Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дополнительные главы математики

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Заметим, что по теореме смещения, если

L(sin at)			a
L(sin at)	p	2	a	2
		2		2

при

a 7	является			7	, то домножение на e				5t
									5t
			2	49
		p	2
		p
F ( p 5)		, то есть в данном случае				7

						( p 5)	2	49
						( p 5)	2	49

полученной функцией.

приведёт к функции

, что и совпадает с

Ответ.

( p

Задача 49.

F ( p) ( p

Решение.

7		.
5)	2
		49

Найти обратное преобразование Лапласа для

7			.
	2		.
5)	2	49
5)		49
F ( p)			7		=		7	. Найдём полюсы.

			( p 5)	2 49		p 2	10 p 74
			( p 5)	2 49		p 2	10 p 74

D 100 4 74 100 296

196

	p	10 14i
	p	2
		2

			7e	pt
F ( p)e	pt

			7i))( p (5 7i))
		( p (5

двух особых точках.

, затем найдём сумму вычетов в

p (5 7i)

p 5 7i

(5 7i)t

7it

7i)

(5 7i)

(5 7i) (5 7i)

14i

7it

= e

sin 7t .

Ответ. (t) e5t sin 7t .

Задача 50. Найти преобразование Лапласа

Решение. По свойству линейности,

L(ch(at

2 0

(a p)t

a p

0 1

(a p)

p a

2 p

Ответ. L(ch(at)) =

p 2 a 2

L(ch(at)) .
))			at
))		e
	= L


=
		1
0		(a
0		(a
1		( p a)

2		( p a
2		( p a

e at		=

2

e	(a p)t
	(a p)t

p)		0
( p a)

)( p a)
)( p a)

	=
	=

Замечание. Для обычного (не гиперболического) косинуса ранее мы

получали результат

		p
p	2	a	2
p		a

. Для гиперболического - в знаменателе

разность, а не сумма квадратов.

Задача 51.

	F ( p)	p
Найти обратное преобразование Лапласа:			.
		p2 a2

Решение. Чтобы ещё раз повторить метод нахождения обратного преобразования с помощью вычетов , вычислим обратное

преобразование от

F ( p)			p
F ( p)	p	2	a	2
		2		2

, и убедимся, что при этом

получим			ch(at) .
Re s			pe		pt
			pe					= Re s
			2	a		2		= Re s
		p	2			2			p a
		p

pe	pt				pe			pt
pe					pe
p a					p	a
p a		p a			p	a			p a
		p a							p a
Ответ. ch(at)							(t) .

		pe	pt
		pe

( p a)( p a)
	ae	at		ae	at
=	ae			ae
=	2a			2a
	2a			2a

			pe	pt
Re s			pe
Re s		( p a)( p
p a		( p a)( p
	eat		e at
=					=
=		2	2		=
		2	2

a) ch

(at)

Аналогично, можно решить задачу для гиперболического синуса.

Меняется лишь знак между двумя слагаемыми.

Задача 52. Найти преобразование Лапласа L(sh(at)) .

Решение.

L(sh(at))

dt =

(a p)t

(a p)

0 1

( p a) ( p a)

p a

( p a)( p a)

Ответ.

L(sh(at))

Задача 53.

Найти обратное преобразование Лапласа от

F ( p)

p2 a2

Решение.

Re s

ae	pt

p a		p

Ответ.

	ae pt				= Re s
p	2	a		2	= Re s
p		a				p a
						p a
			ae		pt
			ae
			p	a
a			p	a		p a
a						p a

sh(at) (t) .

		ae	pt
		ae
( p a)( p a)
	ae	at		ae	at
=	ae			ae
=	2a			2a
	2a			2a

Re s
	p a
	e	at
=
	2

		ae	pt

( p a)( p
	e	at
			=
		2

=a)

sh(at) .

Задача 54. Найти преобразование Лапласа	L(t	2	e	5t	) .

Решение. Наиболее рационально здесь не вычислять интегралы по

определению, а воспользоваться свойствами.

Есть 2 способа.

1)По свойству 4 (теорема смещения)

2)По свойству 7 (дифференцирование изображения).

Способ 1. Зная, что L(t 2 )																	=			2			, и свойство L(eat							f (t)) F(
Способ 1. Зная, что L(t 2 )																	=			p	3		, и свойство L(eat							f (t)) F(
																					3

получим	L(t		2		e			5t		) =					2					.
			2					5t
																		3
												( p				5)		3
												( p				5)
															5t							1											2
Способ 2. Зная, что												L(e			5t	)	=								, и свойство				F	( p) L(t			2
Способ 2. Зная, что												L(e				)	=			p				5	, и свойство				F	( p) L(t
																				p				5

														1											1				2
		2					5t							1											1				2
получим	L(t			e					) =											=								=				.
																											2
																															3
																5								( p 5)				( p		5)	3
												p				5								( p 5)				( p		5)
Ответ. F ( p)											2				.

									( p 5)3
Задача 55. Найти обратное преобразование Лапласа для
F ( p)	2								.
F ( p)						3			.
( p 5)						3
( p 5)
Решение. Re s										2e	pt			=			1		2e pt p								= t 2e pt			= t2e5t .
											pt


							( p					5)	3			2!													p 5
	p 5												3													p 5
	p 5

Ответ. t2e5t (t) .

a) ,

(t))

Задача 56. Найти обратное преобразование Лапласа для функции

F ( p)

( p 3)

Re s

Решение.

