Дополнительные главы математики

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

. Там не 3, но мы домножим и поделим,

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

2 p 2

Задача 61. F ( p)

, найти оригинал.

( p

2 p 2)

Решение. Разложим на простейшие дроби.

2 p 2

Dp E

, после приведения к

( p

2 p 2)

2 p 2

общему знаменателю, числитель будет иметь вид:

Ap2 ( p2 2 p 2) Bp( p2 2 p 2) C( p2 2 p 2) p3 (Dp E) =

2 Ap

2Bp

2Bp Cp

2Cp 2C Dp

( A D) p

(2 A

B E) p

(2 A 2B C) p

(2B

2C) p 2C .

Приравняем к исходному числителю, где 0 p

2 p 2 .

Система уравнений:

		A D 0
	2 A B E 1
	2 A B E 1

		2B C 1
2A		2B C 1
	2B 2C 2
	2B 2C 2

		C 2

Из последнего сразу C 1, из предпоследнего B 0								,	из 3-го			A 0 .
Тогда из 1-го D 0	, и тогда из 2-го E 1. Итак,					1					1	.
Тогда из 1-го D 0	, и тогда из 2-го E 1. Итак,						3			2		.
						p	3		p	2	2 p 2
						p			p		2 p 2
Далее преобразуем,	1		1		. В 1-м слагаемом можно найти
Далее преобразуем,		3		2	. В 1-м слагаемом можно найти
	p	3	( p 1)	2	1
	p		( p 1)		1

вычет в 0:

	e	pt
Re s
	p		3
p 0

1	e pt
1
2!		p
2!		p 0
		p 0

1t 2e pt

2p 0

= 12 t 2 .

во втором по теореме смещения и известной формуле для синуса,

1
( p 1)	2
( p 1)

Ответ.

Задача

		является преобразованием от				e	t	sin t .
1		является преобразованием от				e		sin t .
1
	t		t	2
e		sin t	t		(t) .

			2
			2

62. Найти преобразование Лапласа для функции:

2t 3если t (0,1)
f (t)	0	если t (1, )

Решение.

1
(2t 3)e	pt	dt
(2t 3)e		dt

вычисляем «по частям».

u 2t 3	v	1	e	pt
				pt
		p
		p

u 2

2t 3

1 e pt dt =

2t 3

e pt 1 =

(2t 3)e pt dt

e pt

3 5e

)

(1 e

)

3 5e

Ответ.

(1 e

) .

Задача 63. Найти преобразование Лапласа для функции:

f (t) te2t sin t

Решение. Можем воспользоваться набором свойств, доказанных в лекциях, тогда можно даже обойтись без вычисления интегралов.

1)	Известно, что	L(sin at)			a		, при
1)	Известно, что	L(sin at)	p	2	a	2	, при
				2		2

2)	Можно воспользоваться свойством							L(

a 1		:
f (t)e	at		)

L(sin t)F ( p

p ) ,

1		.
2	1

чтобы

найти

L(sin t)

L(e	2t	sin t

	1
	2	1
p

) .

L(e

sin t)	1
sin t)	( p 2)	2	1
		2

p	2

14 p

3) Теперь наращивается 3-й множитель: в качестве базовой части

	2t
пусть будет L(e		sin t) , вспомним свойство:		F ( p) L(t f (t)) .
В нашем случае, это означает, что
В нашем случае, это означает, что			L(t f (t)) F ( p) , то есть

0 (2 p 4)

2 p 4

L(te

sin t)

4 p 5

( p

4 p 5)

( p

4 p 5)

Ответ.

2 p 4

( p 2 4 p 5)2

Задача 64. Найти преобразование Лапласа для функции:

t f (t) u sin udu

Решение.	Здесь функция f (t) - это первообразная от t sin
вычислять её не требуется, ведь существует свойство:
Если h(t)	есть первообразная от f (t) , то L(h(t))	F ( p)	.

		p

. Но

Сначала мы должны узнать преобразование Лапласа от

t sin

, а затем

перейти к первообразной, поделив на

p .

