2 p 1)Y ( p) 2 p 1	4 0
( p		2 p 1)Y ( p) 2 p 1	4 0
( p 2 2 p 1)Y ( p) 2 p 5				Y ( p)	2 p 5	=	2 p 5	.
					p 2 2 p 1		( p 1)2

Здесь всего один полюс, но он 2-го порядка.

	(2 p 5)e		pt
Re s
	( p 1)	2
p 1

	= (2 p 5)e	pt

p 1

(причём производная

подразумевается по переменной					p
2e	pt	(2 p 5)te	pt	= 2et 3tet
2e		(2 p 5)te		= 2et 3tet
				p 1

Ответ.

y 2e	t

3te	t

Задача 78. Решить линейное неоднородное дифференциальное

		5y	4 y e	3t
уравнение	y	5y	4 y e		с условиями Коши		y(0) 1, y (0)
Решение.								1

	p( pY ( p) y(0)) y (0) 5( pY ( p) y(0)) 4Y ( p)
							p
p( pY ( p) 1) 2 5( pY ( p) 1) 4Y ( p)						1

						p 3

	( p2 5 p 4)Y ( p) p 2 5	1

		p 3
		p 3
		79

( p	2	5 p 4)Y ( p)			1	p 3
	2
					p 3
					p 3
Y ( p)				1
Y ( p)			( p 3)( p	2	5 p 4)		( p	2
				2				2

5 p 4)

. Дальше можно сделать

разными способами: как найти обратное преобразование для каждого слагаемого отдельно, так и объединить их сначала в одну дробь.

1 ( p

6 p

Y ( p)

( p 3)( p

5 p 4)

( p 3)( p 1)( p

Re s

( p

6 p

10)e

( p 3)( p 1)( p 4)

( p

6 p

10)e

( p

6 p 10)e

(

( p 1)( p 4)

( p 3)( p 4)

p 1

(9 18 10)e

6 10)e

(16 24 10)e

2( 1)

( 2)( 3)

. 4)

p	2	6 p 10)e

( p 3)( p 1)
	=		1	e	3t	5

			2			6

e	t

		=
p 4
	2	e	4t	.

	3

Ответ.

y(t)	1	e	3t

	2

5 et

2	e	4t

3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб3Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб0Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб1Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб0Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб1Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf
#
05.02.2023290.82 Кб2Жанровая организация PR-текста..pdf