= Re s

Re s

( p 3)

p 0

p 3

Один из полюсов 2-го порядка, другой 1-го порядка.

	e				e
	e	pt			e	pt
							2
	p		3		p		2
	p		3		p			p
				p 0


				3t 1		e		3t
Ответ.				3t 1		e
Ответ.				9				9
				9				9

Задача 57. Дано:

	te	pt	( p 3)
=
			( p 3)	2

3

(t) .

	F ( p)	p
	F ( p)	( p 1)( p
		( p 1)( p

	e	pt
	e

		p 0

2)( p 3)

e 3t	3t 1	e 3t
=			.
	9	9
9

. Найти обратное

преобразование Лапласа.

Решение. Способ 1. С помощью суммы вычетов.

Re s

= Re s Re s Re s

( p 1)( p 2)( p 3)

p 1

p 2

p 3

( p 2)( p 3)

( p 1)( p 3)

( p

1)( p

p 1

p 2

p 3

2e2t

3e3t

1( 1)

2 1

( 1)( 2)

Способ 2. С помощью разложения на простейшие дроби.

p ( p 1)( p 2)( p 3)

знаменателю,

	A		B
	p 1		p 2

C p 3

, приводим к общему

A( p 2)( p 3) B( p 1)( p 3) C( p 1)( p 2)

( p 1)( p 2)( p 3)

откуда следует

A( p 2)( p 3) B( p 1)( p 3) C( p 1)( p 2) p

A( p

5 p 6) B( p

4 p 3) C( p

3 p 2) p

( A B C) p

( 5A 4B 3C) p (6 A 3B 2C) 0 p

1p 0

Отсюда получается система линейных уравнений на A, B,C :

A B C 0

5A 4B

3C 1

6A 3B 2C 0

Решим её методом Гаусса, преобразую расширенную матрицу.

1	1	1	0		1	1

5	4	3 1		0		1
6	3	2	0		0	3
6	3	2	0		0	3

Система преобразована к виду:

1	0
1	0	1	1	1	0

2	1	0	1	2	1
4 0		0	0	2	3
4 0		0	0	2	3

A B C 0B 2C 1

2C 3

Отсюда

С3 2

1 2

. Тогда обратное преобразование надо

найти для функции

. Зная при этом, что

2 p 1

p 2

2 p 3

L(e

) , с помощью линейности получим

p a

Ответ.

(t) .

Задача 58. Дано:

F ( p)

. Найти обратное преобразование

Лапласа.

Решение.

F ( p)

( p

1)( p

( p 1)( p 1)( p i)( p i)

Здесь 4 полюса 1-го порядка,

и i .

Re s

( p

3)e

1)( p 1)( p i)( p i)

( p

( p2 3)e pt

( p 1)( p2

p 1

( p 1)( p2

p 1

( p

3)e

( p

3)e

( p

1)( p i)

1)( p

( p

p i

2 2

( 2)

( 2)(2i)

( 2)( 2i)

sin t

= 2sht sin t .

Ответ. 2sht sin t (t) ..

Задача 59. Дано: F ( p)	p	. Найти обратное

	( p 1)2 ( p 2)
преобразование Лапласа.

Решение.

Re s

pe pt

( p 1)

( p 2)

Re s

( p 1)

( p 2)

( p 1)

( p

p 1

p 2

Здесь полюсы 2-го и 1-го порядка, далее.

( p 1)

p 2

p 1

p 2

( p 2) p

( p 2)

p 2

p 1

Ответ.

(t) .

2	e	t	1	t	2e
9			3	te	9

Задача 60.	F ( p)		1	, найти обратное преобразование
Задача 60.	F ( p)	2	2 p 5	, найти обратное преобразование
	p		2 p 5

Лапласа.

Решение. Способ 1. С помощью вычетов. Найдём корни знаменателя.

D 4 4

5 16.

2 4i

1 2i .

F ( p)

тогда

2 p 5

( p (1 2i))( p (1 2i))

e pt

Re s ( p (1 2i))( p (1 2i)) =

p (1 2i)

p 1 2i

1 2i

(1 2i)t

2it

sin 2t .

Способ 2. Выделить полный квадрат и сгруппировать таким образом:

F ( p)	1				, затетим, что здесь можно применить формулу
F ( p)		2		2	, затетим, что здесь можно применить формулу
( p 1)		2	2	2
( p 1)			2
L(sin( at))			a		, но не хватает 2 в числителе, поэтому домножим
L(sin( at))	p	2	a	2	, но не хватает 2 в числителе, поэтому домножим
		2		2

и поделим.	F ( p)				1	2				, кроме того, сдвиг на 1 означает,
и поделим.	F ( p)				2	( p 1)	2	2	2	, кроме того, сдвиг на 1 означает,
							2		2

что в оригинале есть умножение на

e	t

. Получается в итоге

1	e	t	sin 2t

2

Ответ. 12 et sin 2t (t) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023650.24 Кб1Дополнительные главы макроэкономики..pdf
#
05.02.2023428.66 Кб3Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике-1.pdf
#
05.02.2023371.47 Кб6Дополнительные главы математики. Математические модели в экономике.pdf
#
05.02.2023324.51 Кб1Дополнительные главы математики.-1.pdf
#
05.02.20231.6 Mб0Дополнительные главы математики.-2.pdf
#
05.02.20231.98 Mб1Дополнительные главы математики..pdf
#
05.02.2023827.15 Кб0Дополнительные главы микроэкономики.-1.pdf
#
05.02.20231.1 Mб2Дополнительные главы микроэкономики..pdf
#
05.02.20232.38 Mб8Еnglish for students of Engineering Faculties (basic level)..pdf
#
05.02.2023122.97 Кб3Жанровая организация PR-текста.-1.pdf
#
05.02.2023290.82 Кб2Жанровая организация PR-текста..pdf