L(sin t)

Тогда преобразование от её первообразной:

0 2 p
( p	2	1)

2 p
p	2	1

(
( p	2

	2 p
p	2		1)	2
p			1)
2			.
1)		2	.
1)

Ответ.			2		.
Ответ.	( p	2	1)	2	.
		2		2

Задача 65. Найти обратное преобразование от						F ( p)		p 6
Задача 65. Найти обратное преобразование от						F ( p)	2	8 p 25
						p	2
						p

Решение.

Способ 1. С помощью свойств и известных функций.

Выделим полный квадрат.

F ( p)

p 6

8 p 25

( p 4)

Если бы в числителе было

p 4 , то можно было бы использовать

формулу

L(cos at)

, а учитывая свойство смещения, это значит:

L(e	4t	cos at)

p 6

( p 4)2 32

p 4
( p 4)	2	a	2

p 4

( p 4)2 32

. Разобьём на 2 слагаемых.

	2	.

	( p 4)2 32

Обратное преобразование от 1-го это e 4t cos3t .

Во втором,

L(e	4t	sin at

если бы в числителе было 3, то как раз было бы

чтобы было.

Итак,

p 4

является преобразованием

( p 4)2 32

3 ( p 4)2

Лапласа от

f (t) e

cos 3t

sin 3t .

Способ 2. С помощью вычетов. Этот способ лучше тем, что не нужно догадываться, к какой форме привести функцию для использования свойств. Просто ищем 2 корня знаменателя, и вычисляем вычеты в этих двух полюсах.

D 64 4 25 36			, корни	p	8 6i	4 3i .
D 64 4 25 36			, корни	p	2	4 3i .
					2
Re s	( p 6)e pt		= Re s		( p 6)e pt
						=
		2				=
	p	8 p 25		( p ( 4 3i))( p ( 4 3i))
	p	8 p 25

( p

6)e

( p 6)e

p ( 4 3i)

p 4 3i

(2 3i)e

3it

3i)e

3it

3ie

3it

3ie

3it

				e
	4t				3it
e	4t
e
					3i
					3i
2		e	4t		sin
			4t
3
3

Ответ.

3it

2 e

3it

= e

3t e

cos 3t . Получили то же самое.

f (t) e 4t

cos 3t

e 4t sin 3t (t) .

Задача 66. Найти обратное преобразование Лапласа от

F ( p)	1			.
F ( p)		2		.
( p 2)		2	( p	3)
( p 2)			( p	3)
	Re s			e	pt
Решение.				e			=
Решение.				( p 2)	2	( p 3)	=
					2

	e	pt			e	pt
Re s				Re s
	( p 2)	2	( p 3)		( p 2)	2	( p 3)
p 3				p 2

. Полюс p 3 первого

порядка, а

p 2

- 2-го порядка, там нужно сначала найти

производную по

p .

( p 3) e

( p 2)

( p 3)

p 3

p 2

2te

= e3t te2t e2t .

( 1)

Ответ.

3t	2t
e	te

e	2t

3.2. Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Задача 67.		Решить	линейное однородное дифференциальное
уравнение
уравнение	x 3x 2x 0 с условиями Коши: x(0) 2 , x (0) 3 .
Решение.		Раньше,	во 2 семестре, мы сначала находили сначала

общее решение, затем частное. Напомним данный метод.

Характеристическое уравнение:

k	2	3k 2			0		(k 1)(k 2) 0	, корни 1 и

				t		2t
x(t)			C1e		C2 e		. Далее, при этом x (t) C1e

тогда из условий Коши получается система:

2, общее решение

t	2C2e	2t	,

x(t) C e	t	C	e	2t
x(t) C e		C	e
1		2

x(0) 2

С С	2	2
1	2

2C2e

С1

2С2 3 .

x (t) C1e

x (0)

Вычитая одно из другого, получим С2 1,

затем С1 1.

Частное решение

x(t) e

Теперь рассмотрим способ с помощью преобразования Лапласа.

Преобразуем правую и левую часть, зная из теории, как преобразуется производная:

L( f		pF ( p) f (0) .
	(t))
L( f		= p pF( p) f (0) f
	(t))		(0)

В данном случае, L(x(t)) будет обозначаться X ( p) .

Дифференциальное уравнение превратится в алгебраическое.

L(x 3x 2x) L(0)

			3( pX ( p) x(0))	2 X ( p) = 0
p pX ( p) x(0) x (0)
p pX ( p) 2 3 3( pX ( p) 2) 2X ( p) 0
p	2	3 p 2 X ( p) 2 p	3 6 0

p	2	3 p 2 X ( p) 2 p 3 X ( p)			2 p 3	.

				2	3 p 2
			p

Обратите внимание, что характеристическое уравнение само

получилось слева, как множитель при

X ( p) . Итак, мы получили

преобразование Лапласа от искомой функции. А теперь найдём обратное преобразование Лапласа.

X ( p)Re

s (

		2 p 3
p	2	3 p 2

(2 p 3)e			pt

p 1)( p 2)

(

2 p 3	,
	,
p 1)( p 2)

(2 p 3)e	pt		(2 p 3)e	pt
(2 p 3)e			(2 p 3)e
p 2			p 1
p 2		p 1	p 1		p 2
		p 1			p 2

= et e2t .

Причём, условия Коши мы здесь учитываем автоматически, сразу получая частное решение без общего. Умножать на функцию Хевисайда здесь не нужно, т.к. общее решение существует в том числе и на левой полуоси, а оригинал здесь играл лишь вспомогательную роль.

Ответ. x(t) e	t	e	2t	.
Ответ. x(t) e		e		.
Задача 68. Решить линейное неоднородное дифференциальное
				3t	с условиями Коши	x(0) 0 ,		0 .
уравнение x 3x 2x e					с условиями Коши	x(0) 0 ,	x (0)	0 .

Решение. Сначала вспомним метод решения неоднородных уравнений (по виду правой части) из 2 семестра.


Характеристическое уравнение	k	2	3k 2			0	, корни 1 и 2, общее

решение однородного x(t) C1e	t	C2 e		2t	.

Правая часть b(t) e3t . Но корня 3 нет среди харакреристических, т.е.

не нужно домножать дополнительно ни на какую степенную, а

частное решение неоднородного искать в виде x(t) Ae

3Ae

9 Ae

x (t)

Подставляя в дифференциальное уравнение, получим

9Ae

3 3Ae

2Ae

, откуда 2A 1,

A .

Сумма решений однородного и неоднородного, т.е. общее решение:

x(t) C1e

C2 e

. Далее надо определить константы из

условий Коши.

x(t) C et

e2t

3t ,

x(0) 0

x (t) C e	t	2C		e	2t	3	e	3t
	t				2t			3t
			2
1			2			2
						2

x (0) 0

C	2C		3	0
		2
1			2

Это приводит к системе уравнений, из которой следует								С2 1 0
(если из 2-го вычесть 1-е уравнение), С						1	С	1	.
(если из 2-го вычесть 1-е уравнение), С					2	1	С		.
					2		1	2
								2
Итак, ответ: x(t)	et	e2t	e3t	.
Итак, ответ: x(t)		e2t		.
2		2

Решим то же самое методом преобразования Лапласа.

p pX ( p) x(0) x

учитывая тот факт,

(0)	3( pX ( p) x(0)) 2X ( p)	1
		p 3

что все условия коши здесь нулевые,

, но

получим:

p	2	3 p 2 X ( p)	1

			p 3

X ( p)	p		1
		2	3 p 2 ( p 3)

X ( p)

. Ищем обратное преобразование:

( p 1)( p 2)( p 3)

Re s

2)( p 3)

( p 1)( p

( p 2)( p 3)

1)( p 3)

( p 1)( p 2)

p 1

( p

p 2

p 3

e2t

e3t

e2t

e3t .

( 1)( 2)

1( 1)

Ответ.

x(t)

Задача 69. Решить линейное неоднородное дифференциальное

уравнение	x 3x 2x e	t	с условиями Коши x(0)	0, x (0)	0 .

Решение. Как и в прошлой задаче, получается

p2	3 p 2 X ( p)	1

		p 1
		p 1

X ( p) 1

p 2 3 p 2 ( p 1)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб3Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб0Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб1Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб0Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб1Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf
#
05.02.2023290.82 Кб2Жанровая организация PR-текста..pdf